Определение дельта-функции

Сообщение №2753 от epros 20 февраля 2002 г. 19:25
Тема: Определение дельта-функции

Уважаемые математики,
вспомнилась мне тут одна вещь, которая удивляла меня еще в студенческие годы.

Речь идет о симметричности дельта-функции, которая якобы следует из ее определения.

Дельта-функция определяется как линейный функционал F, который при действии на любую непрерывную функцию f(x) дает ее значение в точке 0. Т.е.:

F{f(x)} = f(0)

Свойство симметричности дельта функции состоит в том, что F{f(-x)) = F{f(x)}. Для области определения сего функционала (непрерывных функций) это свойство является очевидным. Однако ж оно почему-то автоматически распространяется на функции, имеющие разрыв в точке 0. Т.е. считается, что

F{f(-х)} = F{f(x)} = (a + b)/2, где a - левый предел f(x) в точке 0, а b - правый предел f(x) в точке 0.

В свое время я пытался уточнить и по учебникам, и у преподавателей, не является ли это свойство ДООПРЕДЕЛЕНИЕМ дельта-функции. Однако, я каждый раз получал ответ, что это - прямое СЛЕДСТВИЕ из определения. И это, признаться, до сих повергает меня в изумление.

Не разрешите моих сомнений?


Отклики на это сообщение:

Когда хочется распространить функционал куда-нибудь, нужно сказать, из каких соображений это делается.
Например, из соображений непрерывности (в каком-нибудь смысле).
Или из сображений, чтобы *-слабая топология на пространстве функционалов не изменилась -- то есть если дельта-функция была *-слабым пределом аппроксимативной единицы, то она и должнаим остаться уже для более широкого пространства.

Честно говоря я впервые вижу, чтобы дельта функцию считали на функциях разрывных в нуле. Еслина пространство функций вообще нет никаких ограничений гладкости, то о дельта-функции и говорить нечего.
Есть хоть-какие то ограничения есть -- они же и обеспечивают определение дельта-функции.


<< F{f(x)} = f(0)

Ладно, пусть вы так ее определили. После того, как у нас есть определение с участием числа f(0), естественно считать, что дельта-ф-я применима только для ф-ций , определенных в нуле - т.е. тех ф-ций f(x), для которых существует число f(0).
Ф-ции , которые вы описываете, под это требование не подходят. Значит это доопределение.

Ну, математики, где ошибка?



> Честно говоря я впервые вижу, чтобы дельта функцию считали на функциях разрывных в нуле. Еслина пространство функций вообще нет никаких ограничений гладкости, то о дельта-функции и говорить нечего.
> Есть хоть-какие то ограничения есть -- они же и обеспечивают определение дельта-функции.

Ограничения на гладкость есть - это существование левого и правого пределов. При этом непосредственно значение функции в нуле может быть не определено.

Применение дельта-функции к разрывным функциям весьма полезно и практикуется достаточно широко. Но физики, радиотехники и прочие специалисты в не столь абстрактных дисциплинах, как математика, при этом не задумываются о логически корректном определении дельта-функции. А вот математикам неплохо было бы задуматься.

Мне тоже представляется, что F{f(x)} = [f(-0) + f(+0)]/2 - это НОВОЕ определение для дельта-функции. Но меня в этом пытались неоднократно переубедить. И понятно почему: потому что в таком случае придется при каждом очередном выводе заново доопределять дельта-функцию. Например, как из этого определения без привлечения дополнительных допущений вывести формулу для производной от дельта-функции?


Сразу говорю, что не спец. в урматах.

Епрос не совсем прав, говоря что функция f непрерывна.

1. Во-первых, специально вводиться особый класс функций типа: непрерывных на конечном отрезке [-R;R] и равных нулю вне его, быть может, даже налагается требование непрерывной дифференцируемости. Забыл как называется, назовем сами фи-функция.

2. Определяется функция Дирака как:
Int(-8,8,фи-функция*дельта)=1 для произвольной функции фи.

3. Затем можете читать интегралы от дельта*f(x). Однако не интеграл Римана и вроде даже не Лебега, он понимается в обобщенном смысле. И для его корректного определения нужно внести под знак интеграла третью, фи-функцию.

4. Условий на f Не помню, разве что существования интегралов (там еще как-то интегрирование по частям идет).

Сам я честно признаюсь, что не знаю определения дельта функции и никогда его не понимал.

У нас вел вычматы некий Чудов, так он однажды посоветовал:
понимайте функцию Дирака как 0 вне нуля, и бесконечность в нуле, и не мудрствуйте.


> 1. Во-первых, специально вводиться особый класс функций типа: непрерывных на конечном отрезке [-R;R] и равных нулю вне его, быть может, даже налагается требование непрерывной дифференцируемости. Забыл как называется, назовем сами фи-функция.

Ты вероятно говоришь о функциях, которые называются носителями.

> 2. Определяется функция Дирака как:
> Int(-8,8,фи-функция*дельта)=1 для произвольной функции фи.

Вот сразу видно - физик. Я тоже в середине 2-го курса узнал такре определение(еще было такое - д.ф-я - производная ф-ции Хевисайда). Но из подобного определения, никаких свойств дельта-фции я решительно получить не смог. Даже симметричность и!!! непрерывность!!!. Этого даже на пальцах понять из подобного определения не мог.
А вот когда в курсе матана дали обобщенные ф-ции, тут я начал помаленьку понимать, какая она, ф-я Дирака.

> 3. Затем можете читать интегралы от дельта*f(x). Однако не интеграл Римана и вроде даже не Лебега, он понимается в обобщенном смысле. И для его корректного определения нужно внести под знак интеграла третью, фи-функцию.

Да вроде больше и нет никаких интегралов - только Римана и Лебега.
А в том определении , что ты написал, он в книжках по физике всегда считается римановым(никаких оговорок, что это что-то другое не встречал)

> У нас вел вычматы некий Чудов, так он однажды посоветовал:
> понимайте функцию Дирака как 0 вне нуля, и бесконечность в нуле, и не мудрствуйте.

Вот дядька шарил:-) Физику такое вполне достаточно имхо.


Действительно, определение delta(f) = f(0) годится только для непрерывных функций.
Если мы хотим дельта-функцию на более широком классе, надо другое определение, которое выдержит переход отказ от непрерывности пробных функций.
Подчеркиваю -- это определение надо дать и для непрерывных тоже. для всех сразу. Причем так, чтобы оно согласовывалось со старым :-)

Можно предложить такое определение -- *-слабый предел "аппроксимативной единицы".

последовательность функций f_n: R->R называется "аппроксимативной единицей", если:

1) \exists C: \forall n: \int_R |f_n| \leq C .
2) \forall n : \int_R f_n = 1
3) \forall e>0 \int_{R - B_e} |f_n| -> 0 при n -> infty.

где B_e -- шарик радиуса e с центром в нуле. то есть интервал (-e, e).

все нормальные люди для аппроксимативной единицы берут гладкие, четные, неотрицательные функции. Хотя это и не обязательно.
почти всегда к тому же берут просто деформации одной единственной функции: f_n(t) = nf(nt), t \in R, n \in N,
причем f -- гладкая четная неотр-ая финитная функция, интеграл которой равен единице.
Но есть важные примеры аппр. единиц, не сводящиеся к одной функции. Например, ядра Фейера.


> Действительно, определение delta(f) = f(0) годится только для непрерывных функций.
> Если мы хотим дельта-функцию на более широком классе, надо другое определение, которое выдержит переход отказ от непрерывности пробных функций.
> Подчеркиваю -- это определение надо дать и для непрерывных тоже. для всех сразу. Причем так, чтобы оно согласовывалось со старым :-)

> Можно предложить такое определение -- *-слабый предел "аппроксимативной единицы".

> последовательность функций f_n: R->R называется "аппроксимативной единицей", если:

> 1) \exists C: \forall n: \int_R |f_n| \leq C .
> 2) \forall n : \int_R f_n = 1
> 3) \forall e>0 \int_{R - B_e} |f_n| -> 0 при n -> infty.

> где B_e -- шарик радиуса e с центром в нуле. то есть интервал (-e, e).

> все нормальные люди для аппроксимативной единицы берут гладкие, четные, неотрицательные функции. Хотя это и не обязательно.
> почти всегда к тому же берут просто деформации одной единственной функции: f_n(t) = nf(nt), t \in R, n \in N,
> причем f -- гладкая четная неотр-ая финитная функция, интеграл которой равен единице.
> Но есть важные примеры аппр. единиц, не сводящиеся к одной функции. Например, ядра Фейера.

Такой подход не вызывает у меня вопросов. Если мы определим конкретный класс "аппр. единиц", например, деформации функции типа exp{-x^2}, то на этом можно построить определение дельта-функции, из которого корректно (без доопределений) выводятся и формулы для разрывных аргументов функционала, и для производных от дельта-функции любых порядков и проч.

Я для себя всегда понимал дельта-функцию именно таким образом. Но это входит в противоречие с вузовскими учабниками по ур.матам, в которых почему-то отдается предпочтение определению через функционал без использования предела аппр. единиц.


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100