Сделай шаг в МГУ сейчас!

Сообщение №19725 от 15 декабря 2006 г. 09:36
Тема: Сделай шаг в МГУ сейчас!

"Московский Комсомолец" от 15.12.2006
Уважаемые девяти- и десятиклассники!
Пришло ваше время
Девятиклассники! Если вы выбираете математику или физику, то решаете 10 заданий по математике (со 2-го по 11-е).
Десятиклассники!
Если вы выбираете математику или физику, то решаете 13 заданий по математике (со 2-го по 14-е).
Успехов всем! МГУ ждет вас!


Отклики на это сообщение:

1. В квадрате ABCD точки K и L являются серединами сторон BC и CD соответственно. Отрезки AL и DK пересекаются в точке M. Найдите площадь четырехугольника KCLM , если площадь треугольника AMD равна 4.


2. Турист отправляется в поход из A в B и обратно и проходит весь путь за 3 ч. 41 мин. Дорога из A в B идет сначала в гору, потом по ровному месту, потом под гору. На каком протяжении дорога проходит по ровному месту, если скорость туриста при движении в гору 4 км/ч, под гору 6 км/ч, по ровному месту 5 км/ч, а расстояние от A до B составляет 9 км?


3. Найдите наименьшее значение выражения |33-40k-25n| при целых k и n.


4. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если вписанная в него окружность касается гипотенузы в точке, делящей ее на отрезки a и b.


Решить систему уравнений

x2+y2=x+y-2z
z2+x2=z+2x-y
y2+z2=2y+z-x


> 1. В квадрате ABCD точки K и L являются серединами сторон BC и CD соответственно. Отрезки AL и DK пересекаются в точке M. Найдите площадь четырехугольника KCLM , если площадь треугольника AMD равна 4.

AM=x
MD=y
y*x=8
y/x=2
AM=4, MD=2
ML=1
S(DLM)=1
S(KCLM)=5-1=4.


> 2. Турист отправляется в поход из A в B и обратно и проходит весь путь за 3 ч. 41 мин. Дорога из A в B идет сначала в гору, потом по ровному месту, потом под гору. На каком протяжении дорога проходит по ровному месту, если скорость туриста при движении в гору 4 км/ч, под гору 6 км/ч, по ровному месту 5 км/ч, а расстояние от A до B составляет 9 км?

Подбирая ответ в целых числах, берем соотношение отрезков пути 2:4:3.
2/4+4/5+3/6+3/4+4/5+2/6=221/60=3+41/60, то есть 3ч41мин. Ответ 4км.
Можно составить кучу уравнений, но я обошелся одним тождеством.


> 3. Найдите наименьшее значение выражения |33-40k-25n| при целых k и n.

40k оканчивается на 0,
25n оканчивается на 0 или 5
33 оканчивается на 3
Разница в последних знаках не может быть менее 2. Вот и ответ.
примеры: 5-3=2 10-5-3=2
k=4, n=-5 |X|=2.


На доске записаны числа 1,1/2,1/3,....1/12
a) Докажите, что между этими числами нельзя расставить знаки “+” и “–” так, чтобы полученная сумма оказалась равной нулю.
b) Какое наименьшее количество чисел нужно вычеркнуть так, чтобы после некоторой расстановки знаков “+” и “–” между оставшимися числами получить сумму, равную нулю?
c) Какое наименьшее ненулевое количество чисел можно оставить так, чтобы после некоторой расстановки знаков “+” и “–” между оставшимися числами можно было получить сумму, равную нулю?



Для любого ли треугольника с длинами сторон a, b, c и длинами соответствующих медиан m a , m b , m c существует треугольник с длинами сторон a+m a , b+mb , c+m c ?


> На доске записаны числа 1,1/2,1/3,....1/12
> a) Докажите, что между этими числами нельзя расставить знаки “+” и “–” так, чтобы полученная сумма оказалась равной нулю.
> b) Какое наименьшее количество чисел нужно вычеркнуть так, чтобы после некоторой расстановки знаков “+” и “–” между оставшимися числами получить сумму, равную нулю?
> c) Какое наименьшее ненулевое количество чисел можно оставить так, чтобы после некоторой расстановки знаков “+” и “–” между оставшимися числами можно было получить сумму, равную нулю?

Домножим числа на 12! переходя к эквивалентной задаче уже для целых чисел
12!/1, 12!/2, 12!/3, ..., 12!/12
Видим, что никакая комбинация этих чисел с целыми коэффициентами не равна нулю поскольку число 12!/11 - не делится на 11, а все остальные делятся. Этот признак можно применить и для некоторых других чисел.
Следовательно можно навсегда вычеркнуть числа 12!/11, 12!/7, 12!/3^2, 12!/2^3

Этот признак можно обобщить: комбинация (с допустимыми коэффициентами) всех чисел (входящих в исходное множество) не делящихся на p^k, должна быть равна нулю (p-простое, k-любое).
Откуда видно, что числа 12!/5 и 12!/10 не могут входить в допустимое решение задачи.

Остаются возможными лишь числа:
1,1/2,1/3,1/4,1/6,1/12
На этот раз, чтобы перейти к эквивалентной задаче разделим эти числа на 1/12 получив:
12, 6, 4, 3, 2, 1
Здесь уже невооруженным взглядом видно например:
12-6-3-2-1=0
3-2-1=0
То есть
б) 1-1/2-1/4-1/6-/12 =0 // Максимальная сумма
в) 1/4-1/6-1/12 =0 // Минимальная сумма


> Видим, что никакая комбинация этих чисел с целыми коэффициентами не равна нулю поскольку число 12!/11 - не делится на 11, а все остальные делятся.

Хотелось бы, чтобы эту мысль вы пояснили поподробнее.


> > Видим, что никакая комбинация этих чисел с целыми коэффициентами не равна нулю поскольку число 12!/11 - не делится на 11, а все остальные делятся.

> Хотелось бы, чтобы эту мысль вы пояснили поподробнее.

Да тут всё понятно... а вот дальше уже нужно доказывать...
Но мысль хорошая


> > Видим, что никакая комбинация этих чисел с целыми коэффициентами не равна нулю поскольку число 12!/11 - не делится на 11, а все остальные делятся.

> Хотелось бы, чтобы эту мысль вы пояснили поподробнее.

Пусть у вас есть ненулевые целые числа:
a,b,c,d,e
Пусть для определенности b,c,d,e - делятся на простое число - 11, и a - не делится.
Рассмотрим произвольную комбинацию с целыми, ненулевыми коэффициентами:
x1*a+x2*b+x3*c+x4*d+x5*e
Обозначим ненулевое целое число x2*b+x3*c+x4*d+x5*e = 11*(...) = 11*s
Рассмотрим комбинацию двух целых чисел
x1*a + 11*s
Приравняв ее к нулю получим
x1*a /11 = s
Что невозможно, так как a - не делится на 11, хотя конечно если коэффициент x1 делится на 11 то это возможно. Но у нас допустимые коэффициенты не делятся на 11 и вообще ни начто не делятся.

Обобщение признака более точно будет звучать так:
Этот признак можно обобщить: комбинация (с допустимыми коэффициентами) всех чисел (входящих в исходное множество) не делящихся на p^k, должна быть кратна p^k (p-простое, k-любое).


8. Каждое из четырех чисел a, b, c и d положительно и меньше 1. Докажите, что тогда среди чисел 4a(1-b), 4b(1-c), 4c(1-d), 4d(1-a) найдется хотя бы одно не большее единицы.


9. Какое наибольшее количество точек можно выбрать в круге радиуса 1 так, чтобы расстояние между любыми двумя было бы:
a) больше 1;
б) равно 1?


Для каждой пары чисел a и b (a>0) найдите наименьшее значение выражения
f(3-f(4-5x)), где f(x) = a(x-2)2+b.


11. На стороне AB треугольника ABC выбрана точка D, а на стороне BC этого треугольника — точка E. Отрезки AE и CD пересекаются в точке F.
Площади треугольников ADF, AFC и FEC равны соответственно S1, S2 и S3, а площадь четырехугольника FDBE равна S4.
Известно, что среди четырех чисел S1, S2,S3, S4 три равны между собой.
Найдите все возможные значения отношения S1/S2.


12. Пять отрезков таковы, что любые три из них являются сторонами некоторого треугольника. Могут ли все такие треугольники быть тупоугольными?


Существуют ли две последовательности a1, a2, …, a n и k1, k2, …, k n , состоящие из натуральных чисел, больших единицы, таких, что последовательность является арифметической прогрессией при:
a) n = 3;
b) n = 4;
c) n = 2007.


В шахматном турнире участвует m шахматистов. Каждый шахматист играет с каждым по одному разу и получает: за победу — 1 очко, за поражение — 0 очков, а за ничью — 1/2 очка. Какой максимальный разрыв в очках может быть между шахматистами, занявшими соседние места?


> В шахматном турнире участвует m шахматистов. Каждый шахматист играет с каждым по одному разу и получает: за победу — 1 очко, за поражение — 0 очков, а за ничью — 1/2 очка. Какой максимальный разрыв в очках может быть между шахматистами, занявшими соседние места?

Игроков 10, каждый имеет 9 встреч с соперниками,
Игр 10*9/2=45, в каждой игре на двоих - одно очко,
Очков всего будет 45, чемпион максимум наберет 9 очков,
Чтобы разрыв между первым и вторым был максимальный, 36 нужно поровну раздать остальным 9 игрокам, то есть по 4 очка. Разрыв 5 очков.
Проверим для 11 игроков: 11*10/2=55 (55-10)/10=4,5 очка на каждого. Разр. 5,5 о.
Проверим для 12 игроков: 12*11/2=66 (66-11)/11= 5 очков на каждого. Разр. 6 оч.
Проверим для 4 игроков: 4*3/2=6 (6-3)/3= 1 очко на каждого. Разр. 2 оч.
Получается, что максимальный разрыв между 1 и 2 будет m/2.


> 9. Какое наибольшее количество точек можно выбрать в круге радиуса 1 так, чтобы расстояние между любыми двумя было бы:
> a) больше 1;
Видимо, нужно, расположив равносторонний треугольник со стороной чуть больше 1, у которого одна вершина почти в центре круга, сможем расположить только еще две точки на расстоянии более 1. Пятиугольник - пять точек, внутри пусто.

> б) равно 1?
Тот же метод. Шестиугольник и в центре точка, итого 7 точек.


Пусть значек ± означает плюс ИЛИ минус.

И пусть нашлась система значков ± такая, что
1 ± 1/2 ± 1/3 ± 1/4 ± 1/5 ± 1/6 ± 1/7 ± 1/8 ± 1/9 ± 1/10 ± 1/11 ± 1/12=0

Умножим обе части равенства на 12. Получим
12 ± 6 ± 4 ± 3 ± 12/5 ± 2 ± 12/7 ± (12/8) ± (12/9) ± (12/10) ± (12/11) ± 1=0

Выделим сумму (в алгебраическом смысле) из целых чисел и несократимых дробей, получим
S1 +12/5 ± 2 ± 12/7 ± (12/8) ± (12/9) ± (12/10) ± (12/11)=0

или
S1 +(2+2/5) ± (1+5/7) ± (1+4/8) ± (1+3/9) ± (1+2/10) ± (1+1/11)=0
или
S1 +2/5 ± (1+5/7) ± (1+4/8) ± (1+3/9) ± (1+2/10) ± (1+1/11)=0
или

S1+S2 + 2/5 ± 5/7 ± 4/8 ± 3/9 ± 2/10 ± 1/11=0

Умножаем на 5, проделываем аналогичную процедуру. И т.д.
Последовательно применяя такую процедуру, в итоге придем к равенству
S ± k/11=0

Здесь
S-целое, а k меньше 11=0
ПОЛУЧИЛИ ПРОТИВОРЕЧИЕ.


> Пусть значек ± означает плюс ИЛИ минус.

> И пусть нашлась система значков ± такая, что
> 1 ± 1/2 ± 1/3 ± 1/4 ± 1/5 ± 1/6 ± 1/7 ± 1/8 ± 1/9 ± 1/10 ± 1/11 ± 1/12=0

> Умножим обе части равенства на 12. Получим
> 12 ± 6 ± 4 ± 3 ± 12/5 ± 2 ± 12/7 ± (12/8) ± (12/9) ± (12/10) ± (12/11) ± 1=0

> Выделим сумму (в алгебраическом смысле) из целых чисел и несократимых дробей, получим
> S1 +12/5 ± 2 ± 12/7 ± (12/8) ± (12/9) ± (12/10) ± (12/11)=0

> или
> S1 +(2+2/5) ± (1+5/7) ± (1+4/8) ± (1+3/9) ± (1+2/10) ± (1+1/11)=0
> или
> S1 +2/5 ± (1+5/7) ± (1+4/8) ± (1+3/9) ± (1+2/10) ± (1+1/11)=0
> или

> S1+S2 + 2/5 ± 5/7 ± 4/8 ± 3/9 ± 2/10 ± 1/11=0


> Умножаем на 5, проделываем аналогичную процедуру. И т.д.
> Последовательно применяя такую процедуру, в итоге придем к равенству
> S ± k/11=0

:)
Ты остановился на самом интересном, именно с этими коэффициентами - 7,8,9 возникает проблема применеия процедуры :)))


> Здесь
> S-целое, а k меньше 11=0
> ПОЛУЧИЛИ ПРОТИВОРЕЧИЕ.


> > 9. Какое наибольшее количество точек можно выбрать в круге радиуса 1 так, чтобы расстояние между любыми двумя было бы:
> > a) больше 1;
> Видимо, нужно, расположив равносторонний треугольник со стороной чуть больше 1, у которого одна вершина почти в центре круга, сможем расположить только еще две точки на расстоянии более 1. Пятиугольник - пять точек, внутри пусто.

> > б) равно 1?
> Тот же метод. Шестиугольник и в центре точка, итого 7 точек.

Вряд ли это шестиугольник с центральной точкой. Ведь по условию задачи нужно, чтобы расстояние между любыми двумя точками было бы равно 1. Поэтому остается равносторонний треугольник.


Пардон все верно.


> > В шахматном турнире участвует m шахматистов. Каждый шахматист играет с каждым по одному разу и получает: за победу — 1 очко, за поражение — 0 очков, а за ничью — 1/2 очка. Какой максимальный разрыв в очках может быть между шахматистами, занявшими соседние места?

> Игроков 10, каждый имеет 9 встреч с соперниками,
> Игр 10*9/2=45, в каждой игре на двоих - одно очко,
> Очков всего будет 45, чемпион максимум наберет 9 очков,
> Чтобы разрыв между первым и вторым был максимальный, 36 нужно поровну раздать остальным 9 игрокам, то есть по 4 очка. Разрыв 5 очков.
> Проверим для 11 игроков: 11*10/2=55 (55-10)/10=4,5 очка на каждого. Разр. 5,5 о.
> Проверим для 12 игроков: 12*11/2=66 (66-11)/11= 5 очков на каждого. Разр. 6 оч.
> Проверим для 4 игроков: 4*3/2=6 (6-3)/3= 1 очко на каждого. Разр. 2 оч.
> Получается, что максимальный разрыв между 1 и 2 будет m/2.

Да, всё правильно, но это для 1 и 2 места... Очевидно, что это правильное решение, но тут спрашивается разрыв между занявшими СОСЕДНИЕ места...
надо доказать что разрыв мжд соседними не превышает разрыва между 1 и 2...


> > S1+S2 + 2/5 ± 5/7 ± 4/8 ± 3/9 ± 2/10 ± 1/11=0

> > Умножаем на 5, проделываем аналогичную процедуру. И т.д.

> Ты остановился на самом интересном, именно с этими коэффициентами - 7,8,9 возникает проблема применеия процедуры :)))


Хорошо, продолжим.
Умножаем на 5.

5*S1+5*S2 + 5 ± 25/7 ± 20/8 ± 15/9 ± 10/10 ± 5/11=0
или

5*S1+5*S2 + 5 ± (3+4/7) ± (2+4/8) ± (8+3/9) ± 1 ± 5/11=0
Собирапя целые в суммы, получаем

S12 + S21 + S3 + 4/7 ± 4/8 ± 3/9 ± 5/11=0

Обозначим иначе
S + 4/7 ± 4/8 ± 3/9 ± 5/11=0

Умножаем на 7
7*S ± 28/8 ± 21/9 ± 35/11=0
7*S ± (3+4/8) ± (2+3/9) ± (3+2/11)=0

Каждый раз в этой процедуре сумму целых чисел будем обозначать одинакоо как S.
S ± 4/8 ± 3/9 ± 2/11=0

Теперь умножаем на 8
8*S ± 4± 24/9 ± 16/11=0 или
(8*S ± 4)± (2+6/9) ± (1+5/11)=0 или

т.е
S ± 6/9 ± 5/11=0

Умножаем на 9

9*S ± 6 ± 45/11=0
(9*S ± 6) ± (4+1/11)=0

В итоге
S ± 1/11=0

S-целое
ПОЛУЧИЛИ ПРОТИВОРЕЧИЕ.
Имеем регулярную процедуру действий, приводящую к противоречию.



> > > 9. Какое наибольшее количество точек можно выбрать в круге радиуса 1 так, чтобы расстояние между любыми двумя было бы:
> > > a) больше 1;
> > Видимо, нужно, расположив равносторонний треугольник со стороной чуть больше 1, у которого одна вершина почти в центре круга, сможем расположить только еще две точки на расстоянии более 1. Пятиугольник - пять точек, внутри пусто.

> > > б) равно 1?
> > Тот же метод. Шестиугольник и в центре точка, итого 7 точек.

> Вряд ли это шестиугольник с центральной точкой. Ведь по условию задачи нужно, чтобы расстояние между любыми двумя точками было бы равно 1. Поэтому остается равносторонний треугольник.

Вы правы. Я, решая пункт б), не прочитал вновь условие.


> 12. Пять отрезков таковы, что любые три из них являются сторонами некоторого треугольника. Могут ли все такие треугольники быть тупоугольными?

Наверное, нет. Взяв стороны 2 2 1,41 1,41 2,82 , чуть удлиннив или укоротив их, получим 7 тупо- и 3 остроугольных тр-ка.


> 4. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если вписанная в него окружность касается гипотенузы в точке, делящей ее на отрезки a и b.

В прямоугольном треугольнике стороны будут такими: a+b, a+r, b+r.
Так как а и b известны, r найдем из уравнения теоремы Пифагора, а площадь - половина произведения катетов.


Нельзя, я даж знаю ответ...
хотя бы 1 остроугольный, это было на каком-то всеросе, 100 %.
Только как доказать?


> Нельзя, я даж знаю ответ...
> хотя бы 1 остроугольный, это было на каком-то всеросе, 100 %.
> Только как доказать?

Пусть имеем пять сторон
a1 [Меньше либо =] a2 [Меньше либо =] a3 [Меньше либо =] a4 [Меньше либо =] a5
Тогда неравенства треугольников для любой комбинации сторон могут быть выражены одним:
a1+a2>a5 Из которого следуют любые другие, например a3+a4>a5

Тупоугольные, прямоугольные и остроугольные тр-ки характеризуются следующим простым свойством:
a^2+b^2 [Меньше] c^2
a^2+b^2=c^2 // Прямоугольные
a^2+b^2>c^2 // Остроугольные
c>a c>b

Тогда для нашей задачи должны выполняться следующие неравенства
a1^2+a2^2 [Меньше] a3^2
a2^2+a3^2 [Меньше] a4^2
a3^2+a4^2 [Меньше] a5^2
Подставляем неравенства друг в друга
2*a1^2+3*a2^2 [Меньше] a5^2
Сравнивая его с a1+a2>a5 получаем противоречие, что и доказывает теорему.
В тоже время для 4 треугольников все в порядке и можно найти пример.
Для любого числа остроугольных треугольников также все в порядке, система работает.


> Нельзя, я даж знаю ответ...
> хотя бы 1 остроугольный, это было на каком-то всеросе, 100 %.
> Только как доказать?
Пусть имеем пять сторон
a1 <=a2 <=a3 <=a4 <=a5
Тогда неравенства треугольников для любой комбинации сторон могут быть выражены одним:
a1+a2>a5 Из которого следуют любые другие, например a3+a4>a5
Тупоугольные, прямоугольные и остроугольные тр-ки характеризуются следующим простым свойством:
a^2+b^2 <c^2
a^2+b^2=c^2 // Прямоугольные
a^2+b^2>c^2 // Остроугольные
c>a c>b
Тогда для нашей задачи должны выполняться следующие неравенства
a1^2+a2^2 <a3^2
a2^2+a3^2 <a4^2
a3^2+a4^2 <a5^2
Подставляем неравенства друг в друга
2*a1^2+3*a2^2 <a5^2
Сравнивая его с a1+a2>a5 получаем противоречие, что и доказывает теорему.
В тоже время для 4 треугольников все в порядке и можно найти пример.
Для любого числа остроугольных треугольников также все в порядке, система работает.
22 декабря 2006 г. 22:11


Пусть имеем пять сторон
a1 £ a2 £ a3 £ a4 £ a5
Тогда неравенства треугольников для любой комбинации сторон могут быть выражены одним:
a1 + a2 > a5 из которого следуют любые другие, например a3 + a4 > a5

Тупоугольные, прямоугольные и остроугольные треугольники характеризуются следующим простым свойством:
a2 + b2 < c2
a2 + b2 = c2 // Прямоугольные
a2 + b2 > c2 // Остроугольные
c > ac > b

Тогда для нашей задачи должны выполняться следующие неравенства
a12 + a22 < a32
a22 + a32 < a42
a32 + a42 < a52

Подставляем неравенства друг в друга
2·a12 + 3·a22 < a52

Сравнивая его с a1 + a2 > a5 получаем противоречие, что и доказывает теорему.

В тоже время для 4 треугольников все в порядке и можно найти пример. Для любого числа остроугольных треугольников также все в порядке, система работает.


Задание №6(в)
На доске записаны числа 1, 1/2,1/3,....1/12

Какое наименьшее количество чисел нужно вычеркнуть так, чтобы после некоторой расстановки знаков “+” и “–” между оставшимися числами получить сумму, равную нулю?

Господа, у кого есть идеи по поводу подхода к решению этой задачи?


Кто-нибудь подскажет, ну хоть идейку подкинет по этому заданию? Что-то я вообще не могу найти нужный подход. Дайте хоть направление... :-(((((
Буду очень благодарна!!!


Я уже решила. Помощь уже не нужна.


> Я уже решила.
Почему бы вам не привести здесь решение.


> Решить систему уравнений

> x2+y2=x+y-2z
> z2+x2=z+2x-y
> y2+z2=2y+z-x

ЧТО? НИКТО НЕ РЕШИЛ СИСТЕМУ?


> 11. На стороне AB треугольника ABC выбрана точка D, а на стороне BC этого треугольника — точка E. Отрезки AE и CD пересекаются в точке F.
> Площади треугольников ADF, AFC и FEC равны соответственно S1, S2 и S3, а площадь четырехугольника FDBE равна S4.
> Известно, что среди четырех чисел S1, S2,S3, S4 три равны между собой.
> Найдите все возможные значения отношения S1/S2.

Люди добрые подскажите хоть что-нибудь!


> Существуют ли две последовательности a1, a2, …, a n и k1, k2, …, k n , состоящие из натуральных чисел, больших единицы, таких, что последовательность является арифметической прогрессией при:
> a) n = 3;
> b) n = 4;
> c) n = 2007.

Господа,помогите пожалуйста решить №13!Хоть бы подскажите идею!


> > Существуют ли две последовательности a1, a2, …, a n и k1, k2, …, k n , состоящие из натуральных чисел, больших единицы, таких, что последовательность является арифметической прогрессией при:
> > a) n = 3;

> > b) n = 4;
> > c) n = 2007.

> Господа,помогите пожалуйста решить №13!Хоть бы подскажите идею!

Так в ней условия не видно. Некому разъяснить.
Что такое n? Количество членов? Тогда берем от 2до 2009 и от 2010 до 4019. Ведь начальный член больше единицы и в большую сторону ограничения нет.


Должно быть так:

Существуют ли две последовательности a1, a2, …, a n и k1, k2, …, k n , состоящие из натуральных чисел, больших единицы, таких, что последовательность a1k1, , a2k2, ,.....ankn, является арифметической прогрессией при:
a) n = 3;
b) n = 4;
c) n = 2007.


> Должно быть так:

> Существуют ли две последовательности a1, a2, …, a n и k1, k2, …, k n , состоящие из натуральных чисел, больших единицы, таких, что последовательность a1k1, , a2k2, ,.....ankn, является арифметической прогрессией при:
> a) n = 3;
> b) n = 4;
> c) n = 2007.

Все равно условия не имеют пределов, то есть не определены. Что такое последовательность натуральных чисел? Натуральный ряд? В самом определении последовательности уже употребляется понятие натурального ряда. Может быть имеется в виду последовательность положительных целых чисел? Последовательности могут состоять и из одинаковых чисел: 333 и 222, тогда 3^2 3^2 3^2 образуют арифметическую, одновременно и геометрическую, прогрессии с коэф. 0 и 1 .


> Для любого ли треугольника с длинами сторон a, b, c и длинами соответствующих медиан m a , m b , m c существует треугольник с длинами сторон a+m a , b+mb , c+m c ?
---------
Кажется ответ:при условии что m a + m b > m c и наоборот!


> > Решить систему уравнений

> > x2+y2=x+y-2z
> > z2+x2=z+2x-y
> > y2+z2=2y+z-x

Помогите решить систему!


> Что такое последовательность натуральных чисел?
Здесь сразу два вопроса.
(1) Что такое последовательность?
(2) Что такое натуральное число?

Последовательность- это функция, определенная на множестве натуральных чисел. Разумеется, здесь предполагается, что множество, на котором определена последовательность, может быть конечным и бесконечными.

Натуральное число, если говорить упрощенно, - это целое, положительное число.

> Натуральный ряд?
Это множество.
Множество бесконечное и упорядоченное.

> В самом определении последовательности уже употребляется понятие натурального ряда.
Нет.
Натуральный ряд - это множество бесконечное. А последовательность может состоять и из конечного числа элементов.

> Может быть имеется в виду последовательность положительных целых чисел?
В условии сказано. Существуют ли две последовательности, состоящие из натуральных чисел, больших единицы. И сказано, что n конечное число.

> Последовательности могут состоять и из одинаковых чисел: 333 и 222, тогда 3^2 3^2 3^2 образуют арифметическую, одновременно и геометрическую, прогрессии с коэф. 0 и 1 .
Например, в определении геометрической прогрессии сказано, что знаменатель прогрессии не может быть ни нулем, ни единицей.


Благодарен Ана за отклик. Вот передо мной книжка "Повторим математику".

> Последовательность- это функция, определенная на множестве натуральных чисел. Разумеется, здесь предполагается, что множество, на котором определена последовательность, может быть конечным и бесконечными.

В книге так сказано: Числовая последовательность - прономерованный ряд чисел, где каждое число задано или в виде таблицы или формулой, то есть функцией f(n).
Последовательность, не зависящая от n, называется постоянной последовательностью, то есть - ряд одинаковых чисел.

> Натуральное число, если говорить упрощенно, - это целое, положительное число.

> > Натуральный ряд?
> Это множество.
> Множество бесконечное и упорядоченное.

> > В самом определении последовательности уже употребляется понятие натурального ряда.
> Нет.
> Натуральный ряд - это множество бесконечное. А последовательность может состоять и из конечного числа элементов.

Я бы уточнил, для себя: натуральный ряд - ряд положительных целых чисел в порядке возрастания на 1. Принято начинать ряд с 1, но в иенформатике удобнее ряд начинать с 0.

> > Может быть имеется в виду последовательность положительных целых чисел?
> В условии сказано. Существуют ли две последовательности, состоящие из натуральных чисел, больших единицы. И сказано, что n конечное число.
>

> > Последовательности могут состоять и из одинаковых чисел: 333 и 222, тогда 3^2 3^2 3^2 образуют арифметическую, одновременно и геометрическую, прогрессии с коэф. 0 и 1 .
> Например, в определении геометрической прогрессии сказано, что знаменатель прогрессии не может быть ни нулем, ни единицей.

А я вычитал только два условия: "в геометрической прогрессии первый член и знаменатель не должны быть нулями" . В арифметической прогрессии первый член и разность могут быть любыми числами.


> > > Решить систему уравнений

> > > x2+y2=x+y-2z
> > > z2+x2=z+2x-y
> > > y2+z2=2y+z-x

> Помогите решить систему!

Кому "помогите!"? И зачем? И надо ли?

Сумма уравнений: x^2+y^2+z^2=x+y
x=y=z=0
x=y=1,z=0
x=1,e=z=0
y=1,x=z=0
.........
разности уравнений...
.........


> > > > Решить систему уравнений

> > > > x2+y2=x+y-2z
> > > > z2+x2=z+2x-y
> > > > y2+z2=2y+z-x

> Сумма уравнений: x^2+y^2+z^2=x+y
> разности уравнений...

При таких манипуляциях необходимо доказать, что не потеряны корни и не приобретены лишние


Для каждой пары чисел a и b (a>0) найдите наименьшее значение выражения f(3-f(4-5x)) , где f(x)=a(x-2)2+b.


На стороне AB треугольника ABC выбрана точка D, а на стороне BC этого треугольника - точка E. Отрезки AE и CD пересекаются в точке F. Площади треугольников ADF, AFC и FEC равны соответственно S1, S2 и S3 , а площадь четырехугольника FDBE равна S4. Известно, что среди четырех чисел S1, S2, S3, S4 три равны между собой. Найдите все возможные значения отношения S1/S2


> > > > Решить систему уравнений

> > > > x2+y2=x+y-2z
> > > > z2+x2=z+2x-y
> > > > y2+z2=2y+z-x

> > Помогите решить систему!

> Кому "помогите!"? И зачем? И надо ли?

> Сумма уравнений: x^2+y^2+z^2=x+y
> x=y=z=0
> x=y=1,z=0
> x=1,e=z=0
> y=1,x=z=0
> .........
> разности уравнений...
> .........

Наивный человек..... Ты проверь корни, которые получил для каждого уравнения и посмотри насколько правильно твое решение...


[Перенесено модератором из форума "Форум по математике"]

Сообщение №20242 от Rand 15 января 2007 г. 20:00
Тема: Re: Сделай шаг в МГУ сейчас!

Каждое из четырех чисел a, b, c и d положительно и меньше 1. Докажите, что тогда среди чисел 4a(1-b), 4b(1-c), 4c(1-d), 4d(1-a) найдется хотя бы одно не большее единицы.

Отклики на это сообщение:

> Каждое из четырех чисел a, b, c и d положительно и меньше 1. Докажите, что тогда среди чисел 4a(1-b), 4b(1-c), 4c(1-d), 4d(1-a) найдется хотя бы одно не большее единицы.

Выберем из этих чисел такое у которого правый множитель наименьший.
Заменим у него левый множитель на максимальное из а,b,c,d (от этого число может только увеличиться)
Очевидно получится число вида 4x(1-x), которое не может быть больше единицы, при x меньшем единицы.


> 11. На стороне AB треугольника ABC выбрана точка D, а на стороне BC этого треугольника — точка E. Отрезки AE и CD пересекаются в точке F.
> Площади треугольников ADF, AFC и FEC равны соответственно S1, S2 и S3, а площадь четырехугольника FDBE равна S4.
> Известно, что среди четырех чисел S1, S2,S3, S4 три равны между собой.
> Найдите все возможные значения отношения S1/S2.



> > .........

> Наивный человек..... Ты проверь корни, которые получил для каждого уравнения и посмотри насколько правильно твое решение...

Будем меряться наивностью или задачки решать?
Сдаюсь - у Вас длиннее...


> > 11. На стороне AB треугольника ABC выбрана точка D, а на стороне BC этого треугольника — точка E. Отрезки AE и CD пересекаются в точке F.
> > Площади треугольников ADF, AFC и FEC равны соответственно S1, S2 и S3, а площадь четырехугольника FDBE равна S4.
> > Известно, что среди четырех чисел S1, S2,S3, S4 три равны между собой.
> > Найдите все возможные значения отношения S1/S2.

>

S1, S2, S3 в треугольнике не могут быть равными одновременно, так как они равны только в параллелограмме.
При равенстве S2, S3, S4 отношение S1/S2=1/4.


> 2. Турист отправляется в поход из A в B и обратно и проходит весь путь за 3 ч. 41 мин. Дорога из A в B идет сначала в гору, потом по ровному месту, потом под гору. На каком протяжении дорога проходит по ровному месту, если скорость туриста при движении в гору 4 км/ч, под гору 6 км/ч, по ровному месту 5 км/ч, а расстояние от A до B составляет 9 км?

Я решал тупо, по-школьному.
Есть 2 уравнения для времени (s1/6+s1/4+s2/5+s2/5+/s3/6+s3/4=221/60) и для пути (s1+s2+s3=9),где s2-ровный участок.
(1/6+1/4)*(s1+s3)+2*s2/5=221/60
из уравнения по пути s1+s3=9-s2 Убираем s1+s3 без всякого перебора.
15/4-s2/60=221/60
s2=225-221
s2=4km



> > > 11. На стороне AB треугольника ABC выбрана точка D, а на стороне BC этого треугольника — точка E. Отрезки AE и CD пересекаются в точке F.
> > > Площади треугольников ADF, AFC и FEC равны соответственно S1, S2 и S3, а площадь четырехугольника FDBE равна S4.
> > > Известно, что среди четырех чисел S1, S2,S3, S4 три равны между собой.
> > > Найдите все возможные значения отношения S1/S2.


S1, S2, S3 в треугольнике не могут быть равными одновременно, так как они равны только в параллелограмме.
При равенстве S2, S3, S4 отношение S1/S2=5^0,5-2= 1/4,236....


> 4. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если вписанная в него окружность касается гипотенузы в точке, делящей ее на отрезки a и b.

Я б делал по-другому))))))

S=((r+a)(r+b))/2 ;
2S=r(r+a+b)+ab=rp+ab , где р - полупериметр.
так как rp=S , то
S=ab.
И всё тут.


> Решить систему уравнений

> x2+y2=x+y-2z
> z2+x2=z+2x-y
> y2+z2=2y+z-x

Я читаю решения Арх:
y=1,x=z=0
Читаю одно из уравнений:

z2+x2=z+2x-y

Подставляю:

02 + 02 = 0 +2*0 +(-1) ;
0=-1!!!!!!!!!!!!
Вы гений --- я прям в шоке!



Почему четырехугольник, стороны кторого отмечены на рисунке, как х, ромб? ТО есть, почему его стороны равны?


> Для любого ли треугольника с длинами сторон a, b, c и длинами соответствующих медиан m a , m b , m c существует треугольник с длинами сторон a+m a , b+mb , c+m c

Вы могли бы объяснить?



> Почему четырехугольник, стороны кторого отмечены на рисунке, как х, ромб? ТО есть, почему его стороны равны?

В частных случаях /прямоугольный, равнобедреннный, равносторонний/. Но решение выводится через уравнение высот треугольников. Верхняя точка высоты H скользит вправо по медиане, высоты h - влево, из середины паралеллограмма на равное смещение х в обе стороны. Площади трех тр-ков сравняются при x^2+2*x-0,5^2=0.
Получится 3 равных больших и 4 равных маленьких треугольника.


>Я читаю решения Арх:
>Вы гений --- я прям в шоке!

Вы мне льстите.
Показал, что можно простым перебором решить, а до конца не решал - не на экзамене.


Будьте так добры, поподробнее изложите решение. Буду вам очень благодарна.(:


Моё личное мнение, что решение перебором- один из самых нежелательных способов + ещё всегда надо доказывать что других решений нет.
Я хотел лишь показать недостатки этого способа, хотя выбрал не лучшую форму для этого



> Моё личное мнение, что решение перебором- один из самых нежелательных способов + ещё всегда надо доказывать что других решений нет.
> Я хотел лишь показать недостатки этого способа, хотя выбрал не лучшую форму для этого

А что такое такую систему уравнений решить перебором. Если это удается сделать, то это высший класс.


> А что такое такую систему уравнений решить перебором. Если это удается сделать, то это высший класс.

Возможно, но я высказал моё мнение. к тому же проверку делать и доказывать что других корней нет - муторно


> > А что такое такую систему уравнений решить перебором. Если это удается сделать, то это высший класс.

> Возможно, но я высказал моё мнение. к тому же проверку делать и доказывать что других корней нет - муторно

Перебирать можно элементы конечного множества. А здесь как?


> Решить систему уравнений

> x2+y2=x+y-2z
> z2+x2=z+2x-y
> y2+z2=2y+z-x
Ну выразите из 2 уравнения y через остальные переменные, потом методом подстановки, получаем систему уже из 2 уравнений.
x^2+(z+2x-z^2-x^2)^2=x+z+2x-z^2-x^2-2z
(z+2x-z^2-x^2)^2+z^2=2*(z+2x-z^2-x^2)+z-x
Потом вычитаем из 1го 2е,получаем:
x^2-z^2=-4z+z^2+x^2; z=2.
Ну а дальше Вы уж как нибудь сами, т.к. теперь решение этой системы не должно составить труда ни для кого, кто умеет решать системы с 2 переменными.


ЕГЭ В МОСКВЕ БУДЕТ ТОЛЬКО ПО РУССКОМУ
А МГУ отстоял право проводить свои экзамены
Владимир Путин подписал закон о введении Единого госэкзамена. С 2009 года ЕГЭ станет обязательным для всех российских выпускников. Об этом шла речь на пресс-конференции руководителя Рособрнадзора Виктора Болотова.

“Двух экзаменационных “волн” теперь не будет, — сказал Виктор Александрович, — вступительные экзамены, они же выпускные в школе, будут проходить один раз в году: в конце мая — начале июня”. Это значит, что с 2009 года ЕГЭ станет штатным по всей территории России.
Принятие закона о ЕГЭ шло долго и со скрипом. Сначала его предполагали ввести в 2007 году, потом в 2008-м и, наконец, в 2009-м. Противникам “госов” удалось выторговать для выпускников значительные послабления. Во-первых, поступать с результатами ЕГЭ в вуз или колледж можно будет два раза. Если ученик сдаст “госы” летом 2009 года, то его результаты будут действительны до 31 декабря 2010 года. Во-вторых, ЕГЭ можно сдавать ежегодно, причем бесплатно. Если школьника не устроят его прошлогодние результаты, то он сможет пересдать госэкзамен и поступать в вуз или колледж уже с новыми баллами или же использовать часть результатов из старого и нового свидетельств. Особое исключение сделали для военнослужащих срочной службы. Они смогут использовать результаты ЕГЭ, сданного в течение года до призыва в армию. В-третьих, расширено число олимпиад, по итогам которых выпускник может быть принят в вуз вне конкурса. Помимо всероссийских в их число вошли некоторые межвузовские олимпиады. Их перечень будет ежегодно утверждаться Министерством образования и науки РФ. В-четвертых, творческие, спортивные и силовые вузы смогут проводить свои собственные дополнительные испытания для абитуриентов. Такое же право будет дано некоторым элитным университетам и академиям — их список утвердит правительство РФ. По-прежнему свои экзамены останутся у МГУ им. Ломоносова.
В 2007 году в Москве будет один обязательный экзамен в форме ЕГЭ — по русскому языку. Два других экзамена, по литературе и алгебре, выпускники смогут сдать как в форме “госов”, так и в традиционной форме. Например, экзамен по литературе может проходить в виде изложения, сочинения или устного экзамена. Кроме трех обязательных выпускников 2007-го ждут еще два экзамена по выбору.
"Московский Комсомолец" от 16.02.2007 Игорь СЕРГЕЕВ



Сообщение №19725 от , 15 декабря 2006 г


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100