Михалыч! Докажите теорему!

Сообщение №2040 от - 15 декабря 2001 г. 19:04
Тема: Михалыч! Докажите теорему!

Михалыч! Докажите теорему!

14 ноября 2001 г. 10:58:№1692 от Ana ,
14 ноября 2001 г. 11:16: №1693 от Михалыч ,
18 ноября 2001 г. 16:25: №1715 от Саша ,
26 ноября 2001 г. 12:24: №1835 от Михалыч-Саше ,
27 ноября 2001 г. 11:14: №1853 от Михалыч-Саше ,
27 ноября 2001 г. 22:28: №1854 от Саша ,
28 ноября 2001 г. 11:54: №1857 от Михалыч-Саше ,
28 ноября 2001 г. 17:03: №1860 от Ivan-Михалычу ,
29 ноября 2001 г. 07:33: №1866 от Composer ,
29 ноября 2001 г. 18:08: №1869 от Саша ,

01 декабря 2001 г. 06:06: №1879 от Б.Б. ,
01 декабря 2001 г. 13:59: №1881 от Саша ,

---------------
Михалыч! Докажите теорему! - Ana 14 ноября 10:58
№1692 от Ana , 14 ноября 2001 г. 10:58:

Уважаемый Михалыч!
Вот достойная для вас задачка.

Рассматривается навигационная система GPS (Global Position System),
Известная также как
Navstar (Navigation System with Time and Ranging), т.е.
Навигационная система определения времени и дальности.
Вычленяем из неё математическую часть и формулируем теорему.

Теорема.
«Минимальное число спутников для обеспечения задач (*) GPS
при условиях (**) равно N (приводите число)..

(*) Задачи:
Для любого момента времени и из любой точки поверхности Земли должны наблюдаться 4 аппарата GPS. (Можете и обобщить задачу и решать для К аппаратов, т.е. видно К аппаратов)

(**)
Орбиты аппаратов GPS круговые.
Высота над поверхностью Земли 20000 км.»

Может быть Вам удастся получить общее решение,
т.е. получить зависимость (таблицу):
«Для К-покрытия необходимо N- аппаратов и не менее).

PS. Думаю, что если Вам удастся найти оптимальное решение по отношению к известным. – Это будет кое что!

-------------------------------------------------------------
№1693 от Михалыч , 14 ноября 2001 г. 11:16:
В ответ на: Михалыч! Докажите теорему! от Ana , 14 ноября 2001 г.:

Два года назад я оппонировал диссертацию Анатолия Леухина из Йошкар-Олы по близкой теме.
По слухам, сейчас у него крупный договор с ИКИ по предлагаемой задаче, по-моему.

Вы предлагаете мне "между прочим" выполнить эту работу в свободное от работы время?
Предложение, конечно, интересное...
А с Толей могу связать Вас напрямую.

-------------------------------------------------------
№1715 от Саша , 18 ноября 2001 г. 16:25:
В ответ на: Докажите теорему! от Михалыч , 14 ноября 2001 г.:

Добрый день, Михалыч!

Как следует из вашего поста, вы знакомы с методами решений подобных задач.
Хотелось бы понять, какие ключевые разделы математики используются при решении подобных экстремальных задач.

Благодарю за ответ!

----------------------------------------------------------
№1835 от Михалыч-Саше , 26 ноября 2001 г. 12:24:
В ответ на: Какая математика? от Саша , 18 ноября 2001 г.:

Саша!
Извините за задержку ответа - был в командировке.
Наше предыдущее общение(?) вынуждает меня в переписке с Вами очень осторожно относиться к словам типа "подобные задачи", извините.
Кроме того, хотелось бы понять, что именно Вас интересует: "используются традиционно" или "могут быть использованы" (или уже иногда используются, не всеми, но есть работы, их преимущества, кто, где, итп?).

Подробности, пожалуйста.

----------------------------------------------------------------
№1843 от Саша , 26 ноября 2001 г. 18:43:
В ответ на: Re: Какая математика? от Михалыч-Саше , 26 ноября 2001 г.:

Михалыч!

адача (теорема) в сообщении № 1692
Сформулирована четко!

В сообщение №1693 вы утверждали, что
«оппонировали диссертацию по близкой теме»

Именно это позволило мне применить «конструкцию»:
«вы знакомы с методами решений подобных задач»

С учетом такого счастливого обстоятельства мне бы очень интересно было бы услышать мнение специалиста по поводу того, какие методы : "используются традиционно" при решении подобных задач.

---------------------------------------------------------------
№1853 от Михалыч-Саше , 27 ноября 2001 г. 11:14:
В ответ на: Re: Какая математика? от Саша , 26 ноября 2001 г.:

Саша!

> Задача (теорема) в сообщении № 1692
> Сформулирована четко!

В этом сообщении меня особенно расстрогала финансовая сторона проекта...

> В сообщение №1693 вы утверждали, что
> «оппонировали диссертацию по близкой теме»

Да, диссертация была посвящена остроумному поиску "оптимальных" ЕСТЕСТВЕННЫХ ориентиров на звездном небе (т.н. "вторичных звездных образований" - авторский термин).

> Именно это позволило мне применить «конструкцию»:
> «вы знакомы с методами решений подобных задач»

Что-то подобное приходилось делать и самому: вместе с коллегами из Германии делали математику для задачи оптимизации расположения видеодатчиков в computer vision.

> С учетом такого счастливого обстоятельства

Думаю, ирония неуместна - получите сдачи.

> мне бы очень интересно было бы услышать мнение специалиста по поводу того, какие методы : "используются традиционно" при решении подобных задач.

Не думаю, что (посильные) подробные ответы на Ваши вопросы заинтересуют учасников Форума. А он, вроде бы, стал модерироваться.

Есть желание - мыльте.
Ваш, Михалыч

---------------------------------------------------------------
№1854 от Саша , 27 ноября 2001 г. 22:28:
В ответ на: Re: Какая математика? от Михалыч-Саше , 27 ноября 2001 г.:

> > Задача (теорема) в сообщении № 1692
> > Сформулирована четко!
> В этом сообщении меня особенно расстрогала финансовая сторона проекта...


Внимательно и несколько раз прочитала текст №1692
Так и не поняла, что вас особенно растрогало!
Финансовой стороны не нашла.
Может быть, мы говорим про разные посты?
Сообщите!

> > В сообщение №1693 вы утверждали, что
> > «оппонировали диссертацию по близкой теме»
> Да, диссертация была посвящена остроумному поиску "оптимальных" ЕСТЕСТВЕННЫХ ориентиров на звездном небе (т.н. "вторичных звездных образований" - авторский термин).

Но это же не имеет никакого отношения к задаче, сформулированной в №1692

> > Именно это позволило мне применить «конструкцию»:
> > «вы знакомы с методами решений подобных задач»
> Что-то подобное приходилось делать и самому: вместе с коллегами из Германии делали математику для задачи оптимизации расположения видеодатчиков в computer vision.

Похоже, что и это не имеет отношение к теме!

> > С учетом такого счастливого обстоятельства
> Думаю, ирония неуместна - получите сдачи.

Очень удивлена, что это вы восприняли как иронию!
Про «сдачу» просто ШОК!

> > мне бы очень интересно было бы услышать мнение специалиста по поводу того, какие методы : "используются традиционно" при решении подобных задач.
> Не думаю, что (посильные) подробные ответы на Ваши вопросы заинтересуют учасников Форума. А он, вроде бы, стал модерироваться.

Разве я упоминала про степень подробностей ответов.
И вы разве до сих пор не поняли, что задача чисто математическая (это про модерирование). Кстати по моим сведениям (как говорит Кim- сорока на хвосте принесла) математика «традиционная» и очень интересная!!! Вот я и думала у вас подробности есть.

---------------------------------------------------------------
№1857 от Михалыч-Саше , 28 ноября 2001 г. 11:54:
В ответ на: Re: Какая математика? от Саша , 27 ноября 2001 г.:

Саша!
Ну нет у меня ни времени ни желания препираться...
Желаете по существу - пожалуйста.

1. одни и те же математические методы и теории могут лежать в основе решения задач, поставленных в РАЗЛИЧНЫХ предметных областях. Математика часто является ивариантной относительно предметных постановок задач. Слышали о таком феномене?
И позвольте все-таки мне решать, какие задачи решаются (могут быть решены) похожими методами, а какие, на мой взгляд, нет. Вы же моего мнения спрашиваете.
(Вы же интересуетесь математикой, а не спутниками. Так я понял Ваш вопрос.)

2. я не вижу разницы между задачей построения оптимальной пространственной конфигурации датчиков для (шарового) "объекта" на карданном подвесе для "похожего" критерия видимости.
Да, на "объекте" нет лесов и океанов, Саш и Михалычей. Ну и что?

3. Да, математика интересная и весьма "крутая" - от кватернионов до теории представлений групп.

4. Решение КОНКРЕТНОЙ прикладной задачи в интересах фирмы или "народного хозяйства" оформляется соответствующими финансовыми соглашениями,
потому, что получение ЗАКОНЧЕННОГО решения такой задачи - это время, люди и деньги.

5. Хотите более подробную информацию (бесплатную, разумеется) о используемых подходах, методах, командах - пишите. Чем смогу - поделюсь.
Нет - значит нет.

Ваш Михалыч.

----------------------------------------------------------------
№1860 от Ivan-Михалычу , 28 ноября 2001 г. 17:03:
В ответ на: Re: Такая математика от Михалыч-Саше , 28 ноября 2001 г.:

Уважаемый Михалыч.

Задача, сформулированная в сообщении № 1692, действительно, весьма интересна с позиций математики.

Возникнув в той форме, в которой она представлена на форуме, она наверняка станет вечной задачей Человечества, видоизменясь и «варьируясь».

На форуме представлена простейшая формулировка.
Задача относится к новой отрасли знаний и приложений математики с известной уже многим аббревиатурой ГИС ( ГеоИнформационныеСистемы).
Весьма много (в основном «прикладного») «народа» включилось в эту тематику.
И мне представляется, что решение фундаментальных задач ГИС может быть интересным участникам форума.

Особенность этой задачи заключается в том, что, имея внешний вид как геометрическая задача, она представляет собой задачу на динамику системы (невзаимодействующих) материальных точек.
Почему я пишу вам?
Я думаю, что Саша вполне резонно среагировала на ваше текст, предположив, что вы можете открыть интересную дискуссию о направлениях решений этой задачи.
Я присоединяюсь к её просьбе.

С уважением Иван Ларионов.

-----------------------------------------------------------------------------------
№1866 от Composer , 29 ноября 2001 г. 07:33:
В ответ на: Re: Какая математика? от Саша , 27 ноября 2001 г.:

Рассмотрим сферу (Земля) и точку вне неё (спутник).
С каждым спутником можно связать область на сфере, из которой он виден (область видимости). Предполагается, что спутник виден из точки на сфере, если он расположен выше касательной плоскости, проведённой в этой точке.

Отсюда нетрудно понять, что есть область видимости. Проведём из спутника всевозможные касательные прямые к сфере. Они образуют конус. Пересечение этого конуса со сферой есть окружность, которая делит сферу на 2 части. Область сферы, ограниченная этой окружностью и находящаяся прямо под спутником (под колпаком), и есть область видимости. Она представляет собой сферический круг (шапочку). Размер шапочки (радиус) легко найти (по формулам из справочника), зная радиус Земли и высоту спутника.

Таким образом, задача может быть переформулирована таким образом.
Имеется сфера радиуса R. Требуется найти наиболее экономное покрытие её шапочками радиуса r такое, чтобы каждая точка сферы принадлежала бы как минимум 4 элементам покрытия (шапочкам). (*)

Это "статическая" задача.
Динамика состоит в том, что центры каждой из шапочек с течением времени движутся на сфере по большим окружностям. То есть в каждый момент времени покрытие меняется. При этом необходимо, чтобы свойство (*) имело место быть всегда.

Это только переформулировка. Как решать эту задачу, не понятно (мне).
Наверное, сначала надо решить "статическую" задачу.
Тематика таких задач (об экономных покрытиях) связано с понятием метрической энтропии (в данном случае, на сфере).

Можно что-нибудь поискать об этом.
А, вообще, задача, конечно, нехилая... Правда, и очень интересная.

-------------------------------------------------------------------------------------
№1869 от Саша , 29 ноября 2001 г. 18:08:
На: №1866 от Composer , 29 ноября 2001 г. 07:33:

Рассмотрим сферу (Земля) и точку вне неё (спутник).
С каждым спутником можно связать область на сфере, из которой он виден (область видимости). Предполагается, что спутник виден из точки на сфере, если он расположен выше касательной плоскости, проведённой в этой точке.
Отсюда нетрудно понять, что есть область видимости. Проведём из спутника всевозможные касательные прямые к сфере. Они образуют конус. Пересечение этого конуса со сферой есть окружность, которая делит сферу на 2 части. Область сферы, ограниченная этой окружностью и находящаяся прямо под спутником (под колпаком), и есть область видимости. Она представляет собой сферический круг (шапочку). Размер шапочки (радиус) легко найти (по формулам из справочника), зная радиус Земли и высоту спутника.

Вероятно, что «радиус шапочки» можно считать входным параметром задачи. Ваш вариант - предельное (максимальное) значение радиусов То же и о высоте над поверхностью Земли. Высота нужна лишь для задания угловой скорости движения точек «по окружностям». Наверное, можно все нормировать, и рассматривать задачу покрытия единичной сферы.

Таким образом, задача может быть переформулирована таким образом.
Имеется сфера радиуса R. Требуется найти наиболее экономное покрытие её шапочками радиуса r такое, чтобы каждая точка сферы принадлежала бы как минимум 4 элементам покрытия (шапочкам). (*)

Постановка задачи в №1692 относится к навигационным системам типа Navstar (Navigation System with Time and Ranging) и российского аналога ГЛОНАСС (Глобальная Навигационная Спутниковая Система). Существует масса подобных задач и для систем связи, и вероятно будут системы экологического мониторинга.

Я «пошарила» в сети, чтобы получить представление о количестве спутников в реальных системах.
Получилась очень интересная картина.
Первая коммерческая система глобальной сотовой связи «Iridium» уже создана и успела разориться.

«Трубка» (телефон) этой системы стоит около 500$, минута разговора 1.5$. Но вроде бы систему за бесценок купило МинОбороны США.
Число спутников в этой системе 111.

Сейчас «раскручивается другой проект системы «Teledesic».
Число спутников 288
(В первоначальном варианте было втрое больше).

Меня поразило, что вывод спутников этой системы на орбиту осуществляется с борта самолета.
(Информацию по «Teledesic» записала на форуме «Наука и Образование». Мне кажется она интересной «в принципе».)

К чему я всё это?
Вероятно, целесообразно сначала понять как решить задачу «одноразового покрытия».

Это "статическая" задача.
Динамика состоит в том, что центры каждой из шапочек с течением времени движутся на сфере по большим окружностям. То есть в каждый момент времени покрытие меняется. При этом необходимо, чтобы свойство (*) имело место быть всегда.

Это только переформулировка. Как решать эту задачу, не понятно (мне).
Наверное, сначала надо решить "статическую" задачу.
Тематика таких задач (об экономных покрытиях) связано с понятием метрической энтропии (в данном случае, на сфере).


Про метрической энтропии на сфере ничего не слышала. .
Очевидно, что система покрытия сферы должна быть симметричной.
Отсюда понятно, что как-то должны работать теории, описывающие понятия симметрии..
Мне не ясно, система должна оставаться все время симметричной или как-то деформируясь вновь возвращаться к симметричной.

Можно что-нибудь поискать об этом.
А, вообще, задача, конечно, нехилая... Правда, и очень интересная.

----------------------------------------------------------------------------------
№1879 от Б.Б. , 01 декабря 2001 г. 06:06:
На: Задача, конечно, нехилая. от Саша , 29 ноября 2001 г.:

Очевидно, орбиты спутников должны удовлетворять ряду прикладных требований.
Я в этом не разбираюсь, но слышал, что все спутники связи (ретрансляторы) - геостационарны.

А про GPS я читал, что для решения задач навигации контакта с одним спутником мало. Даже "бытовые" (автомобильные) GPS выполняют все свои функции, только если видят три спутника одновременно. (А если на клиенте функционирует компас, вроде бы достаточно и двух).

Так что задача может оказаться вовсе и не о покрытии сферы шапочками.

----------------------------------------------------------------------------------------------------
№1881 от Саша , 01 декабря 2001 г. 13:59:
На: Re: Задача, конечно, нехилая. от Б.Б. , 01 декабря 2001 г.:

Очевидно, орбиты спутников должны удовлетворять ряду прикладных требований.

В сообщении №1692, с которого началась эта цепочка было сформулировано требование для конкретной навигационной системы

((*) Задачи: Для любого момента времени и из любой точки поверхности Земли должны наблюдаться 4 аппарата GPS. (Можете и обобщить задачу и решать для К аппаратов, т.е. видно К аппаратов))

Composer ( в №1866) сделал шаг в математической формализации задачи, оставив это требование 4-хкратного покрытия.
Но вполне обосновано отметил, что задачку необходимо начинать решать со «статического» варианта.
И, как я понимаю, с однократного покрытия.
Это позволит получить нижнюю оценку числу точек (при любой кратности покрытия) и позволит оценивать близость получаемых решений к «оптимальному» при возникновении «прикладных требований» (ограничений).

Обращает на себя внимание «забавное совпадение». И «Navstar» и ГЛОНАСС проектировались (вероятно) несколько десятков лет назад, но орбитальные архитектуры их практически абсолютно совпали.
Что это? Единственность оптимального решения (при технических ограничениях) или просто «разумное» решение, интуитивно (технически) близкое к оптимальному

Я в этом не разбираюсь, но слышал, что все спутники связи (ретрансляторы) - геостационарны.

Для связи с геостационарными спутниками нужна «тарелка», диаметром порядка полметра. В карман не положишь.

Для «глобального покрытия Земли связью через стационары достаточно тех спутников. Однако для географических широт выше 80 с чем то градусов доступ невозможен.

Я писала в сообщении № 1869, что некоторые материалы из Интернета записала на форуме «Наука и образование»
(№№ 196,197,198).

А про GPS я читал, что для решения задач навигации контакта с одним спутником мало. Даже "бытовые" (автомобильные) GPS выполняют все свои функции, только если видят три спутника одновременно. (А если на клиенте функционирует компас, вроде бы достаточно и двух).

В №1866 я, как мне показалось, ясно обратила внимание на то, что кратность покрытия – это какой-то внутренний параметр математической формализации задачи.
Вот как её формализовать – это вопрос.

Так что задача может оказаться вовсе и не о покрытии сферы шапочками.

А чем?

---------------------------------------------------------------------------------------------


Отклики на это сообщение:

Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100