Диофантовы уравнения

Сообщение №31231 от SAVELY 25 июля 2009 г. 15:14
Тема: Диофантовы уравнения

Уважаемый модератор
В знак уважения к моему другу Сереже Воронину(покойному) известному математику
еще раз формулирую задачу
В пифагоговом треугольнике обе медианы иррациональны.
Он,к сожалению, не нашел элементарного решения.
Напоминаю, что пифагоров треугольник состоит из рациональных сторон.
Может быть, найдутся любители математики, которые решат эту задачу.
С уважением SAVELY.


Отклики на это сообщение:

> еще раз формулирую задачу
> В пифагоговом треугольнике обе медианы иррациональны.

В чем задача-то? И что значит "обе медианы" - в треугольнике вообще-то три медианы.


> > еще раз формулирую задачу
> > В пифагоговом треугольнике обе медианы иррациональны.

> В чем задача-то? И что значит "обе медианы" - в треугольнике вообще-то три медианы.

Это всё уже как-то было. Насколько помню, смысл задачи в том, чтобы _доказать_, что две медианы, проведённые к катетам в прямоугольном треугольнике с рациональными сторонами иррациональны. Проведённая к гипотенузе-то равна половине этой гипотенузы. Насколько опять-таки помню, достаточно взять формулу для выражения длины медианы через стороны треугольника...


Продолжая КС: и далее исхитриться и доказать, что длины этих медиан, проведенных к катетам, иррациональные числа. Всего то навсего.


> В чем задача-то?
Задача формулируется просто:
Доказать, что система уравнений
x^2+y^2=z^2 (пифагоров треугольник)
x^2+(y/2)^2=a^2 (это для одной медианы)
не имеет решений в целых числах
Если мы докажем иррациональность одной медианы, то отсюда вроде бы следует и для второй..
Вообще же это задача частный случай какой-то проблемы..типа центр прямоугольника с рациональными координатами не может быть рациональным..


> Задача формулируется просто:
> Доказать, что система уравнений
> x^2+y^2=z^2 (пифагоров треугольник)
> x^2+(y/2)^2=a^2 (это для одной медианы)
> не имеет решений в целых числах
Эту систему можно переписать так:
(2x)^2 + y^2 = (2a)^2
(2x)^2 + (2y)^2 = (2z)^2
А это т.н. Leech Problem с N=2 - см. ниже по ссылке.
Через эллиптические кривые доказывается, что для N=2 она не имеет решений.

Leech's Problem


Спасибо!
Кстати, в проблеме Штейнгауза спрашивается о
(не)возможности найти в плоскости XY точку, рационально удаленную от вершин квадрата с рациональной стороной;


> Кстати, в проблеме Штейнгауза спрашивается о
> (не)возможности найти в плоскости XY точку, рационально удаленную от вершин квадрата с рациональной стороной;

Это открытая проблема:

Rational Distance Problem


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100