Математический анализ. Ряды.

Сообщение №28427 от 20 января 2009 г. 11:46
Тема: Математический анализ. Ряды.


МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Математический анализ.


Отклики на это сообщение:

[Перенесено модератором из форума "Форум по математике"]

Сообщение №28354 от Студент2 17 января 2009 г. 19:30
Тема: Исследовать ряд

Подскажите, пожалуйста, как решать такой пример:
Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость

∑ ((-1)n-1)*((n+1)!/3n*n!)
n=1

Отклики на это сообщение:

> Подскажите, пожалуйста, как решать такой пример:
> Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость
>
> ∑ ((-1)n-1)*((n+1)!/3n*n!)
> n=1

Члены данного ряда по абсолютной величине монотонно убывают:(2/3)>(1/3)>(4/27)... и lim((n+1)!/(3n*n!) при n стремящемся к бесконечности равен нулю.Следовательно,согласно признаку Лейбница,ряд сходится.Выясним,сходится ли этот ряд абсолютно или условно.Рассмотрим ряд (2/3)+(1/3)+(4/27)+...+((n+1)!)/(3n*n!)+...
un+1=((n+2)!)/(3*3n*(n+1)!)
Найдем lim (un+1/un)=((n+2)!*3n*n!)/(3*3n*(n+1)!) при n стремящемся к бесконечности=lim ((n+1)!*(n+2)*n!)/(3*(n+1)!*n!*(n+1) при n стремящемся к бесконечности=1/3<0,следовательно ряд сходится.Тогда данный ряд сходится абсолютно.

> Члены данного ряда по абсолютной величине монотонно убывают:(2/3)>(1/3)>(4/27)... и lim((n+1)!/(3n*n!) при n стремящемся к бесконечности равен нулю.Следовательно,согласно признаку Лейбница,ряд сходится.Выясним,сходится ли этот ряд абсолютно или условно.Рассмотрим ряд (2/3)+(1/3)+(4/27)+...+((n+1)!)/(3n*n!)+...
> un+1=((n+2)!)/(3*3n*(n+1)!)
> Найдем lim (un+1/un)=((n+2)!*3n*n!)/(3*3n*(n+1)!) при n стремящемся к бесконечности=lim ((n+1)!*(n+2)*n!)/(3*(n+1)!*n!*(n+1) при n стремящемся к бесконечности=1/3<0,следовательно ряд сходится.Тогда данный ряд сходится абсолютно.

А как же (-1)n-1, разве все члены ряда будут положительными?

> Подскажите, пожалуйста, как решать такой пример:
> Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость
>
> ∑ ((-1)n-1)*((n+1)!/3n*n!)
> n=1

> Найдем lim (un+1/un)=((n+2)!*3n*n!)/(3*3n*(n+1)!) при n стремящемся к бесконечности=lim ((n+1)!*(n+2)*n!)/(3*(n+1)!*n!*(n+1) при n стремящемся к бесконечности=1/3<0,следовательно ряд сходится.Тогда данный ряд сходится абсолютно.
Я тут немного опечаталась,где предел равен 1/3 далее нужно записать<1,а не <0.
(-1)n-1 влияет только на знак.Сначала рассматриваем знакочередующийся ряд,а затем рассматриваем ряд составленный из абсолютных величин


[Перенесено модератором из форума "Форум по математике"]

Сообщение №28398 от Студент2 19 января 2009 г. 17:09
Тема: И снова ряды

Найти область сходимости степенного ряда

∑ (n/(n+1))*(xn/3n)
n=1
Я так понимаю, т.к. ряд степенной, то он сходится абсолютно. Но я что-то не понял, как пользоваться признаком Даламбера и как найти интервал сходимости. Если сможете объясните, пожалуйста по подробнее. Как понять что он знакочередующийся, как разложить на неравенства и нужно ли использовать теорему Лейбница. Заранее спасибо

Отклики на это сообщение:

> Найти область сходимости степенного ряда
>
> ∑ (n/(n+1))*(xn/3n)
> n=1
> Я так понимаю, т.к. ряд степенной, то он сходится абсолютно. Но я что-то не понял, как пользоваться признаком Даламбера и как найти интервал сходимости. Если сможете объясните, пожалуйста по подробнее. Как понять что он знакочередующийся, как разложить на неравенства и нужно ли использовать теорему Лейбница. Заранее спасибо

Если содержится (-1) в какой то степени,то ряд знакочередующийся.Теорема Лейбница применима только к знакочередующимся рядам.я так понимаю,под неравенствами Вы подразумеваете a1>a2>a3>...,дак это члены данного ряда,записанные подряд и они убывают.
Теперь рассмотрим данный степенной ряд: an=n/((n+1)*3n)
Найдем аn+1=(n+1)/(3*3n*(n+2))
аn/an+1=(3n2+6n)/(n2+2n+1)
R=lim при n стремящемся к бесконечности |an/an+1|=3.Следовательно,данный ряд сходится абсолютно при -3

> Если содержится (-1) в какой то степени,то ряд знакочередующийся.Теорема Лейбница применима только к знакочередующимся рядам.я так понимаю,под неравенствами Вы подразумеваете a1>a2>a3>...,дак это члены данного ряда,записанные подряд и они убывают.
> Теперь рассмотрим данный степенной ряд: an=n/((n+1)*3n)
> Найдем аn+1=(n+1)/(3*3n*(n+2))
> аn/an+1=(3n2+6n)/(n2+2n+1)
> R=lim при n стремящемся к бесконечности |an/an+1|=3.Следовательно,данный ряд сходится абсолютно при -3

То есть данный ряд не знакочередующийся. Почему сходится абсолютно? Прошу, пожалуйста, чуть подробнее. Откуда взялось an=n/((n+1)*3n)

> > Найти область сходимости степенного ряда
> > ∞
> > ∑ (n/(n+1))*(xn/3n)
> > n=1
> > Я так понимаю, т.к. ряд степенной, то он сходится абсолютно. Но я что-то не понял, как пользоваться признаком Даламбера и как найти интервал сходимости. Если сможете объясните, пожалуйста по подробнее. Как понять что он знакочередующийся, как разложить на неравенства и нужно ли использовать теорему Лейбница. Заранее спасибо

> Если содержится (-1) в какой то степени,то ряд знакочередующийся.Теорема Лейбница применима только к знакочередующимся рядам.я так понимаю,под неравенствами Вы подразумеваете a1>a2>a3>...,дак это члены данного ряда,записанные подряд и они убывают.
> Теперь рассмотрим данный степенной ряд: an=n/((n+1)*3n)
> Найдем аn+1=(n+1)/(3*3n*(n+2))
> аn/an+1=(3n2+6n)/(n2+2n+1)
> R=lim при n стремящемся к бесконечности |an/an+1|=3.Следовательно,данный ряд сходится абсолютно при -3

Сходится абсолютно,потому что предел находим по модулю,а аn Вам дано по условию,это множитель стоящий перед xn


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама: Что мы в ответе за тех ветеринария самара
Rambler's Top100