Теорема Ферма

Сообщение №18941 от 12 сентября 2006 г. 16:39
Тема: Теорема Ферма

Предшествующие сообщения по теореме можно найти в темах.

_ 8201 Теорема Ферма (большая)

_ 6295 Теорема Ферма

_ 4230 Великая теорема Ферма(ВТФ)!!!

Если вы получите, что сообщение недоступно, то ищите его в архиве форума по математике.


Отклики на это сообщение:

> Предшествующие сообщения по теореме можно найти в темах.

>

_ 8201 Теорема Ферма (большая)

>
_ 6295 Теорема Ферма

>
_ 4230 Великая теорема Ферма(ВТФ)!!!

> Если вы получите, что сообщение недоступно, то ищите его в архиве форума по математике.


На Ваше сообщение №18951 от СоМоderator, 13 сентября 2006г., если я правильно понял, высылаю полное сообщение №18908 от 08 сентября 2006г.
Семён.

Здравствуйте, участники Форума!
Представляю на Ваш суд доказательство теоремы Ферма методами
элементарной математики. Прошу сообщить Ваши замечания (положительные или отрицательные).
Прилагаю : 1. Вариант доказательства - на 30-ти картинках.
2. Файл с рис.1 на 1-ой стр.
3. Файл с рис.2 на 1-ой стр.
С уважением Семён Ельский.
































После прочтения (не изучения) сообщаю замечания:
1. Из сообщения ясно, что К с индексом 2<К с индексом 3<К с индексом 4<...<К с индексом n, но нет объяснения, почему рац. значение К с индексом 2 должно быть больше 1/((2^0.5) - 1)) ?
2. Док-во грешит лишними подробностями, примерами, пояснениями, что увеличивает объём док-ва.
3. Для удобства ознакомления с док-вом, необходимо расположить Рис.1 между разделами (-2-) и (-3-).
4. Я не знаток теории чисел, поэтому не могу квалифицированно определить правильность применения рац. корней для док-ва
теоремы Ферма.
Piter.
18 сентября 2006 г. 12:44:


СоModeratorу:
Очень сомневаюсь, что кто-нибудь прочитает моё сообщение
док-ва Т.Ф., т.к. оно "спрятано" под 3-мя сообщениями, опубликованными несколько лет назад, да ещё мелким шрифтом.
Если можно и возможно,то прошу Вас лично посмотреть или показать док-во специалисту. Док-во легко читается и займёт немного времени. На сообщение № 18971 от 14.09.06г. предложений не поступило.
Если возможно, убедительно прошу в разделе 27 док-ва, в строке 5 сверху убрать текст после слова "этого", заменив его на: "уравнeния в степень n ".> > Предшествующие сообщения по теореме можно найти в темах.

> >

_ 8201 Теорема Ферма (большая)

> >
_ 6295 Теорема Ферма

> >
_ 4230 Великая теорема Ферма(ВТФ)!!!

> > Если вы получите, что сообщение недоступно, то ищите его в архиве форума по математике.

>
> На Ваше сообщение №18951 от СоМоderator, 13 сентября 2006г., если я правильно понял, высылаю полное сообщение №18908 от 08 сентября 2006г.
> Семён.

> Здравствуйте, участники Форума!
> Представляю на Ваш суд доказательство теоремы Ферма методами
> элементарной математики. Прошу сообщить Ваши замечания (положительные или отрицательные).
> Прилагаю : 1. Вариант доказательства - на 30-ти картинках.
> 2. Файл с рис.1 на 1-ой стр.
> 3. Файл с рис.2 на 1-ой стр.
> С уважением Семён Ельский.
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>


Утверждают, что кроме Большой теоремы Ферма сформулировал и задачу следующего содержания:
"Найти все целочисленные прямоугольные треугольники с разностью
катетов равной определенному числу?"
По крайней мере, так она сформулирована на другом форуме.


По моему мнению, катеты вполне можно вычислять по выражениям:
a = k^2 + k*sqrt[(k^2 - r)*2]
b = k^2 + k*sqrt[(k^2 + r)*2],
где а – меньший катет, b – больший катет, r – разность катетов, к – вспомогательный коэффициент (натуральное число).
Для определения коэффициентов выражение sqrt[(k^2+1)] обозначим через р.

Составляем зависимость (в скобках - нижние индексы):
к(n) = k(n-1) + p(n-1)
p(n) = 2k(n-1) + p (n-1)
a или b = k^2 + k*p

При r=1, зная для первой тройки k(1)=1, p(1)=2, расчеты далее можно продолжать «до посинения», чередуя формулы катетов.
k(2)=1+2=3
p(2)=1*2+2=4
a(2)=3^2 + 3*4 = 21

k(3) = 3+4=7
p(3) = 2*3+4=10
b(3) = 7^2 + 7*10 =119

k(4) = 7+10=17
p(4) = 7*2+10=24
a(4) = 17^2 + 17*24 = 697
………………..
Для любого другого нечетного r, отличного от 1 и не являющегося квадратом числа, существуют два параллельных ряда, берущих начало от разных троек катетов.
Например, при r=7 первый ряд, берет начало от первой тройки 13-12-5, имеющей коэффициенты k(1)=1, p(1)=4, и имеет вид:
k(2) = 1+4 = 5
p(2) = 2*1+4 = 6
b(2) = 5^2+5*6=55

k(3) = 5 + 6 = 11
p(3) = 5*2 +6 = 16
a(3) = 11^2+11*16=297

k(4) = 11+16 = 27
p(4) = 2*11+16=38
b(4) = 27^2+27*38=1755

Второй ряд, начинается с тройки 17-15-8, и имеет коэффициенты k(1.1)=3, p(1.1)=2:

k(2.1) = 3+2 = 5
p(2.1) = 3*2+2=8
a(2.1) = 5^2+5*8=65

k(3.1) = 5 + 8 = 13
p(3.1) = 5*2 = 8 = 18
b(3.1) = 13^2+13*18=403

k(4.1) = 13+18 = 31
p(4.1) = 2*13+18=44
a(4.1) = 31^2+31*44=2325


Прошу в разделе -27- в строке 6 сверху заменить весь текст
на: "Возведя левую и правую части этого уравнения в степень n/2,"
Семён.>
СоModeratorу:
> Очень сомневаюсь, что кто-нибудь прочитает моё сообщение
> док-ва Т.Ф., т.к. оно "спрятано" под 3-мя сообщениями, опубликованными несколько лет назад, да ещё мелким шрифтом.
> Если можно и возможно,то прошу Вас лично посмотреть или показать док-во специалисту. Док-во легко читается и займёт немного времени. На сообщение № 18971 от 14.09.06г. предложений не поступило.
> Если возможно, убедительно прошу в разделе 27 док-ва, в строке 5 сверху убрать текст после слова "этого", заменив его на: "уравнeния в степень n ".> > Предшествующие сообщения по теореме можно найти в темах.

> > >

_ 8201 Теорема Ферма (большая)

> > >
_ 6295 Теорема Ферма

> > >
_ 4230 Великая теорема Ферма(ВТФ)!!!

> > > Если вы получите, что сообщение недоступно, то ищите его в архиве форума по математике.

> >
> > На Ваше сообщение №18951 от СоМоderator, 13 сентября 2006г., если я правильно понял, высылаю полное сообщение №18908 от 08 сентября 2006г.
> > Семён.

> > Здравствуйте, участники Форума!
> > Представляю на Ваш суд доказательство теоремы Ферма методами
> > элементарной математики. Прошу сообщить Ваши замечания (положительные или отрицательные).
> > Прилагаю : 1. Вариант доказательства - на 30-ти картинках.
> > 2. Файл с рис.1 на 1-ой стр.
> > 3. Файл с рис.2 на 1-ой стр.
> > С уважением Семён Ельский.
> >
> >
> >
> >
> >
> >
> >
> >
> >
> >
> >
> >
> >
> >
> >
> >
> >
> >
> >
> >
> >
> >
> >
> >
> >
> >
> >
> >
> >
> >
> >
> >


Здравствуйте, участники Форума!
Прошу прочитать статью" ПРИМЕНЕНИЕ БИНОМА НЬЮТОНА ПРИ ДОК-ВЕ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА" и сообщить Ваши замечания (положительные или отрицательные).
Прилагаю : 1. Tekcт - на 30-ти картинках.
2. Файл с рис.1 на 1-ой стр.
3. Файл с рис.2 на 1-ой стр.
С уважением! SEMEN.

































Теорема Ферма. Размышления по поводу…
x↑n + y↑n = z↑n (1)

x , y , z – взаимно простые , не делящиеся на n целые числа (2)
n≥3 – показатель степени
x + y = z + k (3)

х = mx1 (4)
y = py1 (5)
z = qz1 (6)
x + y = z + k = q↑n (7)
z – y = x – k = m↑n (8)
z – x = y – k = p↑n (9)
Формулы (4) – (9) - это формулы Абеля.

Из (7) – (9) определим (mp)↑n, (mq)↑n, (pq)↑n :
(mp)↑n = (x – k)(y – k) = xy – ky – xk + k↑2 = xy – zk (10)
(mq)↑n = (x - k)(x + y) = x↑2 – xk + xy – ky = xz – ky (11)
(pq)↑n = (y – k)(z + k) = yz – kz – k↑2 + ky = yz – kx (12)

Таким образом, с учётом (2) и (7) – (9):
k = mpqА (13)

Пусть n = 3
Возводим (3) в куб:
x↑3 + y↑3 = z↑3 + k↑3 – 3 ( x - k ) ( y – k ) ( x + y )
x↑3 + y↑3 = z↑3 + k↑3 – 3 (mpq)↑n (14)
x↑3 + y↑3 = z↑3 (15)
значит,
k↑3 = 3 (mpq)↑3 (16)
k = mpq (3)↑⅓ (17)
k не может быть рациональным

Пусть n=4
Перемножим (3) и (14):
x↑4 + y↑4 = z↑4 + k↑4 – 2 (mp)↑n (z↑2 + k↑2 - xy + zk + (q)↑2n ) (18)
x↑4 + y↑4 =z↑4 (19)
k↑4= 2(mp)↑4 (z↑2 + k↑2 - xy + zk + (q)↑2n ) (20)
z и k делятся на q, значит , с учётом (13), xy должно делиться на q,
что не соответствует условию (2).

Возводим (3) в квадрат:
x↑2 + y↑2 = z↑2 + k↑2 + 2zk – 2xy (21)
x↑2 + y↑2 = z↑2 + k↑2 - 2 ( xy – zk ) = z↑2 + k↑2 - 2(mp)↑n (22)

Перемножим (14) и (22):
x↑5 + y↑5 = z↑5 + k↑5 – 5( x - k )( y – k )( x + y )(x↑2 + y↑2 + xy – zk ) (23)
x↑5 + y↑5 = z↑5 + k↑5 – 5 (mpq)↑n (x↑2 + y↑2 +(mp)↑n ) (24)
Возведём (24) в квадрат:
x↑10 + y↑10 + 2(xy)↑5 = z↑10 + k↑10 + 2(zk)↑5 – 10(mpq)↑n(x↑2 +
+y↑2 +(mp)↑n) (z↑5 + k↑5) + 25(mpq)↑10 (x↑2 + y↑2 + (mp)↑n )↑2 (25)

Пусть n=10
x↑10 + y↑10 = z↑10 (26)
k↑10 = -2(zk)↑5 +2(xy)↑5+10(mpq)↑10 (x↑2+y↑2 +(mp)↑10) (z↑5 + k↑5) -
-25(mpq)↑10 (x↑2 + y↑2 + (mp)↑10 )↑2 (27)
k↑10 = 2 (xy – zk) ( (xy)↑4+ (xy)↑3 zk + (xyzk)↑2 +… ) +
+10(mpq)↑5 ( x↑2 + y↑2 + (mp)↑10) (z↑5 +k↑5) - 25(mpq)↑10(x↑2 + y↑2 + (mp)↑10)2 (28)

k↑10 = (mp)↑10{2 ( (xy)↑4 + (xy)↑3 zk + (xyzk)↑2 +…) + 10q↑10 (x↑2 + y↑2 + (mp)↑10) (z↑5 + k↑5) - 25 q↑10 (x↑2 + y↑2 + (mp)↑10)2} (29)

z и k делятся на q, значит , с учётом (13), (xy)↑4 должно делиться на q,
что не соответствует условию (2) , значит (26) неверно.
Отсюда следует, что и для показателя n=5 условие (2) не может быть выполнено.

В общем виде. Пусть n – простое.
x↑n + y↑n = z↑n + k↑n – (mpq)↑f А (30)
Возведём (30) в квадрат:
x↑(2n) + y↑(2n) + 2(xy)↑n = z↑(2n) + k↑(2n) + 2(zk)↑n – 2(mpq)↑f А(z↑n + +k↑n) + (mpq)↑(2f) А↑2 (31)
Пусть при f=2n выполняется условие (1):
x↑(2n) + y↑(2n) = z↑(2n) (32)
k↑(2n) = -2(zk)↑n + 2(xy)↑n + 2 (mpq)↑(2f) А(z↑n + +k↑n) –
-(mpq)↑(4n)А↑2 (33)
k↑(2n) = 2(xy –zk)((xy)↑(n-1)+ (xy)↑(n-2) zk +… +xy(zk)↑(n-2) +(zk)↑(n-1)) +
+2(mpq)↑(2n) A(z↑n + +k↑n) -(mpq)↑(4n)А↑2 (34)

k↑(2n) = (mp)↑(2n){2 ((xy)↑(n-1)+ (xy)↑(n-2) zk +… +xy(zk)↑(n-2) +(zk)↑(n-1) + 2q↑(2n)A(z↑n + +k↑n) –(mp)↑(2n)q↑(4n)А↑2} (35)

z и k делятся на q, значит , с учётом (13), (xy)↑(n-1) должно делиться на q, что не соответствует условию (2) , значит (31) неверно.
Отсюда следует, что и для показателя n условие (2) не может быть выполнено.

Формулы, аналогичные (4) – (9) , могут быть выведены и в случае, когда одно из чисел x, y, z делится на n. Поэтому приведённые выше рассуждения справедливы и для этого случая.


04.10.2006 г.


> Утверждают, что кроме Большой теоремы Ферма сформулировал и задачу следующего содержания:
> "Найти все целочисленные прямоугольные треугольники с разностью
> катетов равной определенному числу?"
> По крайней мере, так она сформулирована на другом форуме.

Обозначим для простоты a^2 = a^
Имеем a^+b^=c^
Пусть разница a-b=k - целое число.
Тогда, 2a^+k^-2ak=c^
задаем любое целое k, задаем любое целое a, получаем с. Вот и ответ на вашу задачу.



> Обозначим для простоты a^2 = a^
> Имеем a^+b^=c^
> Пусть разница a-b=k - целое число.
> Тогда, 2a^+k^-2ak=c^
> задаем любое целое k, задаем любое целое a, получаем с. Вот и ответ на вашу задачу.

Решение данной задачи не предполагает перебор чисел, как у Вас, т.е. задавая а и к, Вы не всегда получаете целое с. Условие задачи - найти алгоритм нахождения целочисленных треугольников лишь по заданной разности катетов, остальные значения должны получаться "сами-собой".


Теорема Ферма. Элементарное доказательство.
«Большая теорема Ферма» утверждает, что не существует отличных от нуля целых чисел x,y,z , для которых
x↑n + y↑n = z↑n (1)
где n простое ≥3.
Для того, чтобы доказать, что уравнение (1) неразрешимо в целых числах, достаточно привести к противоречию предположение о существовании решения (x,y,z), состоящего из попарно взаимно простых чисел.
Утверждение, что уравнение (1) не может быть удовлетворено не делящимися на n числами, называют первым случаем теоремы Ферма.
Утверждение, что уравнение (1) не может быть удовлетворено числами, одно из которых делится на n, называют вторым случаем теоремы Ферма.
Рассмотрим первый случай теоремы Ферма.
x , y , z – взаимно простые , не делящиеся на n целые числа. (2)
Для них найдётся такое k, что
x + y = z + k (3)
Для любых попарно взаимно простых и не делящихся на n целых чисел x,y,z., удовлетворяющих уравнению (1), существуют такие пары целых чисел (q,z1), (m,x1), (p,y1), состоящие из взаимно простых чисел, что
х = mx1 (4)
y = py1 (5)
z = qz1 (6)
x + y = z + k = q↑n (7)
z – y = x – k = m↑n (8)
z – x = y – k = p↑n (9)
Формулы (4) – (9) - это формулы Абеля.
Для дальнейших рассуждений интерес представляет произведение mnpn.
Из (8) – (9) определим mnpn:
m↑np↑n = (x – k)(y – k) = xy – ky – xk + k↑2 = xy – zk (10)
C учётом (4)– (9):
k = mpqB (11)
Возведём обе части равенства (3) в квадрат:
x² + y² = z² + k² + 2zk – 2xy (12)
x² + y² = z² + k² - 2 ( xy – zk ) = z² + k² - 2m↑np↑n (13)
Возведём обе части равенства (3) в куб:
x↑3 + y↑3 = z↑3 + k↑3 – 3(x - k)(y – k)(x+y) (14) и с учётом (7) – (9)
x3 + y3 = z3 + k3 – 3 m↑np↑nq↑n (15)
Рассмотрим случай, когда n = 3 в равенстве (1):
x↑3 + y↑3 = z↑3 (16)
Значит,
k↑3 = 3 m3p3q3 , (17)
k = mpq3↑(1/3) (18)
Следовательно, k не может быть рациональным.
Таким образом, первый случай теоремы Ферма при n=3 доказан.
Перемножим (3) и (15):
x↑4 + y↑4 = z↑4 + k↑4 – 2 m↑np↑n (z↑2 + k↑2 - xy + zk + q2n ) (19)
Рассмотрим случай, когда n = 4 в равенстве (1):
x↑4 + y↑4 = z↑4 (20)
Значит,
k↑4 = 2m↑4p↑4(z↑2 + k↑2- xy + zk + q↑(2n)) (21)

Так как z и k делятся на q, то xy должно делиться на q, что не соответствует условию (2), то есть предположение о существовании решения (x,y,z), состоящего из попарно взаимно простых чисел, при n=4 (см.(20)) привело к противоречию.
Таким образом, первый случай теоремы Ферма при n=4 доказан.
Перемножим (12) и (14):
x↑5 + y↑5 = z↑5 + k↑5 – 5(x - k)(y – k)(x + y)(x↑2 + y↑2 + xy – zk ) (22)
x↑5 + y↑5 = z↑5 + k↑5 – 5 m↑np↑nq↑n(x↑2 + y↑2 + m↑np↑n ) (23)
Возведём обе части уравнения (23) в квадрат:
x↑(10)+ y↑(10)+2x↑5y↑5 = z↑(10)+ k↑(10) + 2z↑5k↑5 –10m↑np↑nq↑n( x↑2 + y↑2 + m↑np↑n)(z5 +k5) + 25m↑(10)p↑(10)q↑(10)(x↑2 + y↑2 + m↑np↑n)↑2 (24)
Рассмотрим случай, когда n = 10 в равенстве (1):
x↑(10) + y↑(10) = z↑(10) (25)
Значит,
k↑(10) = - 2z↑5k↑5 + 2x↑5y↑5 + 10m↑(10)p↑(10)q↑(10)(x↑2 + y↑2 + m↑(10)p↑(10)) (z↑5 +k↑5) -25m↑(10)p↑(10)q↑(10)(x↑2+ y↑2 + m↑(10)p↑(10))↑2 (26)
k↑(10) = 2(xy – zk)(x↑4y↑4 + x↑3y↑3zk + x↑2y↑2z↑2k↑2 +… ) +
10m↑5p↑5q↑5(x↑2 + y↑2 + m↑(10)p↑(10))(z↑5 +k↑5)- 25m↑(10)p↑(10)q↑(10)(x↑2 + y↑2 + m↑(10)p↑(10))↑2 (27)

k↑(10)= m↑(10)p↑(10){2(x↑4y↑4 + x↑3y↑3zk + x↑2y↑2z↑2k↑2 +…) + 10q↑(10)(x↑2 + y↑2 + m↑(10)p↑(10))(z↑5 +k↑5) - 25q↑(10)(x↑2 + y↑2 + m↑(10)p↑(10))↑2}(28) Так как z и k делятся на q, то x↑4y↑4 должно делиться на q, что не соответствует условию (2) , то есть предположение о существовании решения (x,y,z), состоящего из попарно взаимно простых чисел, при n=10 (см.(25)) привело к противоречию.
Отсюда следует, что и для показателя n=5 условие (2) не может быть выполнено.
Таким образом, первый случай теоремы Ферма при n=5 доказан.
Рассмотрим доказательство первого случая теоремы Ферма в общем виде.
Так как n – простое, то , возводя (3) в степень n и используя формулы Абеля, представляем :
x↑n + y↑n = z↑n + k↑n – m↑fp↑fq↑fА (29)
Здесь f – показатель степени, при котором:
x↑f + y↑f = z↑f (30)
Возведём (29) в квадрат:
x↑(2n) + y↑(2n) +2x↑ny↑n = z↑(2n) + k↑(2n) + 2z↑nk↑n - 2m↑fp↑fq↑f А(z↑n + k↑n) + m↑(2f)p↑(2f)q↑(2f)А↑2 (31)
Пусть при f=2n выполняется условие (1):
x↑(2n) + y↑(2n) = z↑(2n) (32)
k↑(2n) = -2z↑nk↑n + 2x↑ny↑n + 2m↑(2n)p↑(2n)q↑(2n) А(z↑n + k↑n) – m↑(4n)p↑(4n)q↑(4n)А↑2(33)
k↑(2n)= 2(xy –zk)(x↑(n-1)y↑(n-1)+ x↑(n-2)y↑(n-2)zk +… +xyz↑(n-2)k↑(n-2) + z↑(n-1)k↑(n-1))+
2m↑(2n)p↑(2n)q↑(2n)A(z↑n+k↑n) – m↑(4n)p↑(4n)q↑(4n)А↑2 (34)
k↑(2n)= m↑(2n)p↑(2n){2( x↑(n-1)y↑(n-1)+ x↑(n-2)y↑(n-2)zk +… +xyz↑(n-2)k↑(n-2) + z↑(n-1)k↑(n-1)) + 2q↑(2n)A(z↑n+k↑n) – m↑(2n)p↑(2n)q↑(4n)А↑2} (35)

Так как z и k делятся на q, то x↑(n-1)y↑(n-1) должно делиться на q, что не соответствует условию (2) , то есть предположение о существовании решения (x,y,z), состоящего из попарно взаимно простых чисел , при показателе 2n привело к противоречию Отсюда следует, что и для показателя n условие (2) не может быть выполнено.
Таким образом, первый случай теоремы Ферма можно считать доказанным. Рассмотрим второй случай теоремы Ферма.
Формулы, аналогичные (4) – (9) , существуют и для случая, когда одно из чисел x, y, z делится на n. Поэтому приведённые выше рассуждения справедливы и для второго случая теоремы Ферма.
P.S. Доказана невозможность для простых n≥3 существования тройки взаимно простых
x,y,z , удовлетворяющей уравнению x↑(2n)+y↑(2n)=z↑(2n) (значит, и x↑n+y↑n=z↑n).
Это элементарное доказательство теоремы Ферма.



Семён,смотри на сайте http://kukoyaka.narod.ru/ - там проще и короче.
Анатолий Артёмович Кукояка.


Уважаемые участники форума!
В наследии П. Ферма имеется еще одна недоказанная теорема: требуется доказать, что равенство x^2+2=y^3 имеет единственное решение: 5^2+2=3^3. Доказательство этой теоремы по своей красоте и важности не уступает его же Великой теореме. Те участники форума, кто увлекается теорией чисел, "которая является самой красивой и изящной" (слова Ферма), могут найти доказательство на сайте http://www.theoremferma.obp.ru/

Буду благодарен участникам форума, кто пожелает обсудить полученное мною доказательство. С уважением Петр


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100