Стохастические дифференциальные уравнения

Сообщение №2147 от - 29 декабря 2001 г. 18:20
Тема: Стохастические дифференциальные уравнения

Стохастические дифференциальные уравнения

24 декабря 14:47 2109: Игрек
24 декабря 15:38 2111: andre dajd
24 декабря 17:23 2112: Rafinad
24 декабря 18:09 2113: andre dajd
25 декабря 00:32 2115: strannik
25 декабря 01:04 2116: andre dajd

26 декабря 14:33 2121: пианист Сидоров
26 декабря 16:05 2122: Игрек
26 декабря 23:36 2125: andre dajd
27 декабря 00:07 2126: andre dajd
27 декабря 15:41 2127: Игрек
27 декабря 17:22 2128: andre dajd
28 декабря 13:41 2135: Игрек
28 декабря 13:48 2136: Игрек
28 декабря 14:11 2137: andre dajd

-----------------------
Сообщение №2109 от Игрек 24 декабря 2001 г. 14:47
Тема: Стохастические диффер. уравнения.

Тут недавно кто-то зачет по ним cдавал. Объясните непросвященному:

1. Правильно ли я понимаю, что это обобщение марковского процесса?
2. Кажется, стох. диффер. уравнение нельзя записать dx/dt=f(x,t).. а только как dx=fdt
3. что собственно говоря называется решением СДУ?
4. Как я понимаю, пример такого уравнения:
dx=(a+кси)dt
кси- случайная величина равномерно распределенная на отрезке, меняющая в каждый момент свое значение

-----------------------------------
·2111: Re: Стохастические диффер. уравнения. andre dajd 24 декабря 15:38

Нет. Уравнение - это уравнение, а процесс - это функция.
Марковский процесс может быть решением уравнения.

> 2. Кажется, стох. диффер. уравнение нельзя записать dx/dt=f(x,t).. а только как dx=fdt
Точнее, dx = f*dL, где L - это процесс.
Это не более чем условная запись.

> 3. что собственно говоря называется решением СДУ?
Стохастический процесс.

> 4. Как я понимаю, пример такого уравнения:
> dx=(a+кси)dt
> кси- случайная величина равномерно распределенная на отрезке, меняющая в каждый момент свое значение
Верно.

-----------------------------------
2112: Re: Стохастические диффер. уравнения. Rafinad 24 декабря 17:23
> Уравнение - это уравнение,
Абсолютно верно!

> а процесс - это функция.
Процесс – это процесс!

>>4. Как я понимаю, пример такого уравнения:
>> dx=(a+кси)dt
>> кси- случайная величина ……
Это дифференциальное уравнение со случайным параметром.

---------------------------------------
2113: Re: Стохастические диффер. уравнения. andre dajd 24 декабря 18:09

> > а процесс - это функция.
> Процесс – это процесс!

С абстрактной точки рения, стохастический процесс - это та же самая случайная величина, только в весьма экхотическом пространстве состояний (не R, которое обычно присутствует при традиционном определении "случайной величины").

---------------------------------
2115: Re: Стохастические диффер. уравнения. strannik 25 декабря 00:32
На мой взгляд, лучше всего об этом могут рассказать
Гихман и Скороход "Введение в теорию случайных процессов"

---------------------------------
2116: Re: Стохастические диффер. уравнения. andre dajd 25 декабря 01:04

Не совсем.
Это книга по случайным процессам, а не до СДЕ, причем книга уровня undergraduate.

Стандартный учебник данного уровня на западе - Grimmett/Stirzaker.

Продвинутые курсы - Willams/Rogers, Bremaud, еще что-то по marked point processes.

Чисто по СДЕ - Oksendal, Protter.
Еще DB-ov приводил неккие ссылки по СДЕ в частных производных, но это уже совсем сложно...

---------------------
2122: Re: Стохастические дифференциальные уравнения Игрек 26 декабря 16:05

Учебники мне конечно лень читать.
Два замечания:

1. Как я понимаю, что последовательность значений, которые принимает случайная величина- это и есть стохастический процесс.
Пусть t- индекс. Тогда получаем послед. (x1,x2,..,xt,..) значений случ. величины ksi. Или, быть может, стох. процесс- это последов. (ksi1,ksi2,..,ksit,..), т.е. много случ. величины. Кажется, вернее первое.

2. Однако в случае дифференциальных уравнений величина t непрерывна, как обходят эту сложность...?

ЕСли как-то обходят, то для дифф. ур. (см.главное сообщение) каков соответствующий ему марковский процесс?

3. Помниться, для марковский процессов любили определять вероятность того, что случ. вел. примет на бесконечном шаге i-е значение (предположим, что кси- дискретная случ. вел.)
Есть ли аналогичный вопрос для СДУ?

4. Вот я дал вам простенькое уравнение. Что с ним можно сделать? какие вопросы можно к нему поставиить?

--------------------------------------------------------------------------------
2125: Re: Стохастические дифференциальные уравнения andre dajd 26 декабря 23:36
> 1. Как я понимаю, что последовательность значений, которые принимает случайная величина- это и есть стохастический процесс.
Неверно.

> Пусть t- индекс. Тогда получаем послед. (x1,x2,..,xt,..) значений случ. величины ksi. Или, быть может, стох. процесс- это последов. (ksi1,ksi2,..,ksit,..), т.е. много случ. величины. Кажется, вернее первое.

Как раз наоборот. Процесс можно рассматривать как семейство случайных величин, т.е. функций. Это семейство должно быть "занумеровано" неким упорядоченным множеством, дискретным или непрерывным. В случае непрерыного множества говорят о процессе в "непрнерывном времени". Пример - броуновское движение или Пуассоновский процесс.

> 2. Однако в случае дифференциальных уравнений величина t непрерывна, как обходят эту сложность...?

А в чем сложность?
Дело в том, что "семейство случайных величин" - это не совсем строгое определение. Совсем строгое:

Пусть есть упорядоченное множество T и
базисное вероятностное пространство (Omega, F(t), P), где Omega - множество исходов, F(t) - последовательность сигма-алгебр Omega, P - вероятностная мера.

Тогда под процессом (на множестве R, к примеру) называется отображение Omega*T -> R. Таким образом, для каждого фиксю t из T, получается частное отображение Omega*t -> R - ksi(t), т.е. случайная величина.

С другой стороны, для каждой omega из Omega есть отображение omega*T->R, траектория процесса. Это то, что тебе в 1 пункте показалось процессом.

> ЕСли как-то обходят, то для дифф. ур. (см.главное сообщение) каков соответствующий ему марковский процесс?

Да причем здесь марковский процесс?

> 3. Помниться, для марковский процессов любили определять вероятность того, что случ. вел. примет на бесконечном шаге i-е значение (предположим, что кси- дискретная случ. вел.)

Дискретности мало для этого результата.

> Есть ли аналогичный вопрос для СДУ?
Нет.

> 4. Вот я дал вам простенькое уравнение. Что с ним можно сделать? какие вопросы можно к нему поставиить?

Найти решение - процесс, который будет данному уравнению удовлетворять.
Например, для уравнения
dX(t)/X(t) = a*dt + sigma*dW,
где X(t) - искомый процесс, t - непрерывное время, W - Броуновское движение, a и sigma - действительные константы, sigma > 0, решением является "стохастическая экспонента"
X(t)=X0*exp((a-.5*sigma^2)t + sigma*sqrt(t)*Z),
где X0 - константа, а Z - стандартная нормальная случайная величина.

--------------------------------------------------------------------------------
2135: Re: Стохастические дифференциальные уравнения. Игрек 28 декабря 13:41
> Как раз наоборот. Процесс можно рассматривать как семейство случайных величин, т.е. функций. Это семейство должно быть "занумеровано" неким упорядоченным множеством, дискретным или непрерывным. В случае непрерыного множества говорят о процессе в "непрнерывном времени". Пример - броуновское движение или Пуассоновский процесс.

Я понял.

> Пусть есть упорядоченное множество T и
> базисное вероятностное пространство (Omega, F(t), P), где Omega - множество исходов, F(t) - последовательность сигма-алгебр Omega, P - вероятностная мера.

> Тогда под процессом (на множестве R, к примеру) называется отображение Omega*T -> R. Таким образом, для каждого фиксю t из T, получается частное отображение Omega*t -> R - ksi(t), т.е. случайная величина.

Понял, но не сразу.

> С другой стороны, для каждой omega из Omega есть отображение omega*T->R, траектория процесса. Это то, что тебе в 1 пункте показалось процессом.

Минутку (вспоминая свой пример). Как я понимаю, из такого определения следует несколько следствий:

1. У процесса несколько траекторий (смотря по выбору омега).
2. Итак, на траектории процесса омега задано однозначно? и притом выбрана не последовательность выбранных в каждый момент времени альтернатив {(omega1,t1),(omega2,t2),..}, а именно {{omega1,t1),(omega1,t2),..}?
3. Мне несколько непонятнен смысл R: если это значение кси (см. мой пример с диффуром), то вообще говоря бессодержателен смысл стохпроцесса. Если это значение x(t), то это еще куда ни шло. Тогда получаем обычную кривую решения ОДУ dx/dt=(a+ksi(t))x(t) при ПОСТОЯННОМ коэффициенте кси=С.

> Да причем здесь марковский процесс?
В стандартном марковком процессе, если мне не изменяет память, заданы вероятности перехода из i-Го в J-е состояние p_ij. Вероятность i-го состояния на t-М шаге зависит от состояния на (t-1). Но обыный диффур говорит тоже самое:
x(t+dt)=x(t)+f(x(t),t).

> dX(t)/X(t) = a*dt + sigma*dW,
> где X(t) - искомый процесс, t - непрерывное время, W - Броуновское движение, a и sigma - действительные константы,
можно ли сказать, что W- белый шум, т.е. значение W(t) никак не связано с W(t-dt)?

>X(t)=X0*exp((a-.5*sigma^2)t + sigma*sqrt(t)*Z),
Вроде бы понятно, что такая форма представления ответа наиболее предпочтительна. Вопрос только откуда Z вылезла.

Андре, а вот мое уравнение тогда- как решишь? (предположим задано, как в моей любимой задаче Коши, начальное условие)
Если не трудно, напиши решение.
По крайней мере основные шаги.
Так чтобы тоже было x(t)=F(t,Z).

Итак, например, x(0)=1, dx/dt=(1+2*ksi(t))*x
ksi- cлучайная величина, равномерно распеределенная на [-1;1]

Да, еще чисто исторический вопрос.
КТо впервые заговорил об СДУ? и когда?

--------------------------------------------------------------------------------
2136: СДУ2 Игрек 28 декабря 13:48

> Итак, например, x(0)=1, dx/dt=(1+2*ksi(t))*x
> ksi- cлучайная величина, равномерно распеределенная на [-1;1]

В ссобщении выше можно, наверное, переписать
dx=x*dt+2x*dW, W-белый шум (параметры см. выше)

о, ИДЕЯ, а если разрешить W принимать не сплошь значения от -1 до 1, а только два значения: -1 и 1! Решение задачи упроститься или наборот?

--------------------------------------------------------------------------------
2137: Re: СДУ2 andre dajd 28 декабря 14:11

> > Итак, например, x(0)=1, dx/dt=(1+2*ksi(t))*x
> > ksi- cлучайная величина, равномерно распеределенная на [-1;1]
> В ссобщении выше можно, наверное, переписать
> dx=x*dt+2x*dW, W-белый шум (параметры см. выше)

> о, ИДЕЯ, а если разрешить W принимать не сплошь значения от -1 до 1, а только два значения: -1 и 1! Решение задачи упроститься или наборот?

Во-первых, W - в данном выражении - не простой белый шум.
Грубо говоря, это "белый шум" с дипсперсией sigma^2*t, прямо пропорциональной времени.
Более того, траектории этого "шума", как они были опредленны выше должны быть почти непрерывны.
Собственно два данных обстоятельства и состовляют определение "броуновского движения".

Во-вторых, решение, естественно, усложнится, потому что предложенный процесс для W менее удобнен, чем броуновское движение. В частности, для того чтобы определить стохастический интеграл по dW для данного процесса нужно накладывать дополнительные условия на x.

Естественно, если речь идет не о ДУ, а о разностном уравнении (в дискретном времени), решение выписывается в лоб.

--------------------------------------------------------------------------------
2127: СДУ1 Игрек 27 декабря 15:41

> Пусть есть упорядоченное множество T и
> базисное вероятностное пространство (Omega, F(t), P), где Omega - множество исходов, F(t) - последовательность сигма-алгебр Omega, P - вероятностная мера.
> Тогда под процессом (на множестве R, к примеру) называется отображение Omega*T -> R. Таким образом, для каждого фиксю t из T, получается частное отображение Omega*t -> R - ksi(t), т.е. случайная величина.

> С другой стороны, для каждой omega из Omega есть отображение omega*T->R, траектория процесса. Это то, что тебе в 1 пункте показалось процессом.
Минутку.. В моем примере dx=(a+ksi)dt, если как бы положить кси=const=b (раз омега выбрано), то решение детерминированого уравнения x(t)=exp((a+b)t) И будет траекторией процесса? НЕ слишком ли слабо?

--------------------------------------------------------------------------------
2128: Re: СДУ1 andre dajd 27 декабря 17:22

> Минутку.. В моем примере dx=(a+ksi)dt, если как бы положить кси=const=b (раз омега выбрано), то решение детерминированого уравнения x(t)=exp((a+b)t) И будет траекторией процесса? НЕ слишком ли слабо?

Не слабо. Именно так оно и будет - множество траекторий бужет состоять из одной траектории (с точностью до константы интегрирования).

--------------------------------------------------------------------------------
2121: Re: Может, кто что-нибудь интересное расскажет? пианист Сидоров 26 декабря 14:33

> > 2. Кажется, стох. диффер. уравнение нельзя записать dx/dt=f(x,t).. а только как dx=fdt
> Точнее, dx = f*dL, где L - это процесс.
> Это не более чем условная запись.

Скажем, что эта условная запись означает, и вообще, что такое СДУ и для чего они, собственно, нужны. А то читать что-то длинное неохота, да и нету (как назло, по чистой случайности Grimmett/Stirzaker под рукой не оказалось :).

--------------------------------------------------------------------------------
2126: Re: Может, кто что-нибудь интересное расскажет? andre dajd 27 декабря 00:07
> > > 2. Кажется, стох. диффер. уравнение нельзя записать dx/dt=f(x,t).. а только как dx=fdt
> > Точнее, dx = f*dL, где L - это процесс.
> > Это не более чем условная запись.
> Скажем, что эта условная запись означает, и вообще, что такое СДУ и для чего они, собственно, нужны. А то читать что-то длинное неохота, да и нету (как назло, по чистой случайности Grimmett/Stirzaker под рукой не оказалось :).

Во-превых, читать можно

http://www-2.cs.cmu.edu/~chal/shreve.html

А Grimmett/Stirzaker читать бесполезно - эта книжка по стохастическим процессам, а не СДУ, как я уже писал.

По поводу применения. Как можно строить процессы? Можно влоб выписать семейство случайных функций или "строгое" двумерное отображение (см мой ответ Игреку).

Можно задать процесс через его инфенитезимальное приращение - случайную величину, равную X(t+dt)-X(t). Эта величина, при стремлении dt к нулю, есть, по определению, dX. Т.е. dX - это сам по себе процесс. Сооветственно, его сможно представить как некую функцию от других процессов (кстрати, функция, тоже может быть процессом :) ). Вот и выписываем

dX(t) = process1(t)+ process2(t)+...
Это и есть СДУ. Решить его - значит найти X(t).

В часном случае, dX = f(X)dt, решением которого является интеграл по траекториям, если он существует. (Т.е, фиксируем omega, получаем dX(omega,t) = f(X(omega, t))dt =>\

X(omega, t) = Indegral(f(omega, t)dt, где omega выступает в роли параметра. Соответственно, получаем искомый процесс

X(omega, t):= Omega*T = {(omega, t)} -> R.

Зачем это нужно? Тут очень хорош пример Игрека: допустим есть ОДУ

dx/dt = f(x,t), только хочется, чтобы была случайная добавка в производоной. Пишем:

dx/dt = f(x(t),t) + ksi =>

dx = (f + ksi)*dt

И дальше применяем процедуру, описанную выше (с фиксацией омеги). В тривиальных случаях может получитья реально проинтегрировать уравнение, например с интегрирующим множителем, пользауясь (относительно короткой) таблицей стохастических интегралов, интегрированием по частям.

Более того, если Х - случайная величина, удовлетворяющая СДУ особого, но наиболее частого вида (диффузия Ито), то можно сразу выписать СДУ для F(X), налагая на F минимальные условия.



Отклики на это сообщение:

Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100