Вопрос к специалистам в топологии

Сообщение №2444 от epros 25 января 2002 г. 15:54
Тема: Вопрос к специалистам в топологии

Можно ли сформулировать условия, применяемые к метрике криволинейного k-мерного пространства, равносильные утверждению, что данное пространство является подпространством n-мерного (n>k) пространства нулевой кривизны?


Отклики на это сообщение:

> Можно ли сформулировать условия, применяемые к метрике криволинейного k-мерного пространства, равносильные утверждению, что данное пространство является подпространством n-мерного (n>k) пространства нулевой кривизны?

Я вот попытался для частного случая n=3, k=2

Скажем есть двумерное дважды диференцируемое многообразие, в котором задана система с первой координатой phi и со второй - teta (пример - "долгота" и "широта" на сфере). В нем определен двумерный симметричный ковариантный по обоим индексам метрический тензор. (В случае со сферой: g11 = cos(teta), g22 = 1, g12 = g21 = 0).

Как определить, существует ли гладкое отображение данного многообразия в трехмерное многообразие нулевой кривизны? (Для примера со сферой отображение очевидно. Но как аналитически доказать его существование или несуществование в общем случае?)

Я пытался решить в лоб: доопределяю третью координату r, доопределяю метрический тензор тремя компонентами (g13, g23 и g33) до трехмерного. При этом равенство трех его соответствующих компонент компонентам исходного двумерного тензора при r = 0 рассматривается как "граничное условие". Затем из метрического тензора вычисляю тензор кривизны. Если я не ошибаюсь, последний в трехмерном пространстве имеет шесть независимых компонентов.

Приравниваем тензор кривизны нулю, получаем систему из шести нелинейных диф. ур-ов второго порядка для шестерки функций трех переменных. Из общих соображений ясно, что у этой системы всегда существуют решения. Но вот непонятно, как определить, когда среди них существуют решения, удовлетворяющие указанному граничному условию?

Или они существуют всегда? Можно ли это доказать?



> Скажем есть двумерное дважды диференцируемое многообразие, в котором задана система с первой координатой phi и со второй - teta (пример - "долгота" и "широта" на сфере). В нем определен двумерный симметричный ковариантный по обоим индексам метрический тензор. (В случае со сферой: g11 = cos(teta), g22 = 1, g12 = g21 = 0).

g11, конечно, равно cos(teta) в квадрате.


должна быть описана в учебниках.
Хотя конечно с нуля искать решение очень трудно.

Скажем так: у тебя есть дифф. многообразие, на нем задана метрика, то есть в каждой карте заданы функции, по которым вычислать длину пути на этой карте, причем они согласованы для разных карт. по ним определяются внутренние кривизны. многообразие "плоское" если существует (локально) изометрия на область в R^k.
насколько я помню, кривизны определяются через понятие кратчайшей. сейчас нет под рукой учебника.. да и не написать всю эту кухню в двух словах..


> должна быть описана в учебниках.
> Хотя конечно с нуля искать решение очень трудно.

> Скажем так: у тебя есть дифф. многообразие, на нем задана метрика, то есть в каждой карте заданы функции, по которым вычислать длину пути на этой карте, причем они согласованы для разных карт. по ним определяются внутренние кривизны. многообразие "плоское" если существует (локально) изометрия на область в R^k.
> насколько я помню, кривизны определяются через понятие кратчайшей. сейчас нет под рукой учебника.. да и не написать всю эту кухню в двух словах..

Сушествование изометрии k-мерного пространства на k-мерное плоское пространство эквивалентно равенству нулю тензора кривизны. Это достаточно просто доказывается "с нуля".

Меня интересует существование изометрии k-мерного пространства в n-мерное плоское пространство, где n>k


> > должна быть описана в учебниках.
> > Хотя конечно с нуля искать решение очень трудно.

> > Скажем так: у тебя есть дифф. многообразие, на нем задана метрика, то есть в каждой карте заданы функции, по которым вычислать длину пути на этой карте, причем они согласованы для разных карт. по ним определяются внутренние кривизны. многообразие "плоское" если существует (локально) изометрия на область в R^k.
> > насколько я помню, кривизны определяются через понятие кратчайшей. сейчас нет под рукой учебника.. да и не написать всю эту кухню в двух словах..

> Сушествование изометрии k-мерного пространства на k-мерное плоское пространство эквивалентно равенству нулю тензора кривизны. Это достаточно просто доказывается "с нуля".

> Меня интересует существование изометрии k-мерного пространства в n-мерное плоское пространство, гд
е n>k

К "знатокам" ДГ себя не отношу.
Но сомнения есть.
Вопрос:
Следует ли из того, что отображение есть изометрия гладкого многообразия на себя его диффеоморфность?
Или на искомые изометриии все же необходимо накладывать некоторые ограничения по гладкости (кривизна ведь штука дифференциальная)?
Дело в том, что существует пример (сейчас не помню автора) гомеоморфизма семимерной сферы, который не является дифферморфизмом. Кажется, так...


> > Сушествование изометрии k-мерного пространства на k-мерное плоское пространство эквивалентно равенству нулю тензора кривизны. Это достаточно просто доказывается "с нуля".

> > Меня интересует существование изометрии k-мерного пространства в n-мерное плоское пространство, гд
> е n>k

> К "знатокам" ДГ себя не отношу.
> Но сомнения есть.
> Вопрос:
> Следует ли из того, что отображение есть изометрия гладкого многообразия на себя его диффеоморфность?
> Или на искомые изометриии все же необходимо накладывать некоторые ограничения по гладкости (кривизна ведь штука дифференциальная)?
> Дело в том, что существует пример (сейчас не помню автора) гомеоморфизма семимерной сферы, который не является дифферморфизмом. Кажется, так...

Ну, давайте потребуем непрерывности вторых производных в пределах некоторой компактной области.



> Меня интересует существование изометрии k-мерного пространства в n-мерное плоское пространство, где n>k

Интересует какое-то конкретное n? Я думаю, что эта задача ОЧЕНЬ сложна. В какое-нибудь R^n изометрически вложиить вроде можно.
насколько я помню, там сложность конструкции (и размерность n) растет пропорционально количеству карт.


> > > Сушествование изометрии k-мерного пространства на k-мерное плоское пространство эквивалентно равенству нулю тензора кривизны. Это достаточно просто доказывается "с нуля".

> > > Меня интересует существование изометрии k-мерного пространства в n-мерное плоское пространство, гд
> > е n>k

> > К "знатокам" ДГ себя не отношу.
> > Но сомнения есть.
> > Вопрос:
> > Следует ли из того, что отображение есть изометрия гладкого многообразия на себя его диффеоморфность?
> > Или на искомые изометриии все же необходимо накладывать некоторые ограничения по гладкости (кривизна ведь штука дифференциальная)?
> > Дело в том, что существует пример (сейчас не помню автора) гомеоморфизма семимерной сферы, который не является дифферморфизмом. Кажется, так...

> Ну, давайте потребуем непрерывности вторых производных в пределах некоторой компактной области.

Я уже говорил, что не считаю себя специалистом в ДГ.
Ну не люблю ее и все. Вообще тензоры в координатной форме.
А еще в эйнштейновсой записи...!
Тут прямо сказать хочется: "Эйнштейн, ты не прав!" :-))
Да ведь, чего доброго, ссылаться начнут.

Давайте так. Все эти уточнения, корректировки и пр. уже заслоняют первоначальную формулировку задачи.
Сформулируйте в форме "Пусть, требуется, отображение из класса" и тп.
Для начала проконсультируюсь у геометров. Может быть факт известный.
А дальше,...не знаю. Не лежит душа...


> > > > Сушествование изометрии k-мерного пространства на k-мерное плоское пространство эквивалентно равенству нулю тензора кривизны. Это достаточно просто доказывается "с нуля".

> > > > Меня интересует существование изометрии k-мерного пространства в n-мерное плоское пространство, гд
> > > е n>k

> > > К "знатокам" ДГ себя не отношу.
> > > Но сомнения есть.
> > > Вопрос:
> > > Следует ли из того, что отображение есть изометрия гладкого многообразия на себя его диффеоморфность?
> > > Или на искомые изометриии все же необходимо накладывать некоторые ограничения по гладкости (кривизна ведь штука дифференциальная)?
> > > Дело в том, что существует пример (сейчас не помню автора) гомеоморфизма семимерной сферы, который не является дифферморфизмом. Кажется, так...

> > Ну, давайте потребуем непрерывности вторых производных в пределах некоторой компактной области.

> Я уже говорил, что не считаю себя специалистом в ДГ.
> Ну не люблю ее и все. Вообще тензоры в координатной форме.
> А еще в эйнштейновсой записи...!
> Тут прямо сказать хочется: "Эйнштейн, ты не прав!" :-))
> Да ведь, чего доброго, ссылаться начнут.

> Давайте так. Все эти уточнения, корректировки и пр. уже заслоняют первоначальную формулировку задачи.
> Сформулируйте в форме "Пусть, требуется, отображение из класса" и тп.
> Для начала проконсультируюсь у геометров. Может быть факт известный.
> А дальше,...не знаю. Не лежит душа...

>
Нет под рукой Понтрягин "Гладкие многообразия". Вы смотрели?
Там, вроде бы, было что-то подобное для малых размерностей.



> Можно ли сформулировать условия, применяемые к метрике криволинейного k-мерного пространства, равносильные утверждению, что данное пространство является подпространством n-мерного (n>k) пространства нулевой кривизны?


Вот, наткнулся в Сети на статью. Не совсем, конечно, но что-то близкое..



Можно ли изометрично вложить любое риманово многообразие в какое-то R^n?

Спрошу как-нибудь у Бураго.


> Можно ли изометрично вложить любое риманово многообразие в какое-то R^n?

Не просто в "какое-то R^n" а в соответствующее некоторому КОНКРЕТНОМУ n. И вопрос не о "любом" многообразии, а заданном некой КОНКРЕТНОЙ метрикой.

Поскольку общего ответа типа "можно" или "нельзя" на такой вопрос явно не существует, ожидается ответ в виде критерия КОГДА можно, а КОГДА нельзя.


Вчера Бураго на с/к по римановой геометрии сказал, что в 1958 году Дж Нэш доказал, что для любого риманова многообразия существует такое n, что его можно изометрично вложить в евкл. пространство размерности n. Для каждого многообразия размерность обьемлющего пространства своя.
Как определить по многообразию минимальное подходящее n, я не знаю6 думаю что этот вопрос ОЧЕНЬ сложен (в общей постановке) и едва ли решен.


> Вчера Бураго на с/к по римановой геометрии сказал, что в 1958 году Дж Нэш доказал, что для любого риманова многообразия существует такое n, что его можно изометрично вложить в евкл. пространство размерности n. Для каждого многообразия размерность обьемлющего пространства своя.
> Как определить по многообразию минимальное подходящее n, я не знаю6 думаю что этот вопрос ОЧЕНЬ сложен (в общей постановке) и едва ли решен.

Ответ на этот вопрос тоже представляет интерес. Но меня интересует несколько другое:
Например, имеется четырехмерное многообразие, заданное метрикой gij. Я теперь знаю, что существует такое n, что данное многообразие можно вложить в евклидово n-мерное многообразие. (Только наверное надо поправить: не "евклидово", а "нулевой кривизны". Пространство Минковского нулевой кривизны, но не евклидово).
А я хочу знать, можно ли его вложить, например, в 5-ти мерное многообразие нулевой кривизны.
Если Вы можете сформулировать общее требование к метрике gij, это и будет ответом.



> Ответ на этот вопрос тоже представляет интерес. Но меня интересует несколько другое:
> Например, имеется четырехмерное многообразие, заданное метрикой gij. Я теперь знаю, что существует такое n, что данное многообразие можно вложить в евклидово n-мерное многообразие. (Только наверное надо поправить: не "евклидово", а "нулевой кривизны". Пространство Минковского нулевой кривизны, но не евклидово).
> А я хочу знать, можно ли его вложить, например, в 5-ти мерное многообразие нулевой кривизны.
> Если Вы можете сформулировать общее требование к метрике gij, это и будет ответом.

Например, возьмем тор. В смысле S_1\times S_1. он плоский -- у него кривизна нулевая, и локально он изометричен евклидовой плоскости.
Матрица g_{ij} единичная всюду. Но в трехмерное пространство он не вкладывается по топологическим причинам :-(
Только в четырехмерное. А вот цилиндр вкладывается в трехмерное. g_ij этого не чувствуют.

Если Вы в Питере -- сейчас Бураго в ЛОМИ по вторникам читает с/к как рах на тему -- что можно сказать глобального про риманово многообразие по его локальным свойствам. прочитал всего пару вводных лекций.

Насчет пр-ва Минковского я не понял -- там не метрика, а квазиметрика. В нем есть ненулевые вектора, на которых она нулевая. к тому же знак меняет.
Может Вы имели ввиду конечномерное нормированное пространство вообще?
Вообще в R^n любое центрально-симметричное выпуклое тело с непустой внутренностью (разумная топология в R^n одна, и от метрики не зависит) определяет норму. Можно наверное гладкие метрические многобразия вкладывать в такие пространства.
Но римановость многообразия хаключатеся как раз в том, что в нем каждом касательно пр-ве именно евклидова норма, а не какая попало. и я сильно сомневаюсь, что риманово многообразие можно изометрично вложить в векторное пр-во, норма в котором неевклидова.

Или Вы хотите вкладывать не в вект. пр-во, а в риманово многообразие нулевой кривизны и бОльшей размерности? Я думаю что ответ сильно зависит от (локально)компактности как вкладываемого, так и обьемлющего многообразия, и от глобальных топологических характеристик, но не зависит от локальных свойств метрики, то есть от g_{ij}.



> Например, возьмем тор. В смысле S_1\times S_1. он плоский -- у него кривизна нулевая, и локально он изометричен евклидовой плоскости.
> Матрица g_{ij} единичная всюду. Но в трехмерное пространство он не вкладывается по топологическим причинам :-(
> Только в четырехмерное. А вот цилиндр вкладывается в трехмерное. g_ij этого не чувствуют.

Тор это уж через-чур хитро. Давайте не будем вкладывать все многообразие целиком, а ограничимся компактной областью, в пределах которой каждой точке соответствует единственный набор координат. ("Разрезали" тор).

> Если Вы в Питере -- сейчас Бураго в ЛОМИ по вторникам читает с/к как рах на тему -- что можно сказать глобального про риманово многообразие по его локальным свойствам. прочитал всего пару вводных лекций.

Увы, не в Питере.

> Насчет пр-ва Минковского я не понял -- там не метрика, а квазиметрика. В нем есть ненулевые вектора, на которых она нулевая. к тому же знак меняет.
> Может Вы имели ввиду конечномерное нормированное пространство вообще?

Конечномерное (k-мерное) пространство, на котором задана симметричная метрика. Метрика не обязательно должна приводиться к Декартовой форме (g11 = g22 = ... = gkk = 1, gij = 0 для i |= j).

Но можно потребовать, чтобы сигнатура метрики не изменялась в пределах рассматриваемой области (т.е. если уж она сводится к евклидовой, то везде, а если к метрике пространства Минковского, то тоже везде).

Вкладываем в такое же n-мерное пространство, только нулевой кривизны. Т.е. и здесь евклидовость не требуется.

> Вообще в R^n любое центрально-симметричное выпуклое тело с непустой внутренностью (разумная топология в R^n одна, и от метрики не зависит) определяет норму. Можно наверное гладкие метрические многобразия вкладывать в такие пространства.
> Но римановость многообразия хаключатеся как раз в том, что в нем каждом касательно пр-ве именно евклидова норма, а не какая попало. и я сильно сомневаюсь, что риманово многообразие можно изометрично вложить в векторное пр-во, норма в котором неевклидова.

> Или Вы хотите вкладывать не в вект. пр-во, а в риманово многообразие нулевой кривизны и бОльшей размерности? Я думаю что ответ сильно зависит от (локально)компактности как вкладываемого, так и обьемлющего многообразия, и от глобальных топологических характеристик, но не зависит от локальных свойств метрики, то есть от g_{ij}.

Т.е. никакие условия на метрику, наложенные в пределах рассматриваемой области, не будут являться достаточными?

Можно это как-то показать?


пожалуй, все же смог бы попытаться ответить на Ваши вопросы - но не сходу...

Кстати, у Вас странное представление о метрике -- метрива это не всегда g_ij.
У метрики не бывает сигнатуры. сигнатура бывает у квадратичной формы.
Например, максимум модулей разностей координат -- это тоже метрика, но она неевклидова.

Определитесь с тем что Вы имеете ввиду под метрикой.


у любой точки рим. мн-зия похоже есть окрестность, которая изометрично вкладывается в векторное евкл. пр-во размерности на единицу больше. Так что локальный ответ похоже тривиален, глобальный -- завсист уж точно не только от g_{ij}, я подозреваю, что от них вообще почти не зависит.


> пожалуй, все же смог бы попытаться ответить на Ваши вопросы - но не сходу...

> Кстати, у Вас странное представление о метрике -- метрива это не всегда g_ij.
> У метрики не бывает сигнатуры. сигнатура бывает у квадратичной формы.
> Например, максимум модулей разностей координат -- это тоже метрика, но она неевклидова.

> Определитесь с тем что Вы имеете ввиду под метрикой.

Я не математик, так что пользуюсь понятием метрики из теории относительности.
Это симметричный действительнозначный тензор gij, определяющий скалярные произведения контравариантных векторов Ai и Bi следующим образом:
s = AigijBj



> > Определитесь с тем что Вы имеете ввиду под метрикой.

> Я не математик, так что пользуюсь понятием метрики из теории относительности.
> Это симметричный действительнозначный тензор gij, определяющий скалярные произведения контравариантных векторов Ai и Bi следующим образом:
> s = AigijBj

метрикой принятно называть ЛЮБОЕ правило сопоставления паре обьектов неотрицательного числа, удовлетворяющее "неравенству треугольника". Например, для векторов - максимум модулей разностей координат. "Шар" в этой метрике - кубик. Это полноценная метрика, местами весьма удобная и полезная.
В этом смысле из всех квадратичных форм метрику задают только строго положительно определенные. То, что Эйнштейн (и вслед за ним) назвали метрикой что-то другое -- ну что ж, бывает...
но мы же не о теории относительности говорим в этой ветке :)


> > Я не математик, так что пользуюсь понятием метрики из теории относительности.
> > Это симметричный действительнозначный тензор gij, определяющий скалярные произведения контравариантных векторов Ai и Bi следующим образом:
> > s = AigijBj

> метрикой принятно называть ЛЮБОЕ правило сопоставления паре обьектов неотрицательного числа, удовлетворяющее "неравенству треугольника". Например, для векторов - максимум модулей разностей координат. "Шар" в этой метрике - кубик. Это полноценная метрика, местами весьма удобная и полезная.
> В этом смысле из всех квадратичных форм метрику задают только строго положительно определенные. То, что Эйнштейн (и вслед за ним) назвали метрикой что-то другое -- ну что ж, бывает...
> но мы же не о теории относительности говорим в этой ветке :)

Как говорится, "хоть горшком назови, только в печь не ставь".

Максимумы модулей разности - это конечно забавно в смысле интеллектуального упражнения, но я не могу себе представить для такой метрики интересного физического применения. А вот для этой самой квадратичной формы - могу. И вопрос о вложениях мне интересен именно в смысле физического применения.


> Можно ли сформулировать условия, применяемые к метрике криволинейного k-мерного пространства, равносильные утверждению, что данное пространство является подпространством n-мерного (n>k) пространства нулевой кривизны?

Ответ: Теорема Уитни. Любое абстрактное гладкое многообразие диффеоморфно некоторому гладкому подмногообразию евклидова пространства.
Никаких ``более абстрактных'' конечномерных
гладких многообразий нет.
ТО ЕСТЬ
Ответ: никаких условий не нужно, кроме естественных
условий на гладкость тензора кривизны


> > Можно ли сформулировать условия, применяемые к метрике криволинейного k-мерного пространства, равносильные утверждению, что данное пространство является подпространством n-мерного (n>k) пространства нулевой кривизны?

> Ответ: Теорема Уитни. Любое абстрактное гладкое многообразие диффеоморфно некоторому гладкому подмногообразию евклидова пространства.
> Никаких ``более абстрактных'' конечномерных
> гладких многообразий нет.
> ТО ЕСТЬ
> Ответ: никаких условий не нужно, кроме естественных
> условий на гладкость тензора кривизны

Говоря "подпространство" я имел в виду не диффеоморфизм, а изометрию: вложение с сохранением расстояний.


> Говоря "подпространство" я имел в виду не диффеоморфизм, а изометрию: вложение с сохранением расстояний.

метрика должна быть ортогональной. достаточно.
этоко, кстати, не было в начальном условии.


> > Говоря "подпространство" я имел в виду не диффеоморфизм, а изометрию: вложение с сохранением расстояний.

> метрика должна быть ортогональной. достаточно.
> этоко, кстати, не было в начальном условии.

А что, кривизна, т.е. производные метрического тензора (или, если хотите, - "квадратичной формы") совершенно безразличны?


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100