Разложение функции в степенной ряд. Подскажите.

Сообщение №2822 от Katya 05 марта 2002 г. 18:34
Тема: Разложение функции в степенной ряд. Подскажите.

Нужно разложить функцию x/((1+x^4)^1/4) в степенной ряд.
Незнаю что тут с х делать, подскажите, плз.


Отклики на это сообщение:

> Нужно разложить функцию x/((1+x^4)^1/4) в степенной ряд.
> Незнаю что тут с х делать, подскажите, плз.

Сокращаете числитель и знаменатель на x (чтобы легче было дифференцировать). Находите производную n-ного порядка (используйте мат. индукцию). Смотрите, не обращаются ли эти производные в какой-нибудь из точек типа 0 или 1, или еще где-нибудь во что-нибудь достаточно простое. Берете формулу ряда Тейлора, соответствующую разложению около данной точки, подставляете в нее значения производных, получаете степенной ряд.


> > Нужно разложить функцию x/((1+x^4)^1/4) в степенной ряд.
> > Незнаю что тут с х делать, подскажите, плз.

> Сокращаете числитель и знаменатель на x (чтобы легче было дифференцировать). Находите производную n-ного порядка (используйте мат. индукцию). Смотрите, не обращаются ли эти производные в какой-нибудь из точек типа 0 или 1, или еще где-нибудь во что-нибудь достаточно простое. Берете формулу ряда Тейлора, соответствующую разложению около данной точки, подставляете в нее значения производных, получаете степенной ряд.

Да, это решение "в лоб". Но вообще-то можно проще:
Раскладываете функцию 1/(1+x)^1/4 около нуля (это просто), подставляете в полученный ряд x^4 вместо x, результат домножаете на x.


> Да, это решение "в лоб". Но вообще-то можно проще:
> Раскладываете функцию 1/(1+x)^1/4 около нуля (это просто), подставляете в полученный ряд x^4 вместо x, результат домножаете на x.

Как разложить 1/(1+x^4)^-1/4 знала, непонятно было что с х делать, теперь ясно, спасибо.

И еще вопросик, есть задание: найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y=y(x) дифф. уравнения y' = 2e^y - xy, удовлетворяющего начальному условию y(0)=0.

Тут нужно последовательно дифференцировать: y''=2e^yy'-x'y+xy'; y'''=2e^y*y'y'+2e^y*y'-x''y+x'y'+x'y'+xy'' и т.д, а потом это вычислять. Правильно? А как тогда находить x', x'', x'''?


> И еще вопросик, есть задание: найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y=y(x) дифф. уравнения y' = 2e^y - xy, удовлетворяющего начальному условию y(0)=0.

> Тут нужно последовательно дифференцировать: y''=2e^yy'-x'y+xy'; y'''=2e^y*y'y'+2e^y*y'-x''y+x'y'+x'y'+xy'' и т.д, а потом это вычислять. Правильно? А как тогда находить x', x'', x'''?


Вам предлагают найти трехчлен:
y(х)=а1*х + а2*x^2 + a3*x^3

Его производная:
y'(0)= а1 + 2*а2*x + 3*a3*x^2 = 2e^y – xy=2;
Значит
а1 = 2;

Далее
y''(0)=2* а2 * + 3*a3*x = 2e^y(0)y'(0) -x'y+xy'= 2e^y(0)y'(0)= 2 *2;
Значит и
а2 = 2;

Действуйте дальше.



Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100