Матрицы. Теория матриц.

Сообщение №16915 от 03 января 2006 г. 11:03
Тема: Матрицы. Теория матриц.

Продолжение темы № 16102. См. архив форума по математике.


Отклики на это сообщение:

Помогите пожалуста решить следующую задачу :

А - матрица 3x3 .
Ее собственные значения 1 и 2 .
Какие из следующих высказываний правильные .
Обьясните или дайте примеры обратного.

1) А - обратная матрица .
2) к А можно найти матрицу, чтобы было чтобы было :
A = B * D * B^-1

как бы "продиагоналить"
3) к А нельзя найти такую матрицу .
02 января 2006 г. 22:38

Помогите пожалуста решить следующую задачу :

А - матрица 3x3 .
Ее собственные значения 1 и 2 .
Какие из следующих высказываний правильные .
Обьясните или дайте примеры обратного.

1) А - обратная матрица .
2) к А можно найти матрицу, чтобы было чтобы было :
A = B * D * B^-1

как бы "продиагоналить"
3) к А нельзя найти такую матрицу .

--------------------------------------------------------------------------------
Re: матрица Кардинал
02 января 23:34
В ответ на: матрица от aradn , 02 января 2006 г.:
Согласно теореме о представлении матрицы в жордановой форме,
A = BDB^{-1}. Раз собственные числа разные, то матрица D со всей неизбежностью диагональна. Матрица В обратима (как матрица замены базиса), поэтому и матрица А обратима.


Как разобраться с “элементарными” понятиями – тензор, гамильтониан и др.
Очень необходимо!!!
Посоветуйте пожалуйста литературу.

Спасибо!
03 января 2006 г. 12:47:



Помогите пожалуста с доказательством для положительно опреде
Помогите пожалуста с доказательством для положительно определенной матрицы .

Дано : А - симметричная матрица .
Надо показать , что А определена положительно , только в том случае , если существует симметричная матрица В , А = В^2 .
18 января 2006 г. 10:07:


доказать,что если произведение двух квадратных матриц порядка n равно нуль-матрице,то сумма рангов сомножителей меньше n

18 марта 2006 г. 04:17:


> доказать,что если произведение двух квадратных матриц порядка n равно нуль-матрице,то сумма рангов сомножителей меньше n

> 18 марта 2006 г. 04:17:

Контрпример: произведение двух квадратных диагональных матриц порядка n с нулевыми элементами на диагонали таких, что если у одной из матриц на i-той строке есть ненулевой диагональный элемент, то у другой матрицы i-тая строка нулевая, равно нуль-матрице; тем не менее сумма рангов этих матриц равна n, если i-тая строка нулевая только у одной из этих матриц.
Например:
|| a 0 0 || || 0 0 0 ||
|| 0 b 0 || || 0 0 0 ||
|| 0 0 0 || || 0 0 c ||


> доказать,что если произведение двух квадратных матриц порядка n равно нуль-матрице,то сумма рангов сомножителей меньше n

> 18 марта 2006 г. 04:17:

То, что сумма рангов меньше или равна n - практически очевидно. Линейная оболочка строк первой матрицы ортогональна линейной оболочки столбцов второй матрицы. Сумма их размерностей не превосходит размерности всего пространства.


Здравствуйте. Столкнулся с неожиданной проблемой при диагонализации матриц. Использую QR алгоритм со сдвигом для диагонализации двухдиагональной матрицы. Все работает замечательно, только при серии поворотов оси меняются местами и полученным собственным числам (правильным) отвечают другие переменные в исходной матрице. Как с этим бороться? Есть ли алгоритм, который не будет перетасовывать собственные значения при диагонализации?
Спасибо!
05 июля 2006 г. 20:13:
ёёё


Простите за неясный пост, попробую еще раз. Иметься в виду следующая проблема. Для случая почти диагональных матриц бидиогонализация происходит правильно, а при вращении двудиагональной матрицы теряются знаки и порядок собственных чисел. Для решения некоторой проблемы правильный порядок и знак чисел принципиальны. С другой стороны можно произвольно поменять и знак и порядок чисел после svd. А вопрос в том, что если я расположу собственные значения после svd так, как и в основной диагонали двудиагональной матрицы (по абсолютному значению) и проставлю соответсвующие им в основной диагонали двудиагональной матрицы знаки, могу ли я утверждать, что именно так все и выглядело бы в случае применения некоего алгоритма, который корректно сохранил бы знаки и порядок собственных значений для всех матриц (для почти диагональных это очевидно)?
Спасибо.


Товарищи, башка уже кругом. Помогите разобраться.
Дано отображение f: R^3 -> R^3, (x,y,z) -> (y, z, x)
Надо построить по этому отображению матрицу. С чего начинать и как это вообще делается?

Когда уже даны результаты отображения, то понятно, перворачиваешь и получаешь матрицу:
R^3 -> R^m; m=4;
e1 -> (1, 2, 3, 4); e2->(5, 6, 7, 8), e3->(9,10,11,12) =
1 5 9
2 6 10
3 7 11
4 8 12
15 ноября 2006 г. 16:25:


> Товарищи, башка уже кругом. Помогите разобраться.
> Дано отображение f: R^3 -> R^3, (x,y,z) -> (y, z, x)
> Надо построить по этому отображению матрицу. С чего начинать и как это вообще делается?

Матрица-строка (x,y,z), умноженная слева на квадратную матрицу
0 0 1
1 0 0
0 1 0
даст матрицу-строку (y, z, x).

Не это нужно?


> Товарищи, башка уже кругом. Помогите разобраться.
> Дано отображение f: R^3 -> R^3, (x,y,z) -> (y, z, x)
> Надо построить по этому отображению матрицу. С чего начинать и как это вообще делается?

> Когда уже даны результаты отображения, то понятно, перворачиваешь и получаешь матрицу:
> R^3 -> R^m; m=4;
> e1 -> (1, 2, 3, 4); e2->(5, 6, 7, 8), e3->(9,10,11,12) =
> 1 5 9
> 2 6 10
> 3 7 11
> 4 8 12
> 15 ноября 2006 г. 16:25:

Так ведь и тут даны результаты отображения
e1=(1,0,0)->(0,0,1); e2=(0,1,0)->(1,0,0); e3=(0,0,1)->(0,1,0);
имеем
010
001
100


Что ж, большое спасибо. Мысля такая была, но она умерла ещё не родившись :)


В общем случае: пусть A: V --> W - линейный оператор, {e_1,...,e_n} - базис V, {f_1,...,f_m} - базис W, причём
A(e_i) = a_{1i}f_1 + ... + a_{mi}f_m, 1<= i <= n.
Тогда (a_{1i}...a_{mi}) - это в точности i-ый столбик матрицы A в данных базисах (соответственно, A имеет размеры m*n).


В разных источниках p раз ковариантный и q раз контрвариантный тензор обозначают то (p,q), то (q,p). Как же всё-таки общепринято?
04 декабря 2006 г. 21:59:



> В разных источниках p раз ковариантный и q раз контрвариантный тензор обозначают то (p,q), то (q,p). Как же всё-таки общепринято?

Вообще-то p раз ковариантных и q раз контрвариантных тензоров может быть Cq+pq (Cq+pq число сочетаний q из q+p). И, если чисто ковариантные и чисто контрвариантные тензоры считаются разными объектами, то эти Cq+pq тензоров следует тоже считать разными объектами.

Существует распространенная среди физиков точка зрения, согласно которой нет ковариантных и контрвариантных тензоров, а есть ковариантные и контрвариантные координаты тензоров, точнее даже - индексы координат (см., например, обсуждение Тензорное исчисление).

Обозначение (p,q) может обозначать, что p первых индексов ковариантны, а оставшиеся - контрвариантны, а (q,p) - наоборот. Кроме того, возможно чередование индексов.


Дорогие специалисты....

Нужно доказать случай при котором матрица прямая и обратная равны (кроме случая с еденичной матрицей)


Спасибо!!!


> Дорогие специалисты....

Хотите сказать - бесплатные (специалисты)?

> Нужно доказать случай при котором матрица прямая и обратная равны (кроме случая с еденичной матрицей)

>
> Спасибо!!!

Ну и сформулировали же Вы вопрос (точнее, необходимость чего-то сделать).

Любая матрица M такая, что M*M=I, где I - единичная матрица (а таких матриц бесконечно много), обладает тем свойством, что M-1=M. Доказательство (этого утверждения) очевидно.


Здравствуйте!
Я пытаюсь решить задачу трансформирования снимков с помощью полиномов. У меня есть две пары координат: начальные (х, у) и конечные (U, V). Они связаны уравнениями:
Us = a0 + a1* xs + a2* ys + a3* xs* ys + a4* xs ^2 + …+ ak * y ^ n.
Vs = b0 + b1* xs + b2* ys + b3* xs* ys + b4* xs ^2 + …+ bk * y ^ n.
s – количество точек, k – количество коэффициентов полинома.
k = (n + 1)(n + 2)/2, n – степень полинома
Мне нужно найти коэффициенты a и b. Число уравнений больше числа неизвестных. Хочу решить с помощью матриц, но для этого нужно привести матрицу с (x, y) к квадратному виду. То есть уравнения должны быть нормальными. Это делается с помощью метода наименьших квадратов, но все что я нашла касалось уравнения с одной переменной (х).
Подскажите, пожалуйста, как решить эти уравнения.
Заранее большое спасибо.


> У меня есть две пары координат: начальные (х, у) и конечные (U, V). Они связаны уравнениями:
> Us = a0 + a1* xs + a2* ys + a3* xs* ys + a4* xs ^2 + …+ ak * y ^ n.
> Vs = b0 + b1* xs + b2* ys + b3* xs* ys + b4* xs ^2 + …+ bk * y ^ n.
> s – количество точек, k – количество коэффициентов полинома.
> k = (n + 1)(n + 2)/2, n – степень полинома
> Мне нужно найти коэффициенты a и b. Число уравнений больше числа неизвестных.

Ну так это система линейных уравнений относительно неизвестных a и b.
Решайте ее методами линейной алгебры (тем же методом Гаусса хотя бы).


помогите разобраться, как посчитать корень матрицы



> помогите разобраться, как посчитать корень матрицы

Пусть A,B,С... - квадратные матрицы.
По определению B=sqrt(A), если A=B*B.
Вам нужен такой корень?
Точно знаю как найти корень для положительно определённой симметричной матрицы A. Нужно взять спектральное разложение A=Q*D*Q^t, где Q - ортогональная (Q*QT=Id), D - диагональная (с положительными элементами на диагонали) матрицы, T - символ транспонирования.
тогда B=Q*sqrt(D)*Q - искомый корень. sqrt(D) - матрица на диагональ которой стоят (±)корни из соотв. элементов матрицы D.
При этом выбор знаков произволен, то есть корней 2n, n- размер матрицы A.


Аналогичные рассуждения справедливы если матрица A подобна диагональной с положительными элементами на диагонали
то есть A=C*D*C-1.


[Перенесено модератором из форума "Форум по математике"]

Сообщение №21867 от Валентина 14 сентября 2007 г. 19:00
Тема: Матрица

Известна размерность матрицы А, АВ=ВА. Как наити матрицу В?

Отклики на это сообщение:

> Известна размерность матрицы А, АВ=ВА. Как наити матрицу В?
Если размерность А m*n, то размерность В n*m.


1) Матрицы А и B - квадратные и их размерности совпадают.
Пусть A(mxn), тогда если запись A*B имеет смысл, то B (nxk) и A*B (mxk).
C другой стороны из B*A получаем k=m и B*A (mxm).
из равенства же A*B=B*A получаем n=m.

2) постановка вопроса не понятна. размерность я нашёл.
Если имеется в виду: известна матрица A и надо найти B, удовлетворяющую уравнению A*B=B*A, то решением является любая аналитическая матричная функция взятая в точке A. B=f(A).
в том числе подойдут степени матрицы А: B=A^k.


> Давно я не был на моем любимом Физтеховскм форуме по Математике.
> Есть повод пошутить.
> Господин Модератор!
> Вы читали это?
> http://forum.nad.ru/matboard/messages/12681.html

> А свой эпиграф читали?
> Ведь это Ваш эпиграф, а не мой.

> Странно.
> Определений - как не было, так и нет.
> А моя статья живет, остается базовой статьей темы, и будет жить.
> Парадокс - но факт.

> Давайте теперь поиграем в ортогонализацию.
Что?
Страшно стало?
Ладно.
Более сложный вопрос.
Время в ортогонализации.?
Подойдет?


[Перенесено модератором из форума "Форум по математике"]

Сообщение №21905 от Богдан 19 сентября 2007 г. 23:08
Тема: матрицы

Помогите пожалуйста как решить вот это!?

2X+5A=B2
если

1 1 -3 1 0 1
A= 2 3 1 B=0 2 1
0 -2 2 -2 0 1

Отклики на это сообщение:

> Помогите пожалуйста как решить вот это!?
>
> 2X+5A=B2
> если

> 1 1 -3 1 0 1
> A= 2 3 1 B=0 2 1
> 0 -2 2 -2 0 1

X=(1/2)B2 - (5/2)A

Для вычисления нужно знать, как матрицы складываются и умножаются на числа и друг на друга (B2=BB). У меня матрица X получилась равной (проверьте!)




-3 -2,5 8,5
-6 -5,5 -1
-0.5 5 -5,5


Как считать произведение матриц AB^(-1)


[Перенесено модератором из форума "Форум по математике"]

Сообщение №25298 от Карл Маркс 14 июля 2008 г. 19:33
Тема: Задание вращения системы координат относительно ее самой

Есть глобальная система координат OXYZ.

Есть локальная система координат, Oxyz, для которой задана функция rY(t), описывающая ее поворот вокруг оси Y системы OXYZ (угол от времени, или приращение угла от времени - не важно, одно в другое пересчитаю :-) ).

Есть локальная система координат Ox'y'z', для которой известна функция rz(t), описывающая ее поворот вокруг оси z системы Oxyz.

Требуется найти функции rx'(t), ry'(t), rz'(t), задающие приращения углов поворота системы Ox'y'z' в ней же самой, такие, что при их использовании вращение этой системы было бы таким же, как при вращении ее вокруг первых двух систем вышеописанным образом.

Если нужно, поясню, зачем все это надо. Есть камера, крутить которую можно только задав приращения углов за отрезок времени в системе координат, связанной с камерой, и никак иначе; а пользователю (мне) значительно удобнее работать с функциями rY(t) и rz(t), однозначно задающими ее положение в пространстве.

Спасибо за помощь. :-)

Отклики на это сообщение:

> Если нужно, поясню, зачем все это надо. Есть камера, крутить которую можно только задав приращения углов за отрезок времени в системе координат, связанной с камерой, и никак иначе; а пользователю (мне) значительно удобнее работать с функциями rY(t) и rz(t), однозначно задающими ее положение в пространстве.

Вы программу поворотов камеры хотите составить? С индикацией текущих угловых координат относительно земных (северного и горизонтального) направлений? По-моему, дело просто в знаках (плюс - минус).
углы ry(t) и rz(t), угловые приращения dry, drz. Запускаете и смотрите - как работает. Если не в ту сторону крутит - поменяйте знак приращения на противоположный.

> Вы программу поворотов камеры хотите составить? С индикацией текущих угловых координат относительно земных (северного и горизонтального) направлений?

Почти. Без индикации.

> По-моему, дело просто в знаках (плюс - минус).
> углы ry(t) и rz(t), угловые приращения dry, drz. Запускаете и смотрите - как работает. Если не в ту сторону крутит - поменяйте знак приращения на противоположный.

Нет, дело не в знаках. Мне нужно, чтобы камера вращалась вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной оптической и вертикальной оси, а на вход можно подать только приращения углов в локальной системе координат. То есть, если камера направлена строго в зенит, то она вместо нужного мне в данном случае поворота вокруг оптической оси, "поедет" изменять угол места, и "приедет" в ноль "лежа на боку".


> Нет, дело не в знаках. Мне нужно, чтобы камера вращалась вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной оптической и вертикальной оси, а на вход можно подать только приращения углов в локальной системе координат. То есть, если камера направлена строго в зенит, то она вместо нужного мне в данном случае поворота вокруг оптической оси, "поедет" изменять угол места, и "приедет" в ноль "лежа на боку".
Полагаю, что камера поворачивается тремя механизмами, для каждого - своя переменная величина (угол, угловая скорость). Перепутывания не должно быть, по-моему. А пробовали раздельно управлять поворотами? Сначало настроить одну ось поворота - как надо, потом другую, потом - третью.
> Полагаю, что камера поворачивается тремя механизмами, для каждого - своя переменная величина (угол, угловая скорость). Перепутывания не должно быть, по-моему. А пробовали раздельно управлять поворотами? Сначало настроить одну ось поворота - как надо, потом другую, потом - третью.

Камера вообще не поворачивается механизмами, она не "железная", а виртуальная, из компьютерной игры. Соответсвенно, ни механических, ни вообще никаких ограничений на вращение нету, и программисты реализовали самый, как я понимаю, простой для них вариант - поворот вокруг локальных осей на заданный угол. Так что ничего не перепутывается, это просто ее естесственное поведение. (Удобством использования, очевидно, не заморачивались, потому как не предполагалоь, что юзер полезет туда, куда он полез. :-) )

> Требуется найти функции rx'(t), ry'(t), rz'(t), задающие приращения углов поворота системы Ox'y'z' в ней же самой, такие, что при их использовании вращение этой системы было бы таким же, как при вращении ее вокруг первых двух систем вышеописанным образом.

Проще всего это сделать, задавая Эйлеровы углы. Можно также воспользоваться менее наглядным способом описания вращения тв.тела - кватернионами, которые все чаще применяются для описания вращения в компьютерой анимации.

> Проще всего это сделать, задавая Эйлеровы углы. Можно также воспользоваться менее наглядным способом описания вращения тв.тела - кватернионами, которые все чаще применяются для описания вращения в компьютерой анимации.

Задавая углы Эйлера для чего? Фактически, вот то нагромождение систем координат, которое я описал в первых абзацах заменяется после выкидывания промежуточной системы углами Эйлера (α(t) = rY(t), β = 90° = const, γ(t) = rz(t)), но как их преобразовать в приращения углов поворота вокруг осей подвижной системы координат?

> > Проще всего это сделать, задавая Эйлеровы углы. Можно также воспользоваться менее наглядным способом описания вращения тв.тела - кватернионами, которые все чаще применяются для описания вращения в компьютерой анимации.

> Задавая углы Эйлера для чего? Фактически, вот то нагромождение систем координат, которое я описал в первых абзацах заменяется после выкидывания промежуточной системы углами Эйлера (α(t) = rY(t), β = 90° = const, γ(t) = rz(t)), но как их преобразовать в приращения углов поворота вокруг осей подвижной системы координат?

Я не совсем понимаю ваши обозначения. Поэтому напомню, что Эйлеровы углы - это углы, задающие ориентацию конечной СК путем 3-х последовательных поворотов тела относительно "самого себя", т.е. повороты осуществляются каждый раз относительно "новой" СК, получившейся в результате предыдущего поворота (только первый поворот осуществляется относительно начальной СК).

> Я не совсем понимаю ваши обозначения. Поэтому напомню, что Эйлеровы углы - это углы, задающие ориентацию конечной СК путем 3-х последовательных поворотов тела относительно "самого себя", т.е. повороты осуществляются каждый раз относительно "новой" СК, получившейся в результате предыдущего поворота (только первый поворот осуществляется относительно начальной СК).

В каждый момент времени заданы углы Эйлера, на которые следовало бы повернуть систему в положение при t = tn, будь она в начальном положении, при t = t0. Как преобразовать их в углы поворота вокруг осей подвижной системы ждля перехода из положения tn-1 в tn? Углы Эйлера, кстати, система не воспринимает, я не могу повернуть ее дважды за кадр вокруг одной и той же оси, только передать один раз за кадр углы поворота вокруг локальных x,y,z.

> Есть глобальная система координат OXYZ.

> Есть локальная система координат, Oxyz, для которой задана функция rY(t), описывающая ее поворот вокруг оси Y системы OXYZ (угол от времени, или приращение угла от времени - не важно, одно в другое пересчитаю :-) ).

> Есть локальная система координат Ox'y'z', для которой известна функция rz(t), описывающая ее поворот вокруг оси z системы Oxyz.

> Требуется найти функции rx'(t), ry'(t), rz'(t), задающие приращения углов поворота системы Ox'y'z' в ней же самой, такие, что при их использовании вращение этой системы было бы таким же, как при вращении ее вокруг первых двух систем вышеописанным образом.

> Если нужно, поясню, зачем все это надо. Есть камера, крутить которую можно только задав приращения углов за отрезок времени в системе координат, связанной с камерой, и никак иначе; а пользователю (мне) значительно удобнее работать с функциями rY(t) и rz(t), однозначно задающими ее положение в пространстве.

Давайте я снова вернусь к этому сообщению.
Насколько я теперь понимаю (поправьте, если ошибаюсь), Вам нужно вычислить углы осей локальной системы координат, жестко связанной с телом, с осями глобальной системы координат OXYZ. При этом мгновенное положение локальной системы координат задается углами Эйлера, зависящими от времени. Это так?

> Давайте я снова вернусь к этому сообщению.
> Насколько я теперь понимаю (поправьте, если ошибаюсь), Вам нужно вычислить углы осей локальной системы координат, жестко связанной с телом, с осями глобальной системы координат OXYZ. При этом мгновенное положение локальной системы координат задается углами Эйлера, зависящими от времени. Это так?

Не совсем. Прошу прощения за, возможно, излишние подробности и многократные повторения, но лучше так, чтоб уж точно было понятно.


Есть локальная система координат, жестко связанная с телом, точнее, камерой. Задать ее новое положение можно только относительно ее предыдущего положения, передав углы, на которые нужно повернуть ее вокруг своих осей1. Их мне и нужно найти.

Мгновенное положение локальной системы задается зависящими от времени углами Эйлера, характеризующими ее поворот от первоначального положения локальной системы. То есть, известны углы Эйлера, на которые нужно повернуть систему из первоначального (t0) положения в "старое" (tn-1) и в "новое" (tn). А нужно повернуть напрямую из "старого" в "новое", задавая поворот относительно старого положения локальной системы.

Если это упростит задачу, угол нутации всегда равен 90 градусов.

Слова "глобальная система" практического смысла не несут, просто, мне кажется, так удобнее называть первоначальное положение локальной.


1 - Деталей реализации не знаю, но скорее всего, сначала происходит поворот вокруг одной оси, потом вокруг другой - уже из нового, промежуточного положения, а не вокруг старой оси, - и потом из второго промежуточного положения, поворачивается вокруг последней оси. Надеюсь, последовательность поворотов не будет заметно влиять на результат из-за малости углов и можно будет считать, что она все три раза поворачивается относительно старых осей, а не промежуточных.

> Есть локальная система координат, жестко связанная с телом, точнее, камерой. Задать ее новое положение можно только относительно ее предыдущего положения, передав углы, на которые нужно повернуть ее вокруг своих осей1. Их мне и нужно найти.

> Мгновенное положение локальной системы задается зависящими от времени углами Эйлера, характеризующими ее поворот от первоначального положения локальной системы. То есть, известны углы Эйлера, на которые нужно повернуть систему из первоначального (t0) положения в "старое" (tn-1) и в "новое" (tn). А нужно повернуть напрямую из "старого" в "новое", задавая поворот относительно старого положения локальной системы.

Итак, ориентация "старой" (tn-1) и "новой" (tn) систем относительно одного и того же базиса (первоначального) известны. Значит, можно найти матрицу поворота от "старой" (tn-1) к "новой" (tn) системе, а затем пересчитать элементы этой матрицы в углы Эйлера (с выбранной последовательностью поворотов). Какие проблемы?

> 1 - Деталей реализации не знаю, но скорее всего, сначала происходит поворот вокруг одной оси, потом вокруг другой - уже из нового, промежуточного положения, а не вокруг старой оси, - и потом из второго промежуточного положения, поворачивается вокруг последней оси. Надеюсь, последовательность поворотов не будет заметно влиять на результат из-за малости углов и можно будет считать, что она все три раза поворачивается относительно старых осей, а не промежуточных.

Примечание к примечанию.
а) Последовательность поворотов заметно влиет на результат, даже для малых углов.
б) Вам нужно вычислить малые углы Эйлера, и ничего не мешает определять их "как обычно", поворотом относительно промежуточных осей.

> Итак, ориентация "старой" (tn-1) и "новой" (tn) систем относительно одного и того же базиса (первоначального) известны. Значит, можно найти матрицу поворота от "старой" (tn-1) к "новой" (tn) системе, а затем пересчитать элементы этой матрицы в углы Эйлера (с выбранной последовательностью поворотов). Какие проблемы?

Все, въехал. :-)
Спасибо за помощь.


[Перенесено модератором из форума "Форум по математике"]

Сообщение №25333 от leha 23 июля 2008 г. 11:03
Тема: Как посчитать матрицу?

Есть следующая блочная матрица:
|10...032|
|01...424|
|.................|
|00...420|
|60..671|
|14..678|
Вид этой блочной матрицы M=
|E O|
|K P|.
Необходимо из вышенаписанной блочной матрицы выделить матрицы K и затем с ней работать(преобразовывать и т.д.).
Но матрица K имеет вид
|...........|
|...420|
|..671|
|..678|.
Что делать дальше при преобразованиях с этими многоточиями? Или так матрицу K нельзя было выделять таким образом? Можно ли переставлять строки/столбцы с этими многоточиями?

Отклики на это сообщение:

Матрицы, между прочим, не считают! Матрица - это заданная таблица чисел - квадратная или прямоугольная. В зависимости от задачи матрицу подвергают некоторым преобразованиям, но при каждом таком преобразовании получается уже ДРУГАЯ матрица. Из Вашего сообщения не видно, какая задача, связанная с матрицами, стоит перед Вами, поэтому никаких догадок о допустимых в Вашем случаях преобразованиях строить нельзя. Простите за некорректность. Задача стоит посчитать обратную матрицу. > Задача стоит посчитать обратную матрицу.
Насколько можно понять матрица имеет блочно-треугольный вид .
Обратная матрица в этом случае имеет такой же вид .

Перемножив их и приравняв к единичной матрице E, получим .

Отсюда .


[Перенесено модератором из форума "Форум по математике"]

Сообщение №25549 от kim 18 сентября 2008 г. 21:36
Тема: Матрицы

Здравствуйте.Помогите пожалуйста разобраться с матрицами. Скажите,как привести матрицу к ступенчатому виду? И, если вас не затруднит, приведите какой-нибудь пример. Заранее огроное спасибо.

Отклики на это сообщение:

Найдите в интернете сайты , где рассказано про метод Гаусса.


[Перенесено модератором из форума "Форум по математике"]

Сообщение №25547 от Asskor 18 сентября 2008 г. 19:46
Тема: Определитель матрицы

5 1 -2 4
1 -2 2 1
2 4 1 0
3 5 3 2
Требуется первую строку свести к нулю. Не могу, ну хоть ты тресни. Помогите, если не трудно.

Отклики на это сообщение:

Что Вы имеете в виду?
Определитель равен -126. Тьфу. Я задание неправильно понял. Спасибо за помощь, сейчас буду равнятся на ответ.


помогите решить вот такую задачку:
http://pic.ipicture.ru/uploads/081027/9AnO1ZTMWU.jpg

http://pic.ipicture.ru/uploads/081027/9AnO1ZTMWU.jpg


> помогите решить вот такую задачку:
> http://pic.ipicture.ru/uploads/081027/9AnO1ZTMWU.jpg

Такие матрицы называются циркулянтами, как решать матричные уравнения с ними (в частности, обращать) - см. по ссылке:

Circulant Matrix


спасибо ! жаль что сайт на английском


Помогите найти обратную матрицу для матрицы
1-p2 ... 0 0 0 0 0 0 ... 0 0 0 -p1 0 0 0 ... 0 0
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
0 ... 1-p2 0 0 0 0 0 ... 0 0 0 0 0 0 0 ... 0 0
0 ... -p1 1-p2 0 0 0 0 ... 0 0 0 0 0 0 0 ... 0 0
0 ... 0 0 1-p2 0 0 0 ... 0 0 0 0 0 0 0 ... 0 0
0 ... 0 0 0 1-p5 0 0 ... 0 0 0 0 0 0 0 ... 0 0
0 ... 0 0 0 -p4 1-p5 0 ... 0 0 0 0 0 0 0 ... 0 0
0 ... 0 0 0 0 -p4 -p5 ... 0 0 0 0 0 0 0 ... 0 0
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
0 ... 0 0 0 0 0 0 ... 1-p5 0 0 0 0 0 0 ... 0 0
0 ... 0 0 0 0 0 0 ... -p4 1-p5 0 0 0 0 0 ... 0 0
0 ... 0 0 -p1 0 0 0 ... 0 0 1-p2 0 0 0 0 ... 0 0
0 ... 0 0 0 0 0 0 ... 0 0 -p1 1-p2 0 0 0 ... 0 0
0 ... 0 0 0 0 0 0 ... 0 0 0 0 1-p8 0 0 ... 0 0
0 ... 0 0 0 0 0 0 ... 0 0 0 0 -p7 1-p8 0 ... 0 0
0 ... 0 0 0 0 0 0 ... 0 0 0 0 0 -p7 1-p8 ... 0 0
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
0 ... 0 0 0 0 0 0 ... 0 0 0 0 0 0 0 ... 1-p8 0
0 ... 0 0 0 0 0 0 ... 0 0 0 0 0 0 0 ... -p7 1-p8


[Перенесено модератором из форума "Форум по математике"]

Сообщение №28674 от Владимир I 03 февраля 2009 г. 21:03
Тема: Матрица

Найти неизвестную матрицу Х и выполнить проверку.

Буду очень признателен за помощь)))

Отклики на это сообщение:

> Найти неизвестную матрицу Х и выполнить проверку.
>
> Буду очень признателен за помощь)))

Обозначим:


Матрица А имеет обратную A^(-1), т.к. detA = -49. Тогда исходное уравнение XA=B умножим справа на A^(-1). Отсюда


[Перенесено модератором из форума "Форум по математике"]

Сообщение №28735 от Splendid 05 февраля 2009 г. 18:02
Тема: Смещение системы координат

Есть стандартная декартова система координат. В ней даны координаты четырех точек. Затем оси, относительно этих точек сместили (повернули или еще что-нить). И даны координаты этих же четырех точек, только уже в новой системе. Как на основании этих данных рассчитать закон изменения координат. Чтобы потом можно было его "обратить" и по конечным (в смещенной СК) координатам вычислить начальные?
Подскажите, пожалуйста, хоть в какую сторону смотреть? Буду очень благодарна!

Отклики на это сообщение:

> Есть стандартная декартова система координат. В ней даны координаты четырех точек. Затем оси, относительно этих точек сместили (повернули или еще что-нить). И даны координаты этих же четырех точек, только уже в новой системе. Как на основании этих данных рассчитать закон изменения координат. Чтобы потом можно было его "обратить" и по конечным (в смещенной СК) координатам вычислить начальные?
> Подскажите, пожалуйста, хоть в какую сторону смотреть? Буду очень благодарна!

Х=Хо+Х1*соs(a)+Y1*sin(a)
Y=Yо+Y1*соs(a)-X1*sin(a)
XY - конечные, X1Y1 - смещенные
Xo , Yo - смещения координат относительно "смещенной СК"
a - угол поворота относительно "смещенной СК" (поворот оси Х влево от оси Х1)
Чтобы не перепутать знаки плюс и минус - проверить на графике координат.

> Есть стандартная декартова система координат. В ней даны координаты четырех точек. Затем оси, относительно этих точек сместили (повернули или еще что-нить). И даны координаты этих же четырех точек, только уже в новой системе. Как на основании этих данных рассчитать закон изменения координат. Чтобы потом можно было его "обратить" и по конечным (в смещенной СК) координатам вычислить начальные?
> Подскажите, пожалуйста, хоть в какую сторону смотреть? Буду очень благодарна!

А не могли бы вы дать какую-нибудь ссылку на материалы по этой теме, чтобы я могла полностью с этим разобраться? Плиз!

> > Есть стандартная декартова система координат. В ней даны координаты четырех точек. Затем оси, относительно этих точек сместили (повернули или еще что-нить). И даны координаты этих же четырех точек, только уже в новой системе. Как на основании этих данных рассчитать закон изменения координат. Чтобы потом можно было его "обратить" и по конечным (в смещенной СК) координатам вычислить начальные?
> > Подскажите, пожалуйста, хоть в какую сторону смотреть? Буду очень благодарна!
> А не могли бы вы дать какую-нибудь ссылку на материалы по этой теме, чтобы я могла полностью с этим разобраться? Плиз!
Вот рисунок. угол поворота (а)отсчитывать от оси х влево (от 0 до 359)
Если расчитывать на калькуляторе, то тригонометрические функции сами учтут знаки плюс-минус по заданному углу а.


Здравствуйте!!!
Кто нибудь..помогите пожалуйста с заданиями..Нужно доказать свойста....Они связаны со случайными матрицами..но на данный момент эти матрицы не имеют никакого значения...
Вообщем, свойста следующие:
1. tr(A)tr(A^(-1))>=n^2
tr - это след матрицы..то есть те элементы которые находятся по диагонале....
и ещё tr(A)=(||A^(1/2)||)^2
и скорее всего матрица А - положительная..если это конечно имеет значение...
2. tr(AB)=tr(BA) ну это вроде как вообще легко...я пыталась доказать на 2-х элементах матрицы...рассписать просто всё это...и потом обобщила для n элементов..но преподу что-то не нравиться, просит по другому..может будут мысли!!!
3. tr(AB) = tr(A)*tr(B)
4. tr(AB)<=||A|| * ||B||
В третьем и четвёртом через норму решается, по любому!!! И они связаны....
и в третьем я в принципе доказала.... Но не могу объянить, почему
(||A^(1/2)*B^(1/2)||)^2 <= (||A^(1/2)||)^2 * (||B^(1/2)||)^2

Заранее спасибо большое!!!! Буду очень благодарна!!!


> Здравствуйте!!!
> Кто нибудь..помогите пожалуйста с заданиями..Нужно доказать свойста....Они связаны со случайными матрицами..но на данный момент эти матрицы не имеют никакого значения...
> Вообщем, свойста следующие:
> 1. tr(A)tr(A^(-1))>=n^2
> tr - это след матрицы..то есть те элементы которые находятся по диагонале....
> и ещё tr(A)=(||A^(1/2)||)^2
> и скорее всего матрица А - положительная..если это конечно имеет значение...
> 2. tr(AB)=tr(BA) ну это вроде как вообще легко...я пыталась доказать на 2-х элементах матрицы...рассписать просто всё это...и потом обобщила для n элементов..но преподу что-то не нравиться, просит по другому..может будут мысли!!!
> 3. tr(AB) = tr(A)*tr(B)
> 4. tr(AB)<=||A|| * ||B||
> В третьем и четвёртом через норму решается, по любому!!! И они связаны....
> и в третьем я в принципе доказала.... Но не могу объянить, почему
> (||A^(1/2)*B^(1/2)||)^2 <= (||A^(1/2)||)^2 * (||B^(1/2)||)^2

> Заранее спасибо большое!!!! Буду очень благодарна!!!

Путаные какие-то условия.
1)tr(A) - это сумма диагональных элементов. Поэтому неравенство может быть справедливо для положительных матриц. Для симметричных (эрмитовых) матриц след равен сумме собственных чисел. Поэтому Ваше неравенство сводится к стандартным неравенствам между средним арифметическим и средним геометрическим для собственных чисел матрицы и её обратной.
Что Вы написали: tr(A)=(||A^(1/2)||)^2 - не понимаю. Обычно символом ||B|| обозначают норму.
2) Здесь надо честно выписать диагональные элементы и сложить.
3) Это просто не верно для обычного произведения матриц. Это верно, если справа стоит кронекерово произведение матриц.
4)


> > Здравствуйте!!!
> > Кто нибудь..помогите пожалуйста с заданиями..Нужно доказать свойста....Они связаны со случайными матрицами..но на данный момент эти матрицы не имеют никакого значения...
> > Вообщем, свойста следующие:
> > 1. tr(A)tr(A^(-1))>=n^2
> > tr - это след матрицы..то есть те элементы которые находятся по диагонале....
> > и ещё tr(A)=(||A^(1/2)||)^2
> > и скорее всего матрица А - положительная..если это конечно имеет значение...
> > 2. tr(AB)=tr(BA) ну это вроде как вообще легко...я пыталась доказать на 2-х элементах матрицы...рассписать просто всё это...и потом обобщила для n элементов..но преподу что-то не нравиться, просит по другому..может будут мысли!!!
> > 3. tr(AB) = tr(A)*tr(B)
> > 4. tr(AB)<=||A|| * ||B||
> > В третьем и четвёртом через норму решается, по любому!!! И они связаны....
> > и в третьем я в принципе доказала.... Но не могу объянить, почему
> > (||A^(1/2)*B^(1/2)||)^2 <= (||A^(1/2)||)^2 * (||B^(1/2)||)^2

> > Заранее спасибо большое!!!! Буду очень благодарна!!!

> Путаные какие-то условия.
> 1)tr(A) - это сумма диагональных элементов. Поэтому неравенство может быть справедливо для положительных матриц. Для симметричных (эрмитовых) матриц след равен сумме собственных чисел. Поэтому Ваше неравенство сводится к стандартным неравенствам между средним арифметическим и средним геометрическим для собственных чисел матрицы и её обратной.
> Что Вы написали: tr(A)=(||A^(1/2)||)^2 - не понимаю. Обычно символом ||B|| обозначают норму.
> 2) Здесь надо честно выписать диагональные элементы и сложить.
> 3) Это просто не верно для обычного произведения матриц. Это верно, если справа стоит кронекерово произведение матриц.
> 4)

Спасибо, что подумали...
1) Здесь n - это ранг матрицы...И я понять не могу, почему, если мы перемножаем сумму диагональных элементов обычной матрицы, и обратной....почему ранг увеличивается????
То что я написала...tr(A) = норме от sqrt(А) в квардрате...Ну это вообще не имеет никакого значения... (то есть ^ - это возведение в степень)
2) Я так и сделала...он говорит, что это не рационально...как по другому не знаю, видимо вы тоже..
3,4) я доказала...оно вроде нормальное...задвину как-нибудь :)))

Мне самое главное это первое доказать!!!! И именно с ним я никак ничего понять и не могу!!!!


> > > Здравствуйте!!!
> > > Кто нибудь..помогите пожалуйста с заданиями..Нужно доказать свойста....Они связаны со случайными матрицами..но на данный момент эти матрицы не имеют никакого значения...
> > > Вообщем, свойста следующие:
> > > 1. tr(A)tr(A^(-1))>=n^2
> > > tr - это след матрицы..то есть те элементы которые находятся по диагонале....
> > > и ещё tr(A)=(||A^(1/2)||)^2
> > > и скорее всего матрица А - положительная..если это конечно имеет значение...
> > > 2. tr(AB)=tr(BA) ну это вроде как вообще легко...я пыталась доказать на 2-х элементах матрицы...рассписать просто всё это...и потом обобщила для n элементов..но преподу что-то не нравиться, просит по другому..может будут мысли!!!
> > > 3. tr(AB) = tr(A)*tr(B)
> > > 4. tr(AB)<=||A|| * ||B||
> > > В третьем и четвёртом через норму решается, по любому!!! И они связаны....
> > > и в третьем я в принципе доказала.... Но не могу объянить, почему
> > > (||A^(1/2)*B^(1/2)||)^2 <= (||A^(1/2)||)^2 * (||B^(1/2)||)^2

> > > Заранее спасибо большое!!!! Буду очень благодарна!!!

> > Путаные какие-то условия.
> > 1)tr(A) - это сумма диагональных элементов. Поэтому неравенство может быть справедливо для положительных матриц. Для симметричных (эрмитовых) матриц след равен сумме собственных чисел. Поэтому Ваше неравенство сводится к стандартным неравенствам между средним арифметическим и средним геометрическим для собственных чисел матрицы и её обратной.
> > Что Вы написали: tr(A)=(||A^(1/2)||)^2 - не понимаю. Обычно символом ||B|| обозначают норму.
> > 2) Здесь надо честно выписать диагональные элементы и сложить.
> > 3) Это просто не верно для обычного произведения матриц. Это верно, если справа стоит кронекерово произведение матриц.
> > 4)

> Спасибо, что подумали...
> 1) Здесь n - это ранг матрицы...И я понять не могу, почему, если мы перемножаем сумму диагональных элементов обычной матрицы, и обратной....почему ранг увеличивается????
> То что я написала...tr(A) = норме от sqrt(А) в квардрате...Ну это вообще не имеет никакого значения... (то есть ^ - это возведение в степень)
> 2) Я так и сделала...он говорит, что это не рационально...как по другому не знаю, видимо вы тоже..
> 3,4) я доказала...оно вроде нормальное...задвину как-нибудь :)))

> Мне самое главное это первое доказать!!!! И именно с ним я никак ничего понять и не могу!!!!

1) Если есть обратная матрица, то ранг равен порядку матрицы. Я уже писал, что след равен сумме собственных чисел матрицы, то можно использовать стандартные неравенства. Подробнее.
Пусть - собственные числа матрицы А. Тогда
- собственные числа матрицы А^(-1). Справедливы неравенства
,
.
Умножив левые и правые части, получим требуемое неравенство.


> > > > Здравствуйте!!!
> > > > Кто нибудь..помогите пожалуйста с заданиями..Нужно доказать свойста....Они связаны со случайными матрицами..но на данный момент эти матрицы не имеют никакого значения...
> > > > Вообщем, свойста следующие:
> > > > 1. tr(A)tr(A^(-1))>=n^2
> > > > tr - это след матрицы..то есть те элементы которые находятся по диагонале....
> > > > и ещё tr(A)=(||A^(1/2)||)^2
> > > > и скорее всего матрица А - положительная..если это конечно имеет значение...
> > > > 2. tr(AB)=tr(BA) ну это вроде как вообще легко...я пыталась доказать на 2-х элементах матрицы...рассписать просто всё это...и потом обобщила для n элементов..но преподу что-то не нравиться, просит по другому..может будут мысли!!!
> > > > 3. tr(AB) = tr(A)*tr(B)
> > > > 4. tr(AB)<=||A|| * ||B||
> > > > В третьем и четвёртом через норму решается, по любому!!! И они связаны....
> > > > и в третьем я в принципе доказала.... Но не могу объянить, почему
> > > > (||A^(1/2)*B^(1/2)||)^2 <= (||A^(1/2)||)^2 * (||B^(1/2)||)^2

> > > > Заранее спасибо большое!!!! Буду очень благодарна!!!

> > > Путаные какие-то условия.
> > > 1)tr(A) - это сумма диагональных элементов. Поэтому неравенство может быть справедливо для положительных матриц. Для симметричных (эрмитовых) матриц след равен сумме собственных чисел. Поэтому Ваше неравенство сводится к стандартным неравенствам между средним арифметическим и средним геометрическим для собственных чисел матрицы и её обратной.
> > > Что Вы написали: tr(A)=(||A^(1/2)||)^2 - не понимаю. Обычно символом ||B|| обозначают норму.
> > > 2) Здесь надо честно выписать диагональные элементы и сложить.
> > > 3) Это просто не верно для обычного произведения матриц. Это верно, если справа стоит кронекерово произведение матриц.
> > > 4)

> > Спасибо, что подумали...
> > 1) Здесь n - это ранг матрицы...И я понять не могу, почему, если мы перемножаем сумму диагональных элементов обычной матрицы, и обратной....почему ранг увеличивается????
> > То что я написала...tr(A) = норме от sqrt(А) в квардрате...Ну это вообще не имеет никакого значения... (то есть ^ - это возведение в степень)
> > 2) Я так и сделала...он говорит, что это не рационально...как по другому не знаю, видимо вы тоже..
> > 3,4) я доказала...оно вроде нормальное...задвину как-нибудь :)))

> > Мне самое главное это первое доказать!!!! И именно с ним я никак ничего понять и не могу!!!!

> 1) Если есть обратная матрица, то ранг равен порядку матрицы. Я уже писал, что след равен сумме собственных чисел матрицы, то можно использовать стандартные неравенства. Подробнее.
> Пусть - собственные числа матрицы А. Тогда
> - собственные числа матрицы А^(-1). Справедливы неравенства
> {n}\left( {\lambda _1 + \lambda _2 + ... + \lambda _n } \right) \ge \left( {\lambda _1 \cdot \lambda _2 \cdot ... \cdot \lambda _n } \right)^{1/n} \">,
> {n}\left( {\lambda _1 ^{ - 1} + \lambda _2 ^{ = 1} + ... + \lambda _n ^{ - 1} } \right) \ge \left( {\lambda _1 ^{ - 1} \cdot \lambda _2 ^{ - 1} \cdot ... \cdot \lambda _n ^{ - 1} } )^{1/n}\">.
> Умножив левые и правые части, получим требуемое неравенство.

Вот, теперь наверное, это уже то....
Спасибо большое...Leon!!!


Насколько я понимаю, собственные векторы симметричной матрицы, состоящей из нескольких подматриц могут быть составлены из собственных векторов этих подматриц, при этом в "чужие" координаты просто вписываются 0. Где про это лучше почитать? "своим умом" что-то не дохожу.


> Насколько я понимаю, собственные векторы симметричной матрицы, состоящей из нескольких подматриц могут быть составлены из собственных векторов этих подматриц, при этом в "чужие" координаты просто вписываются 0. Где про это лучше почитать? "своим умом" что-то не дохожу.

То что Вы описываете, означает разложение пространства в ортогональную сумму инвариантных подпространств для оператора, которому соответствует матрица. Ваш вопрос - это начало спектральной теории операторов. Есть много разных книг. Начните с книги: Халмош П. Конечномерные векторные пространства 1963. Её можно скачать с сайта
http://www.poiskknig.ru/
Наберите фамилию: Халмош.
У этого математика много прекрасных книг. Обратите на них внимание.


[Перенесено модератором из форума "Форум по математике"]

Сообщение №28978 от edward 21 февраля 2009 г. 13:53
Тема: Формула последовательности

Подскажите хотя бы одну из формул последовательностей, каждый последующий член которых равен сумме трех предыдущих.

Отклики на это сообщение:

> Подскажите хотя бы одну из формул последовательностей, каждый последующий член которых равен сумме трех предыдущих.

Это задача по теме: разностные уравнения (например, книга: Гельфонд А. Исчисление конечных разностей)
обозначим через x(n) искомую последовательность. Тогда
x(n)+x(n+1)+x(n+2)=x(n+3)
Решение ищем в виде x(n) = a^n. Подставив заготовку в уравнение получите кубическое уравнение для а
a^3 - a^2 - a - 1 = 0
Тут три корня один вещественный а1 и два комплексно сопряжённых а2 и а3.
Общее решение имеет вид С*(а1)^n + D*(a2)^n + E*(a3)^n
Константы С, D, E выбирают, исходя из начальных условий.

Leon, Ваше пояснение не совсем понятно.
Рекуррентное соотношение для многочлена 3-ей степени
имеет совсем другой вид и строится на биноминальных коэффициентах.
Если не трудно, напишите конкретно формулу последовательности,
имеющей указанный рекуррент.
Спасибо. > Leon, Ваше пояснение не совсем понятно.
> Рекуррентное соотношение для многочлена 3-ей степени
> имеет совсем другой вид и строится на биноминальных коэффициентах.
> Если не трудно, напишите конкретно формулу последовательности,
> имеющей указанный рекуррент.
> Спасибо.

edward, многочлен нужен для поиска оснований степеней, которые и являются решениями.
Общее решение имеет вид
x(n) = С*(а1)^n + D*(a2)^n + E*(a3)^n
Конкретный пример


Leon, теперь я понял Вашу идею.
Но смотрите, вот какая пос-ть получается по Вашей формуле(n=1..5):
2.705106470, 7.317601014, 19.79488985, 53.54728460, 144.8511060
Рекуррент не выполняется! >
> Leon, теперь я понял Вашу идею.
> Но смотрите, вот какая пос-ть получается по Вашей формуле(n=1..5):
> 2.705106470, 7.317601014, 19.79488985, 53.54728460, 144.8511060
> Рекуррент не выполняется!

Видимо, я ошибся в формуле. Это единственный корень кубического уравнения. Надо будет завтра проверить.

> Подскажите хотя бы одну из формул последовательностей, каждый последующий член которых равен сумме трех предыдущих.

Например, в матричном виде можно задать так: a(n) = [1, 0, 0] * M^n * v
где M - это матрица 3x3:
[ 0, 1, 0 ]
[ 0, 0, 1 ]
[ 1, 1, 1 ]
v - это произвольный вектор-столбец (начальных значений).

Например, при v = [ 1, 0, 0 ]^T для n=0..10 получаются такие значения:
1, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44

А при v = [ 1, 0, 0 ]^T для n=0..10 получаются такие значения:
1, 2, 3, 6, 11, 20, 37, 68, 125, 230, 423

> А при v = [ 1, 0, 0 ]^T для n=0..10 получаются такие значения:
> 1, 2, 3, 6, 11, 20, 37, 68, 125, 230, 423

Опечатка. Должно быть:

А при v = [ 1, 2, 3 ]^T для n=0..10 получаются такие значения:
1, 2, 3, 6, 11, 20, 37, 68, 125, 230, 423

>
> Leon, теперь я понял Вашу идею.
> Но смотрите, вот какая пос-ть получается по Вашей формуле(n=1..5):
> 2.705106470, 7.317601014, 19.79488985, 53.54728460, 144.8511060
> Рекуррент не выполняется!

Ошибки я не нашёл. У меня получились такие числа последовательности (n=1,2,3,4,5)
1.83928676, 3.38297577, 6.22226252, 11.44452505, 21.04976334

> > А при v = [ 1, 0, 0 ]^T для n=0..10 получаются такие значения:
> > 1, 2, 3, 6, 11, 20, 37, 68, 125, 230, 423

> Опечатка. Должно быть:

> А при v = [ 1, 2, 3 ]^T для n=0..10 получаются такие значения:
> 1, 2, 3, 6, 11, 20, 37, 68, 125, 230, 423

Спасибо. Красиво.
Есть ли "канонический" способ построения матрица по характеристическому многочлену
det(M - λE)?
Или у Вас другая идея построения матрицы M?

> Есть ли "канонический" способ построения матрица по характеристическому многочлену
> det(M - λE)?

Конечно. Такие матрицы называются "сопровождающими".
см.: Companion matrix

> > Есть ли "канонический" способ построения матрица по характеристическому многочлену
> > det(M - λE)?

> Конечно. Такие матрицы называются "сопровождающими".
> см.:

Спасибо. Применение матриц для разностных уравнений для меня неожиданно и красиво.


> Опечатка. Должно быть:

> А при v = [ 1, 2, 3 ]^T для n=0..10 получаются такие значения:
> 1, 2, 3, 6, 11, 20, 37, 68, 125, 230, 423

Уважаемый RElf !
Действительно, матрицы дают красивое и простое решение.
Но как решить эту задачу при помощи формулы?
Можно ли матрицу трансформировать в формулу?

> Действительно, матрицы дают красивое и простое решение.
> Но как решить эту задачу при помощи формулы?
> Можно ли матрицу трансформировать в формулу?

А чем формула с матрицами вам не формула?
Формулу без матриц (которая требует решения уравнения 3й степени) вам уже указал Leon.

RElf, я имел ввиду другое.
Матрица дает последовательность 1.2.3.6.11.20.37.68....
Какова формула?
Как от матрицы перейти к формуле?
Все-таки основой понимания в математике являются формулы, а не матрицы.
Я понимаю, если знаю формулу, матрицы ничего не дают.
Вашу и любую другую последовательность можно построить и без матриц.
Найти формулу -вот и проблема, и искусство.


Здравствуйте, уважаемые математики!
У меня при формализации одной задачи возникла необходимость получить матрицу, на основании двух множеств. Интересует как это записывается на языке формул? Нигде не могу найти, помогите пожалуйста.
Более конкретно(хотя интересует и общий случай):
Есть множество всех элементов E некоторой системы, есть множество M всех сообщений той же системы.
Необходимо построить матрицу соответствия между элементами и сообщениями, которая показывает использует или нет конкретный элемент конкретное свойство. Т.е. сама матрица будет состоять из значений 0 и 1. Для случая из трёх элементов и трёх сообщений, матрица будет выглядеть например так:
M\E
1 2 3
-------
1 | 0 1 1
2 | 1 0 1
3 | 0 1 0
Сразу простите пожалуйста за корявость записи. Очень рассчитываю на Вашу помощь.


> Здравствуйте, уважаемые математики!
> У меня при формализации одной задачи возникла необходимость получить матрицу, на основании двух множеств. Интересует как это записывается на языке формул? Нигде не могу найти, помогите пожалуйста.
> Более конкретно(хотя интересует и общий случай):
> Есть множество всех элементов E некоторой системы, есть множество M всех сообщений той же системы.
> Необходимо построить матрицу соответствия между элементами и сообщениями, которая показывает использует или нет конкретный элемент конкретное свойство. Т.е. сама матрица будет состоять из значений 0 и 1. Для случая из трёх элементов и трёх сообщений, матрица будет выглядеть например так:
> M\E
> 1 2 3
> -------
> 1 | 0 1 1
> 2 | 1 0 1
> 3 | 0 1 0
> Сразу простите пожалуйста за корявость записи. Очень рассчитываю на Вашу помощь.

Не понятны Ваши затруднения. По моему, Вы прекрасно строите эти матрицы.


Дело в том, что я вполне себе представляю, как они будут выглядеть,но мне надо это описать в статье, формально, на языке формул, математически. Вот это и затрудняет.


> Дело в том, что я вполне себе представляю, как они будут выглядеть,но мне надо это описать в статье, формально, на языке формул, математически. Вот это и затрудняет.

Пишут всяко. Но чем проще, тем лучше. Например, пишите:
"Для описания соответствия между элементами и сообщениями используем квадратную матрицу
, ,
где числа равны 1, если ... , и 0 в противном случае"
Для обозначения матрицы и её элементов стараются выбирать одну букву (большую и малую).


Спасибо, хотелось бы конечно в виде формулы, потому что так, как Вы это сделали, получается всё же не столь формально. Может знаете хоть один пример именно формульной записи? Если Вас не затруднит, не могли бы Вы его здесь привести?


> Спасибо, хотелось бы конечно в виде формулы, потому что так, как Вы это сделали, получается всё же не столь формально. Может знаете хоть один пример именно формульной записи? Если Вас не затруднит, не могли бы Вы его здесь привести?

К сожалению, не знаю. Если бы Вы написали формулу, когда 1 а когда 0, тогда можно было бы написать более формально.


> > Спасибо, хотелось бы конечно в виде формулы, потому что так, как Вы это сделали, получается всё же не столь формально. Может знаете хоть один пример именно формульной записи? Если Вас не затруднит, не могли бы Вы его здесь привести?

> К сожалению, не знаю. Если бы Вы написали формулу, когда 1 а когда 0, тогда можно было бы написать более формально.

Зря автор темы пренебрегает наглядностью. Многие статьи по математике пестрят формулами с индексами в три этажа. Приходится всматриваться в значки, запоминать обозначения, кои часто вообще не расшифрованы в статье. Другое дело - рисунки. Наглядно, логично, понятно с первого взгляда. Для нолей и единиц даже рисунка не нужно - текстовыми строчками можно изображать, выделять цветом, жиром, наклоном, чертой.


Да я вовсе не хочу пренебрегать наглядностью!
Формулы зависимости никакой нет,всё действительно легко выражается словами.
Возможно наиболее вероятным ответом будет примерно это(?):
ai,j = F(ei, mj)=


Здравствуете..
Надеюсь, что мне ответит Leon :)

Я уже писала про эти трэйсы...
то, что tr(A)tr(A^(-1))>=n^2

Вы мне доказали это через собственные числа!!! Но, всё-таки,может быть можно как-то по другому???

Вот, может например иметь место такое равенство(или хотя бы на подобии этого):
(tr(A*A^(-1)))^2=(trE)^2=n^2 ???

И ещё, Если всё-таки доказывать через собственные числа, то вот для двух понятно, то есть:
(&lambda1;+&lambda2;)*(1/&lambda1;+1/&lambda2;)=((&lambda1;+&lambda2;)^2)/(&lambda1;*&lambda2;)>=(4*&lambda1;*&lambda2;)/(&lambda1;*&lambda2;)= 4= 2^2. то есть n^2
А вот когда для n собвственных чисел?

Заранее благодарю....


> Здравствуете..
> Надеюсь, что мне ответит Leon :)

> Я уже писала про эти трэйсы...
> то, что tr(A)tr(A^(-1))>=n^2

> Вы мне доказали это через собственные числа!!! Но, всё-таки,может быть можно как-то по другому???

> Вот, может например иметь место такое равенство(или хотя бы на подобии этого):
> (tr(A*A^(-1)))^2=(trE)^2=n^2 ???

> И ещё, Если всё-таки доказывать через собственные числа, то вот для двух понятно, то есть:
> (&lambda1;+&lambda2;)*(1/&lambda1;+1/&lambda2;)=((&lambda1;+&lambda2;)^2)/(&lambda1;*&lambda2;)>=(4*&lambda1;*&lambda2;)/(&lambda1;*&lambda2;)= 4= 2^2. то есть n^2
> А вот когда для n собвственных чисел?

> Заранее благодарю....

Данное неравенство без дополнительных предположений неверно. Видимо, изначально в условии стояло условие положительной (отрицательной) определённости матрицы. Если это так, то задача сводится к доказательству неравенства (кажется, что это именное неравенство, в памяти всплывает фамилия Бернулли)

Последнее неравенсство следует из неравенств между средним арифметическом и средним геометрическим


Перемножьте эти неравенства и получите нужное неравенство. Кстати, последнее неравенство - неравенство между средним гармоническим и средним геометрическим.
Почему Вы не хотите использовать собственные числа? Если квадратичная форма не вырождена, то матрицу можно привести к диагональной с помощью невырожденного преобразования, что не влияет на след.


> > Здравствуете..
> > Надеюсь, что мне ответит Leon :)

> > Я уже писала про эти трэйсы...
> > то, что tr(A)tr(A^(-1))>=n^2

> > Вы мне доказали это через собственные числа!!! Но, всё-таки,может быть можно как-то по другому???

> > Вот, может например иметь место такое равенство(или хотя бы на подобии этого):
> > (tr(A*A^(-1)))^2=(trE)^2=n^2 ???

> > И ещё, Если всё-таки доказывать через собственные числа, то вот для двух понятно, то есть:
> > (&lambda1;+&lambda2;)*(1/&lambda1;+1/&lambda2;)=((&lambda1;+&lambda2;)^2)/(&lambda1;*&lambda2;)>=(4*&lambda1;*&lambda2;)/(&lambda1;*&lambda2;)= 4= 2^2. то есть n^2
> > А вот когда для n собвственных чисел?

> > Заранее благодарю....

> Данное неравенство без дополнительных предположений неверно. Видимо, изначально в условии стояло условие положительной (отрицательной) определённости матрицы. Если это так, то задача сводится к доказательству неравенства (кажется, что это именное неравенство, в памяти всплывает фамилия Бернулли)
> \left( {\lambda _1 + \lambda _2 + ... + \lambda _n } \right)\left( {\frac{1}{{\lambda _1 }} + \frac{1}{{\lambda _2 }} + ... + \frac{1}{{\lambda _n }}} \right) \ge n^2 \">
> Последнее неравенсство следует из неравенств между средним арифметическом и средним геометрическим
> \frac{{\lambda _1 + \lambda _2 + ... + \lambda _n }}{n} \ge \sqrt[n]{{\lambda _1 \lambda _2 ...\lambda _n }}\">
> \frac{1}{n}\left( {\frac{1}{{\lambda _1 }} + \frac{1}{{\lambda _2 }} + ... + \frac{1}{{\lambda _n }}} \right) \ge \frac{1}{{\sqrt[n]{{\lambda _1 \lambda _2 ...\lambda _n }}}}\">
> Перемножьте эти неравенства и получите нужное неравенство. Кстати, последнее неравенство - неравенство между средним гармоническим и средним геометрическим.
> Почему Вы не хотите использовать собственные числа? Если квадратичная форма не вырождена, то матрицу можно привести к диагональной с помощью невырожденного преобразования, что не влияет на след.

Конечно же матрица положительно определённая. Я забыла сказать!!!
Спасибо Вам большое...Теперь мне всё стало понятно!!!
А я с удовольствием бы использовала собственные числа!!! :)) Просто говорят, что есть какой-то другой способ ...вот мне и интересно, что же это за другой способ такой??? Вот....
Но спасибо Вам Leon. Очень благодарна!


[Перенесено модератором из форума "Форум по математике"]

Сообщение №29615 от наина 22 марта 2009 г. 15:29
Тема: решите матрицу

Найти собственное значение и собственный вектор матрицы:
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 0 1
0 1 1 0

Отклики на это сообщение:

Найти ортогональный базис под пространства А1 заданного системой уравнений:
Х1+Х2+Х3+9Х5=0
Х1+Х2-Х4+6Х5=0,
и базис под пространства А1.


Leon, здравствуйте!
Можете доказать следующее? :
tr(A*B)^2≤tr(A^2)*tr(B^2)?
A, B - матрицы (вроде симметрические и положительно определённые)
Это ведь как то связано с неравенством Шварца...
Благодарю заранее


> Leon, здравствуйте!
> Можете доказать следующее? :
> tr(A*B)^2≤tr(A^2)*tr(B^2)?
> A, B - матрицы (вроде симметрические и положительно определённые)
> Это ведь как то связано с неравенством Шварца...
> Благодарю заранее

Достаточно заметить, что след произведения матриц это сумма произведений соответствующих элементов.
То есть нужно показать, что
(∑i,jai,jbi,j)2≤(∑i,jai,j2)(∑i,jbi,j2)


> > Leon, здравствуйте!
> > Можете доказать следующее? :
> > tr(A*B)^2≤tr(A^2)*tr(B^2)?
> > A, B - матрицы (вроде симметрические и положительно определённые)
> > Это ведь как то связано с неравенством Шварца...
> > Благодарю заранее

> Достаточно заметить, что след произведения матриц это сумма произведений соответствующих элементов.
> То есть нужно показать, что
> (∑i,jai,jbi,j)2≤(∑i,jai,j2)(∑i,jbi,j2)


Мне бы хотелось конкретнее...Я и так понимаю, что нужно это показать...Так как?


> > > Leon, здравствуйте!
> > > Можете доказать следующее? :
> > > tr(A*B)^2≤tr(A^2)*tr(B^2)?
> > > A, B - матрицы (вроде симметрические и положительно определённые)
> > > Это ведь как то связано с неравенством Шварца...
> > > Благодарю заранее

> > Достаточно заметить, что след произведения матриц это сумма произведений соответствующих элементов.
> > То есть нужно показать, что
> > (∑i,jai,jbi,j)2≤(∑i,jai,j2)(∑i,jbi,j2)

>
> Мне бы хотелось конкретнее...Я и так понимаю, что нужно это показать...Так как?

Это неравенство Коши-Буняковского (возможно ещё и Шварца).


> > > Leon, здравствуйте!
> > > Можете доказать следующее? :
> > > tr(A*B)^2≤tr(A^2)*tr(B^2)?
> > > A, B - матрицы (вроде симметрические и положительно определённые)
> > > Это ведь как то связано с неравенством Шварца...
> > > Благодарю заранее

> > Достаточно заметить, что след произведения матриц это сумма произведений соответствующих элементов.
> > То есть нужно показать, что
> > (∑i,jai,jbi,j)2≤(∑i,jai,j2)(∑i,jbi,j2)

>
> Мне бы хотелось конкретнее...Я и так понимаю, что нужно это показать...Так как?

Ну так, прошу прощения, это и есть неравенство Коши
http://slovari.yandex.ru/dict/bse/article/00038/26800.htm

Неравенством Шварца именуют его обобщение, более известное у нас, как неравенство Коши-Буняковского.
http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/3218


> > > > Leon, здравствуйте!
> > > > Можете доказать следующее? :
> > > > tr(A*B)^2≤tr(A^2)*tr(B^2)?
> > > > A, B - матрицы (вроде симметрические и положительно определённые)
> > > > Это ведь как то связано с неравенством Шварца...
> > > > Благодарю заранее

> > > Достаточно заметить, что след произведения матриц это сумма произведений соответствующих элементов.
> > > То есть нужно показать, что
> > > (∑i,jai,jbi,j)2≤(∑i,jai,j2)(∑i,jbi,j2)

> >
> > Мне бы хотелось конкретнее...Я и так понимаю, что нужно это показать...Так как?

> Это неравенство Коши-Буняковского (возможно ещё и Шварца).

Да, это неравенство Коши, в общем случае Коши - Буняковского, а в иностранной литературе его называют неравенством Шварца, или Буняковского- Шварца....
Кажется я уже поняла, как всё это сделать...
Спасибо Вам!


Подскажите пожалуйста, где можно найти доказательство следующей теоремы:

Если матрица А>0, B≥0, то существует неособая матрица P ( |P|≠0)такая что выполняется следующее:
PT*A*P=E,
PT*B*P=diag{λ1,...,λn},
где λii*(A-1*B)


И ещё, подскажите, какие условия можно наложить, чтобы выполнялось следующее:
A>0,B≥0 следовательно A≥B

(ну то есть когда это будет так?)
Заранее благодарю...


> Подскажите пожалуйста, где можно найти доказательство следующей теоремы:

> Если матрица А>0, B≥0, то существует неособая матрица P ( |P|≠0)такая что выполняется следующее:
> PT*A*P=E,
> PT*B*P=diag{λ1,...,λn},
> где λii*(A-1*B)

>
> И ещё, подскажите, какие условия можно наложить, чтобы выполнялось следующее:
> A>0,B≥0 следовательно A≥B

> (ну то есть когда это будет так?)
> Заранее благодарю...

Очень нужно....Неужели никто не знает?? :(


> > Подскажите пожалуйста, где можно найти доказательство следующей теоремы:

> > Если матрица А>0, B≥0, то существует неособая матрица P ( |P|≠0)такая что выполняется следующее:
> > PT*A*P=E,
> > PT*B*P=diag{λ1,...,λn},
> > где λii*(A-1*B)

> >
> > И ещё, подскажите, какие условия можно наложить, чтобы выполнялось следующее:
> > A>0,B≥0 следовательно A≥B

> > (ну то есть когда это будет так?)
> > Заранее благодарю...

> Очень нужно....Неужели никто не знает?? :(

Давайте докажем сами.
1. Собственные числа А-1В совпадают с собственными числами А-1/2ВА-1/2.
Действительно, пусть λ - собственное число и v - собственный вектор, т.е.
А-1Вv = λv
Положим u = А1/2v. Тогда, А-1/2ВА-1/2u = λu.
2. Оператор А-1/2ВА-1/2 симметричен. Существует ортогональный оператор Q такой, что
QTА-1/2ВА-1/2Q=diag{λ1,...,λn}
3. Оператор P = А-1/2Q удовлетворяет условиям задачи.


> > > Подскажите пожалуйста, где можно найти доказательство следующей теоремы:

> > > Если матрица А>0, B≥0, то существует неособая матрица P ( |P|≠0)такая что выполняется следующее:
> > > PT*A*P=E,
> > > PT*B*P=diag{λ1,...,λn},
> > > где λii*(A-1*B)

> > >
> > > И ещё, подскажите, какие условия можно наложить, чтобы выполнялось следующее:
> > > A>0,B≥0 следовательно A≥B

> > > (ну то есть когда это будет так?)
> > > Заранее благодарю...

> > Очень нужно....Неужели никто не знает?? :(

> Давайте докажем сами.
> 1. Собственные числа А-1В совпадают с собственными числами А-1/2ВА-1/2.
> Действительно, пусть λ - собственное число и v - собственный вектор, т.е.
> А-1Вv = λv
> Положим u = А1/2v. Тогда, А-1/2ВА-1/2u = λu.
> 2. Оператор А-1/2ВА-1/2 симметричен. Существует ортогональный оператор Q такой, что
> QTА-1/2ВА-1/2Q=diag{λ1,...,λn}
> 3. Оператор P = А-1/2Q удовлетворяет условиям задачи.

>

Спасибо большое Вам...Только я пока не сильно всё это поняла..постораюсь разобраться нормально...
А вы не знаете, что это всё таки за теорема?? Нигде не могу её найти!!

А вот то, что я ещё второе спросила...
какие условия можно наложить, чтобы выполнялось следующее:
> > > A>0,B≥0 следовательно A≥B


> > > > Подскажите пожалуйста, где можно найти доказательство следующей теоремы:

> > > > Если матрица А>0, B≥0, то существует неособая матрица P ( |P|≠0)такая что выполняется следующее:
> > > > PT*A*P=E,
> > > > PT*B*P=diag{λ1,...,λn},
> > > > где λii*(A-1*B)

> > > >
> > > > И ещё, подскажите, какие условия можно наложить, чтобы выполнялось следующее:
> > > > A>0,B≥0 следовательно A≥B

> > > > (ну то есть когда это будет так?)
> > > > Заранее благодарю...

> > > Очень нужно....Неужели никто не знает?? :(

> > Давайте докажем сами.
> > 1. Собственные числа А-1В совпадают с собственными числами А-1/2ВА-1/2.
> > Действительно, пусть λ - собственное число и v - собственный вектор, т.е.
> > А-1Вv = λv
> > Положим u = А1/2v. Тогда, А-1/2ВА-1/2u = λu.
> > 2. Оператор А-1/2ВА-1/2 симметричен. Существует ортогональный оператор Q такой, что
> > QTА-1/2ВА-1/2Q=diag{λ1,...,λn}
> > 3. Оператор P = А-1/2Q удовлетворяет условиям задачи.

> >

> Спасибо большое Вам...Только я пока не сильно всё это поняла..постораюсь разобраться нормально...
> А вы не знаете, что это всё таки за теорема?? Нигде не могу её найти!!

> А вот то, что я ещё второе спросила...
> какие условия можно наложить, чтобы выполнялось следующее:
> > > > A>0,B≥0 следовательно A≥B


Подскажите, Когда выполняется следующее:
>Если матрица A>0,B≥0 следовательно A≥B


> > > > > Подскажите пожалуйста, где можно найти доказательство следующей теоремы:

> > > > > Если матрица А>0, B≥0, то существует неособая матрица P ( |P|≠0)такая что выполняется следующее:
> > > > > PT*A*P=E,
> > > > > PT*B*P=diag{λ1,...,λn},
> > > > > где λii*(A-1*B)

> > > > >
> > > > > И ещё, подскажите, какие условия можно наложить, чтобы выполнялось следующее:
> > > > > A>0,B≥0 следовательно A≥B

> > > > > (ну то есть когда это будет так?)
> > > > > Заранее благодарю...

> > > > Очень нужно....Неужели никто не знает?? :(

> > > Давайте докажем сами.
> > > 1. Собственные числа А-1В совпадают с собственными числами А-1/2ВА-1/2.
> > > Действительно, пусть λ - собственное число и v - собственный вектор, т.е.
> > > А-1Вv = λv
> > > Положим u = А1/2v. Тогда, А-1/2ВА-1/2u = λu.
> > > 2. Оператор А-1/2ВА-1/2 симметричен. Существует ортогональный оператор Q такой, что
> > > QTА-1/2ВА-1/2Q=diag{λ1,...,λn}
> > > 3. Оператор P = А-1/2Q удовлетворяет условиям задачи.

> > >

> > Спасибо большое Вам...Только я пока не сильно всё это поняла..постораюсь разобраться нормально...
> > А вы не знаете, что это всё таки за теорема?? Нигде не могу её найти!!

> > А вот то, что я ещё второе спросила...
> > какие условия можно наложить, чтобы выполнялось следующее:
> > > > > A>0,B≥0 следовательно A≥B

>
> Подскажите, Когда выполняется следующее:
> >Если матрица A>0,B≥0 следовательно A≥B

По первому вопросу.К сожалению, я не знаю этой теоремы. Посмотрите книгу: Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. Её можно скачать с сайта
http://www.poiskknig.ru
набрав фамилию Гантмахер Ф.Р.
По второму вопросу:
Неравенство A≥B означает выполнение неравенства (Ах,х)≥(Вх,х) для всех х.
Положим х = А-1/2y. Тогда последнее неравенство можно переписать в виде
-1/2ВА-1/2y,y)≤(y,y) для вех y.
Это эквивалентно тому, что собственные числа матрицы А-1В не превосходят единицы.


> > > > > > Подскажите пожалуйста, где можно найти доказательство следующей теоремы:

> > > > > > Если матрица А>0, B≥0, то существует неособая матрица P ( |P|≠0)такая что выполняется следующее:
> > > > > > PT*A*P=E,
> > > > > > PT*B*P=diag{λ1,...,λn},
> > > > > > где λii*(A-1*B)

> > > > > >
> > > > > > И ещё, подскажите, какие условия можно наложить, чтобы выполнялось следующее:
> > > > > > A>0,B≥0 следовательно A≥B

> > > > > > (ну то есть когда это будет так?)
> > > > > > Заранее благодарю...

> > > > > Очень нужно....Неужели никто не знает?? :(

> > > > Давайте докажем сами.
> > > > 1. Собственные числа А-1В совпадают с собственными числами А-1/2ВА-1/2.
> > > > Действительно, пусть λ - собственное число и v - собственный вектор, т.е.
> > > > А-1Вv = λv
> > > > Положим u = А1/2v. Тогда, А-1/2ВА-1/2u = λu.
> > > > 2. Оператор А-1/2ВА-1/2 симметричен. Существует ортогональный оператор Q такой, что
> > > > QTА-1/2ВА-1/2Q=diag{λ1,...,λn}
> > > > 3. Оператор P = А-1/2Q удовлетворяет условиям задачи.

> > > >

> > > Спасибо большое Вам...Только я пока не сильно всё это поняла..постораюсь разобраться нормально...
> > > А вы не знаете, что это всё таки за теорема?? Нигде не могу её найти!!

> > > А вот то, что я ещё второе спросила...
> > > какие условия можно наложить, чтобы выполнялось следующее:
> > > > > > A>0,B≥0 следовательно A≥B

> >
> > Подскажите, Когда выполняется следующее:
> > >Если матрица A>0,B≥0 следовательно A≥B

> По первому вопросу.К сожалению, я не знаю этой теоремы. Посмотрите книгу: Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. Её можно скачать с сайта
> http://www.poiskknig.ru
> набрав фамилию Гантмахер Ф.Р.
> По второму вопросу:
> Неравенство A≥B означает выполнение неравенства (Ах,х)≥(Вх,х) для всех х.
> Положим х = А-1/2y. Тогда последнее неравенство можно переписать в виде
> -1/2ВА-1/2y,y)≤(y,y) для вех y.
> Это эквивалентно тому, что собственные числа матрицы А-1В не превосходят единицы.

Спасибо вам за сайт, я уже тоже подумывала об этой книге!!!
И спасибо за второй мой вопрос!!!

И ещё, я думаю, вам будет интересно!!!
Как то давно я спрашивала, как можно доказать следующее неравенство
tr(A)*tr(A-1)≥n2
Так вот, его можно доказать не только через собственные числа, а ещё и так:

tr(A)*tr(A-1) = (норма (А1/2))2*(норма (А-1/2))2 ≥ (норма (А1/2)* (А-1/2))2 = n2

(Не знаю просто как норму написать знаком )


> > > > > > > Подскажите пожалуйста, где можно найти доказательство следующей теоремы:

> > > > > > > Если матрица А>0, B≥0, то существует неособая матрица P ( |P|≠0)такая что выполняется следующее:
> > > > > > > PT*A*P=E,
> > > > > > > PT*B*P=diag{λ1,...,λn},
> > > > > > > где λii*(A-1*B)

> > > > > > >
> > > > > > > И ещё, подскажите, какие условия можно наложить, чтобы выполнялось следующее:
> > > > > > > A>0,B≥0 следовательно A≥B

> > > > > > > (ну то есть когда это будет так?)
> > > > > > > Заранее благодарю...

> > > > > > Очень нужно....Неужели никто не знает?? :(

> > > > > Давайте докажем сами.
> > > > > 1. Собственные числа А-1В совпадают с собственными числами А-1/2ВА-1/2.
> > > > > Действительно, пусть λ - собственное число и v - собственный вектор, т.е.
> > > > > А-1Вv = λv
> > > > > Положим u = А1/2v. Тогда, А-1/2ВА-1/2u = λu.
> > > > > 2. Оператор А-1/2ВА-1/2 симметричен. Существует ортогональный оператор Q такой, что
> > > > > QTА-1/2ВА-1/2Q=diag{λ1,...,λn}
> > > > > 3. Оператор P = А-1/2Q удовлетворяет условиям задачи.

> > > > >

> > > > Спасибо большое Вам...Только я пока не сильно всё это поняла..постораюсь разобраться нормально...
> > > > А вы не знаете, что это всё таки за теорема?? Нигде не могу её найти!!

> > > > А вот то, что я ещё второе спросила...
> > > > какие условия можно наложить, чтобы выполнялось следующее:
> > > > > > > A>0,B≥0 следовательно A≥B

> > >
> > > Подскажите, Когда выполняется следующее:
> > > >Если матрица A>0,B≥0 следовательно A≥B

> > По первому вопросу.К сожалению, я не знаю этой теоремы. Посмотрите книгу: Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. Её можно скачать с сайта
> > http://www.poiskknig.ru
> > набрав фамилию Гантмахер Ф.Р.
> > По второму вопросу:
> > Неравенство A≥B означает выполнение неравенства (Ах,х)≥(Вх,х) для всех х.
> > Положим х = А-1/2y. Тогда последнее неравенство можно переписать в виде
> > (А-1/2ВА-1/2y,y)≤(y,y) для вех y.
> > Это эквивалентно тому, что собственные числа матрицы А-1В не превосходят единицы.


> Спасибо вам за сайт, я уже тоже подумывала об этой книге!!!
> И спасибо за второй мой вопрос!!!

> И ещё, я думаю, вам будет интересно!!!
> Как то давно я спрашивала, как можно доказать следующее неравенство
> tr(A)*tr(A-1)≥n2
> Так вот, его можно доказать не только через собственные числа, а ещё и так:

> tr(A)*tr(A-1) = (норма (А1/2))2*(норма (А-1/2))2 ≥ (норма (А1/2)* (А-1/2))2 = n2

> (Не знаю просто как норму написать знаком )

Не понял, почему норма (А1/2)2= tr(A). Норма неотрицательного оператора равна наибольшему собственному числу, а след =сумме собственных чисел!?


> > > > > > > > Подскажите пожалуйста, где можно найти доказательство следующей теоремы:

> > > > > > > > Если матрица А>0, B≥0, то существует неособая матрица P ( |P|≠0)такая что выполняется следующее:
> > > > > > > > PT*A*P=E,
> > > > > > > > PT*B*P=diag{λ1,...,λn},
> > > > > > > > где λii*(A-1*B)

> > > > > > > >
> > > > > > > > И ещё, подскажите, какие условия можно наложить, чтобы выполнялось следующее:
> > > > > > > > A>0,B≥0 следовательно A≥B

> > > > > > > > (ну то есть когда это будет так?)
> > > > > > > > Заранее благодарю...

> > > > > > > Очень нужно....Неужели никто не знает?? :(

> > > > > > Давайте докажем сами.
> > > > > > 1. Собственные числа А-1В совпадают с собственными числами А-1/2ВА-1/2.
> > > > > > Действительно, пусть λ - собственное число и v - собственный вектор, т.е.
> > > > > > А-1Вv = λv
> > > > > > Положим u = А1/2v. Тогда, А-1/2ВА-1/2u = λu.
> > > > > > 2. Оператор А-1/2ВА-1/2 симметричен. Существует ортогональный оператор Q такой, что
> > > > > > QTА-1/2ВА-1/2Q=diag{λ1,...,λn}
> > > > > > 3. Оператор P = А-1/2Q удовлетворяет условиям задачи.

> > > > > >

> > > > > Спасибо большое Вам...Только я пока не сильно всё это поняла..постораюсь разобраться нормально...
> > > > > А вы не знаете, что это всё таки за теорема?? Нигде не могу её найти!!

> > > > > А вот то, что я ещё второе спросила...
> > > > > какие условия можно наложить, чтобы выполнялось следующее:
> > > > > > > > A>0,B≥0 следовательно A≥B

> > > >
> > > > Подскажите, Когда выполняется следующее:
> > > > >Если матрица A>0,B≥0 следовательно A≥B

> > > По первому вопросу.К сожалению, я не знаю этой теоремы. Посмотрите книгу: Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. Её можно скачать с сайта
> > > http://www.poiskknig.ru
> > > набрав фамилию Гантмахер Ф.Р.
> > > По второму вопросу:
> > > Неравенство A≥B означает выполнение неравенства (Ах,х)≥(Вх,х) для всех х.
> > > Положим х = А-1/2y. Тогда последнее неравенство можно переписать в виде
> > > (А-1/2ВА-1/2y,y)≤(y,y) для вех y.
> > > Это эквивалентно тому, что собственные числа матрицы А-1В не превосходят единицы.

>
> > Спасибо вам за сайт, я уже тоже подумывала об этой книге!!!
> > И спасибо за второй мой вопрос!!!

> > И ещё, я думаю, вам будет интересно!!!
> > Как то давно я спрашивала, как можно доказать следующее неравенство
> > tr(A)*tr(A-1)≥n2
> > Так вот, его можно доказать не только через собственные числа, а ещё и так:

> > tr(A)*tr(A-1) = (норма (А1/2))2*(норма (А-1/2))2 ≥ (норма (А1/2)* (А-1/2))2 = n2

> > (Не знаю просто как норму написать знаком )

> Не понял, почему норма (А1/2)2= tr(A). Норма неотрицательного оператора равна наибольшему собственному числу, а след =сумме собственных чисел!?


Ну не знаю..:)) Вот так.... tr(A*AT)= норма (A)2
Я с помощью этого свойства многое доказала!!!
Например, что tr(A*B)= tr(A1/2*A1/2*B1/2*B1/2)= tr(A1/2*B1/2)*(A1/2*B1/2)T = норма (A1/2*B1/2)2≤(норма(A1/2))2 * (норма(B1/2))2 = trA*trB


> > > > > > > > > Подскажите пожалуйста, где можно найти доказательство следующей теоремы:

> > > > > > > > > Если матрица А>0, B≥0, то существует неособая матрица P ( |P|≠0)такая что выполняется следующее:
> > > > > > > > > PT*A*P=E,
> > > > > > > > > PT*B*P=diag{λ1,...,λn},
> > > > > > > > > где λii*(A-1*B)

> > > > > > > > >
> > > > > > > > > И ещё, подскажите, какие условия можно наложить, чтобы выполнялось следующее:
> > > > > > > > > A>0,B≥0 следовательно A≥B

> > > > > > > > > (ну то есть когда это будет так?)
> > > > > > > > > Заранее благодарю...

> > > > > > > > Очень нужно....Неужели никто не знает?? :(

> > > > > > > Давайте докажем сами.
> > > > > > > 1. Собственные числа А-1В совпадают с собственными числами А-1/2ВА-1/2.
> > > > > > > Действительно, пусть λ - собственное число и v - собственный вектор, т.е.
> > > > > > > А-1Вv = λv
> > > > > > > Положим u = А1/2v. Тогда, А-1/2ВА-1/2u = λu.
> > > > > > > 2. Оператор А-1/2ВА-1/2 симметричен. Существует ортогональный оператор Q такой, что
> > > > > > > QTА-1/2ВА-1/2Q=diag{λ1,...,λn}
> > > > > > > 3. Оператор P = А-1/2Q удовлетворяет условиям задачи.

> > > > > > >

> > > > > > Спасибо большое Вам...Только я пока не сильно всё это поняла..постораюсь разобраться нормально...
> > > > > > А вы не знаете, что это всё таки за теорема?? Нигде не могу её найти!!

> > > > > > А вот то, что я ещё второе спросила...
> > > > > > какие условия можно наложить, чтобы выполнялось следующее:
> > > > > > > > > A>0,B≥0 следовательно A≥B

> > > > >
> > > > > Подскажите, Когда выполняется следующее:
> > > > > >Если матрица A>0,B≥0 следовательно A≥B

> > > > По первому вопросу.К сожалению, я не знаю этой теоремы. Посмотрите книгу: Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. Её можно скачать с сайта
> > > > http://www.poiskknig.ru
> > > > набрав фамилию Гантмахер Ф.Р.
> > > > По второму вопросу:
> > > > Неравенство A≥B означает выполнение неравенства (Ах,х)≥(Вх,х) для всех х.
> > > > Положим х = А-1/2y. Тогда последнее неравенство можно переписать в виде
> > > > (А-1/2ВА-1/2y,y)≤(y,y) для вех y.
> > > > Это эквивалентно тому, что собственные числа матрицы А-1В не превосходят единицы.

> >
> > > Спасибо вам за сайт, я уже тоже подумывала об этой книге!!!
> > > И спасибо за второй мой вопрос!!!

> > > И ещё, я думаю, вам будет интересно!!!
> > > Как то давно я спрашивала, как можно доказать следующее неравенство
> > > tr(A)*tr(A-1)≥n2
> > > Так вот, его можно доказать не только через собственные числа, а ещё и так:

> > > tr(A)*tr(A-1) = (норма (А1/2))2*(норма (А-1/2))2 ≥ (норма (А1/2)* (А-1/2))2 = n2

> > > (Не знаю просто как норму написать знаком )

> > Не понял, почему норма (А1/2)2= tr(A). Норма неотрицательного оператора равна наибольшему собственному числу, а след =сумме собственных чисел!?

>
> Ну не знаю..:)) Вот так.... tr(A*AT)= норма (A)2
> Я с помощью этого свойства многое доказала!!!
> Например, что tr(A*B)= tr(A1/2*A1/2*B1/2*B1/2)= tr(A1/2*B1/2)*(A1/2*B1/2)T = норма (A1/2*B1/2)2≤(норма(A1/2))2 * (норма(B1/2))2 = trA*trB

Возможно, под нормой Вы понимаете след?


> > > > > > > > > > Подскажите пожалуйста, где можно найти доказательство следующей теоремы:

> > > > > > > > > > Если матрица А>0, B≥0, то существует неособая матрица P ( |P|≠0)такая что выполняется следующее:
> > > > > > > > > > PT*A*P=E,
> > > > > > > > > > PT*B*P=diag{λ1,...,λn},
> > > > > > > > > > где λii*(A-1*B)

> > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > И ещё, подскажите, какие условия можно наложить, чтобы выполнялось следующее:
> > > > > > > > > > A>0,B≥0 следовательно A≥B

> > > > > > > > > > (ну то есть когда это будет так?)
> > > > > > > > > > Заранее благодарю...

> > > > > > > > > Очень нужно....Неужели никто не знает?? :(

> > > > > > > > Давайте докажем сами.
> > > > > > > > 1. Собственные числа А-1В совпадают с собственными числами А-1/2ВА-1/2.
> > > > > > > > Действительно, пусть λ - собственное число и v - собственный вектор, т.е.
> > > > > > > > А-1Вv = λv
> > > > > > > > Положим u = А1/2v. Тогда, А-1/2ВА-1/2u = λu.
> > > > > > > > 2. Оператор А-1/2ВА-1/2 симметричен. Существует ортогональный оператор Q такой, что
> > > > > > > > QTА-1/2ВА-1/2Q=diag{λ1,...,λn}
> > > > > > > > 3. Оператор P = А-1/2Q удовлетворяет условиям задачи.

> > > > > > > >

> > > > > > > Спасибо большое Вам...Только я пока не сильно всё это поняла..постораюсь разобраться нормально...
> > > > > > > А вы не знаете, что это всё таки за теорема?? Нигде не могу её найти!!

> > > > > > > А вот то, что я ещё второе спросила...
> > > > > > > какие условия можно наложить, чтобы выполнялось следующее:
> > > > > > > > > > A>0,B≥0 следовательно A≥B

> > > > > >
> > > > > > Подскажите, Когда выполняется следующее:
> > > > > > >Если матрица A>0,B≥0 следовательно A≥B

> > > > > По первому вопросу.К сожалению, я не знаю этой теоремы. Посмотрите книгу: Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. Её можно скачать с сайта
> > > > > http://www.poiskknig.ru
> > > > > набрав фамилию Гантмахер Ф.Р.
> > > > > По второму вопросу:
> > > > > Неравенство A≥B означает выполнение неравенства (Ах,х)≥(Вх,х) для всех х.
> > > > > Положим х = А-1/2y. Тогда последнее неравенство можно переписать в виде
> > > > > (А-1/2ВА-1/2y,y)≤(y,y) для вех y.
> > > > > Это эквивалентно тому, что собственные числа матрицы А-1В не превосходят единицы.

> > >
> > > > Спасибо вам за сайт, я уже тоже подумывала об этой книге!!!
> > > > И спасибо за второй мой вопрос!!!

> > > > И ещё, я думаю, вам будет интересно!!!
> > > > Как то давно я спрашивала, как можно доказать следующее неравенство
> > > > tr(A)*tr(A-1)≥n2
> > > > Так вот, его можно доказать не только через собственные числа, а ещё и так:

> > > > tr(A)*tr(A-1) = (норма (А1/2))2*(норма (А-1/2))2 ≥ (норма (А1/2)* (А-1/2))2 = n2

> > > > (Не знаю просто как норму написать знаком )

> > > Не понял, почему норма (А1/2)2= tr(A). Норма неотрицательного оператора равна наибольшему собственному числу, а след =сумме собственных чисел!?

> >
> > Ну не знаю..:)) Вот так.... tr(A*AT)= норма (A)2
> > Я с помощью этого свойства многое доказала!!!
> > Например, что tr(A*B)= tr(A1/2*A1/2*B1/2*B1/2)= tr(A1/2*B1/2)*(A1/2*B1/2)T = норма (A1/2*B1/2)2≤(норма(A1/2))2 * (норма(B1/2))2 = trA*trB

> Возможно, под нормой Вы понимаете след?

Ну да, можно сказать и так :)


> > > > > > > > > > > Подскажите пожалуйста, где можно найти доказательство следующей теоремы:

> > > > > > > > > > > Если матрица А>0, B≥0, то существует неособая матрица P ( |P|≠0)такая что выполняется следующее:
> > > > > > > > > > > PT*A*P=E,
> > > > > > > > > > > PT*B*P=diag{λ1,...,λn},
> > > > > > > > > > > где λii*(A-1*B)

> > > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > > И ещё, подскажите, какие условия можно наложить, чтобы выполнялось следующее:
> > > > > > > > > > > A>0,B≥0 следовательно A≥B

> > > > > > > > > > > (ну то есть когда это будет так?)
> > > > > > > > > > > Заранее благодарю...

> > > > > > > > > > Очень нужно....Неужели никто не знает?? :(

> > > > > > > > > Давайте докажем сами.
> > > > > > > > > 1. Собственные числа А-1В совпадают с собственными числами А-1/2ВА-1/2.
> > > > > > > > > Действительно, пусть λ - собственное число и v - собственный вектор, т.е.
> > > > > > > > > А-1Вv = λv
> > > > > > > > > Положим u = А1/2v. Тогда, А-1/2ВА-1/2u = λu.
> > > > > > > > > 2. Оператор А-1/2ВА-1/2 симметричен. Существует ортогональный оператор Q такой, что
> > > > > > > > > QTА-1/2ВА-1/2Q=diag{λ1,...,λn}
> > > > > > > > > 3. Оператор P = А-1/2Q удовлетворяет условиям задачи.

> > > > > > > > >

> > > > > > > > Спасибо большое Вам...Только я пока не сильно всё это поняла..постораюсь разобраться нормально...
> > > > > > > > А вы не знаете, что это всё таки за теорема?? Нигде не могу её найти!!

> > > > > > > > А вот то, что я ещё второе спросила...
> > > > > > > > какие условия можно наложить, чтобы выполнялось следующее:
> > > > > > > > > > > A>0,B≥0 следовательно A≥B

> > > > > > >
> > > > > > > Подскажите, Когда выполняется следующее:
> > > > > > > >Если матрица A>0,B≥0 следовательно A≥B

> > > > > > По первому вопросу.К сожалению, я не знаю этой теоремы. Посмотрите книгу: Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. Её можно скачать с сайта
> > > > > > http://www.poiskknig.ru
> > > > > > набрав фамилию Гантмахер Ф.Р.
> > > > > > По второму вопросу:
> > > > > > Неравенство A≥B означает выполнение неравенства (Ах,х)≥(Вх,х) для всех х.
> > > > > > Положим х = А-1/2y. Тогда последнее неравенство можно переписать в виде
> > > > > > (А-1/2ВА-1/2y,y)≤(y,y) для вех y.
> > > > > > Это эквивалентно тому, что собственные числа матрицы А-1В не превосходят единицы.

> > > >
> > > > > Спасибо вам за сайт, я уже тоже подумывала об этой книге!!!
> > > > > И спасибо за второй мой вопрос!!!

> > > > > И ещё, я думаю, вам будет интересно!!!
> > > > > Как то давно я спрашивала, как можно доказать следующее неравенство
> > > > > tr(A)*tr(A-1)≥n2
> > > > > Так вот, его можно доказать не только через собственные числа, а ещё и так:

> > > > > tr(A)*tr(A-1) = (норма (А1/2))2*(норма (А-1/2))2 ≥ (норма (А1/2)* (А-1/2))2 = n2

> > > > > (Не знаю просто как норму написать знаком )

> > > > Не понял, почему норма (А1/2)2= tr(A). Норма неотрицательного оператора равна наибольшему собственному числу, а след =сумме собственных чисел!?

> > >
> > > Ну не знаю..:)) Вот так.... tr(A*AT)= норма (A)2
> > > Я с помощью этого свойства многое доказала!!!
> > > Например, что tr(A*B)= tr(A1/2*A1/2*B1/2*B1/2)= tr(A1/2*B1/2)*(A1/2*B1/2)T = норма (A1/2*B1/2)2≤(норма(A1/2))2 * (норма(B1/2))2 = trA*trB

> > Возможно, под нормой Вы понимаете след?

> Ну да, можно сказать и так :)


Здравствуйте, Leon.
Спустя какое-то время стала разбираться с тем, что вы мне писали по поводу матриц моих...

Если матрица А>0, B≥0, то существует неособая матрица P ( |P|≠0)такая что выполняется следующее:
1) PТ*A*P=E,
2) PТ*B*P=diag{λ1,...,λn}, где λi=λi*(A-1*B)

Я так понимаю, что вы мне доказали второе....
И вот мне немного не понятно, что за такой ортогональный оператор Q ...

И вот на счёт первого... 1) PТ*A*P=E, Всё таки при том же P== А-1/2Q удовлетворяет???
Так всё таки как проверить, что если умножить транспонированную матрицу P на матрицу A и ещё на матрицу P то мы получим единичную??
То есть если P== А-1/2Q , то чему тогда равно P транспонированное??

Ой, извините, завалила прям мыслями... ну просто не пойму


> > > > > > > > > > > > Подскажите пожалуйста, где можно найти доказательство следующей теоремы:

> > > > > > > > > > > > Если матрица А>0, B≥0, то существует неособая матрица P ( |P|≠0)такая что выполняется следующее:
> > > > > > > > > > > > PT*A*P=E,
> > > > > > > > > > > > PT*B*P=diag{λ1,...,λn},
> > > > > > > > > > > > где λii*(A-1*B)

> > > > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > > > И ещё, подскажите, какие условия можно наложить, чтобы выполнялось следующее:
> > > > > > > > > > > > A>0,B≥0 следовательно A≥B

> > > > > > > > > > > > (ну то есть когда это будет так?)
> > > > > > > > > > > > Заранее благодарю...
Матрица ортогональна, если (Qu,Qv) = (u,v) - сохраняется скалярное произведение или, что ээквивалентно, сохраняется норма (Qu,Qu) = (u,u). Отсюды следет, что Q
> > > > > > > > > > > Очень нужно....Неужели никто не знает?? :(

> > > > > > > > > > Давайте докажем сами.
> > > > > > > > > > 1. Собственные числа А-1В совпадают с собственными числами А-1/2ВА-1/2.
> > > > > > > > > > Действительно, пусть λ - собственное число и v - собственный вектор, т.е.
> > > > > > > > > > А-1Вv = λv
> > > > > > > > > > Положим u = А1/2v. Тогда, А-1/2ВА-1/2u = λu.
> > > > > > > > > > 2. Оператор А-1/2ВА-1/2 симметричен. Существует ортогональный оператор Q такой, что
> > > > > > > > > > QTА-1/2ВА-1/2Q=diag{λ1,...,λn}
> > > > > > > > > > 3. Оператор P = А-1/2Q удовлетворяет условиям задачи.

> > > > > > > > > >

> > > > > > > > > Спасибо большое Вам...Только я пока не сильно всё это поняла..постораюсь разобраться нормально...
> > > > > > > > > А вы не знаете, что это всё таки за теорема?? Нигде не могу её найти!!

> > > > > > > > > А вот то, что я ещё второе спросила...
> > > > > > > > > какие условия можно наложить, чтобы выполнялось следующее:
> > > > > > > > > > > > A>0,B≥0 следовательно A≥B

> > > > > > > >
> > > > > > > > Подскажите, Когда выполняется следующее:
> > > > > > > > >Если матрица A>0,B≥0 следовательно A≥B

> > > > > > > По первому вопросу.К сожалению, я не знаю этой теоремы. Посмотрите книгу: Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. Её можно скачать с сайта
> > > > > > > http://www.poiskknig.ru
> > > > > > > набрав фамилию Гантмахер Ф.Р.
> > > > > > > По второму вопросу:
> > > > > > > Неравенство A≥B означает выполнение неравенства (Ах,х)≥(Вх,х) для всех х.
> > > > > > > Положим х = А-1/2y. Тогда последнее неравенство можно переписать в виде
> > > > > > > (А-1/2ВА-1/2y,y)≤(y,y) для вех y.
> > > > > > > Это эквивалентно тому, что собственные числа матрицы А-1В не превосходят единицы.

> > > > >
> > > > > > Спасибо вам за сайт, я уже тоже подумывала об этой книге!!!
> > > > > > И спасибо за второй мой вопрос!!!

> > > > > > И ещё, я думаю, вам будет интересно!!!
> > > > > > Как то давно я спрашивала, как можно доказать следующее неравенство
> > > > > > tr(A)*tr(A-1)≥n2
> > > > > > Так вот, его можно доказать не только через собственные числа, а ещё и так:

> > > > > > tr(A)*tr(A-1) = (норма (А1/2))2*(норма (А-1/2))2 ≥ (норма (А1/2)* (А-1/2))2 = n2

> > > > > > (Не знаю просто как норму написать знаком )

> > > > > Не понял, почему норма (А1/2)2= tr(A). Норма неотрицательного оператора равна наибольшему собственному числу, а след =сумме собственных чисел!?

> > > >
> > > > Ну не знаю..:)) Вот так.... tr(A*AT)= норма (A)2
> > > > Я с помощью этого свойства многое доказала!!!
> > > > Например, что tr(A*B)= tr(A1/2*A1/2*B1/2*B1/2)= tr(A1/2*B1/2)*(A1/2*B1/2)T = норма (A1/2*B1/2)2≤(норма(A1/2))2 * (норма(B1/2))2 = trA*trB

> > > Возможно, под нормой Вы понимаете след?

> > Ну да, можно сказать и так :)

>
> Здравствуйте, Leon.
> Спустя какое-то время стала разбираться с тем, что вы мне писали по поводу матриц моих...

> Если матрица А>0, B≥0, то существует неособая матрица P ( |P|≠0)такая что выполняется следующее:
> 1) PТ*A*P=E,
> 2) PТ*B*P=diag{λ1,...,λn}, где λi=λi*(A-1*B)

> Я так понимаю, что вы мне доказали второе....
> И вот мне немного не понятно, что за такой ортогональный оператор Q ...

> И вот на счёт первого... 1) PТ*A*P=E, Всё таки при том же P== А-1/2Q удовлетворяет???
> Так всё таки как проверить, что если умножить транспонированную матрицу P на матрицу A и ещё на матрицу P то мы получим единичную??
> То есть если P== А-1/2Q , то чему тогда равно P транспонированное??

> Ой, извините, завалила прям мыслями... ну просто не пойму

Я Вам доказал требуемое утверждение.
Ортогональная матрица - это матрица, которая сохраняет норму (Qu,Qu)=(u,u) или скалярное произведение (Qu,Qv)=(u,v). Отсюда следует QTQ = E или QT = Q-1
И вот на счёт первого... 1) PТ*A*P= QT-1/2*A*А-1/2*Q =QT*Q =E
Здесь РT = QT-1/2


> > > > > > > > > > > > > Подскажите пожалуйста, где можно найти доказательство следующей теоремы:

> > > > > > > > > > > > > Если матрица А>0, B≥0, то существует неособая матрица P ( |P|≠0)такая что выполняется следующее:
> > > > > > > > > > > > > PT*A*P=E,
> > > > > > > > > > > > > PT*B*P=diag{λ1,...,λn},
> > > > > > > > > > > > > где λii*(A-1*B)

> > > > > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > > > > И ещё, подскажите, какие условия можно наложить, чтобы выполнялось следующее:
> > > > > > > > > > > > > A>0,B≥0 следовательно A≥B

> > > > > > > > > > > > > (ну то есть когда это будет так?)
> > > > > > > > > > > > > Заранее благодарю...
> Матрица ортогональна, если (Qu,Qv) = (u,v) - сохраняется скалярное произведение или, что ээквивалентно, сохраняется норма (Qu,Qu) = (u,u). Отсюды следет, что Q
> > > > > > > > > > > > Очень нужно....Неужели никто не знает?? :(

> > > > > > > > > > > Давайте докажем сами.
> > > > > > > > > > > 1. Собственные числа А-1В совпадают с собственными числами А-1/2ВА-1/2.
> > > > > > > > > > > Действительно, пусть λ - собственное число и v - собственный вектор, т.е.
> > > > > > > > > > > А-1Вv = λv
> > > > > > > > > > > Положим u = А1/2v. Тогда, А-1/2ВА-1/2u = λu.
> > > > > > > > > > > 2. Оператор А-1/2ВА-1/2 симметричен. Существует ортогональный оператор Q такой, что
> > > > > > > > > > > QTА-1/2ВА-1/2Q=diag{λ1,...,λn}
> > > > > > > > > > > 3. Оператор P = А-1/2Q удовлетворяет условиям задачи.

> > > > > > > > > > >

> > > > > > > > > > Спасибо большое Вам...Только я пока не сильно всё это поняла..постораюсь разобраться нормально...
> > > > > > > > > > А вы не знаете, что это всё таки за теорема?? Нигде не могу её найти!!

> > > > > > > > > > А вот то, что я ещё второе спросила...
> > > > > > > > > > какие условия можно наложить, чтобы выполнялось следующее:
> > > > > > > > > > > > > A>0,B≥0 следовательно A≥B

> > > > > > > > >
> > > > > > > > > Подскажите, Когда выполняется следующее:
> > > > > > > > > >Если матрица A>0,B≥0 следовательно A≥B

> > > > > > > > По первому вопросу.К сожалению, я не знаю этой теоремы. Посмотрите книгу: Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. Её можно скачать с сайта
> > > > > > > > http://www.poiskknig.ru
> > > > > > > > набрав фамилию Гантмахер Ф.Р.
> > > > > > > > По второму вопросу:
> > > > > > > > Неравенство A≥B означает выполнение неравенства (Ах,х)≥(Вх,х) для всех х.
> > > > > > > > Положим х = А-1/2y. Тогда последнее неравенство можно переписать в виде
> > > > > > > > (А-1/2ВА-1/2y,y)≤(y,y) для вех y.
> > > > > > > > Это эквивалентно тому, что собственные числа матрицы А-1В не превосходят единицы.

> > > > > >
> > > > > > > Спасибо вам за сайт, я уже тоже подумывала об этой книге!!!
> > > > > > > И спасибо за второй мой вопрос!!!

> > > > > > > И ещё, я думаю, вам будет интересно!!!
> > > > > > > Как то давно я спрашивала, как можно доказать следующее неравенство
> > > > > > > tr(A)*tr(A-1)≥n2
> > > > > > > Так вот, его можно доказать не только через собственные числа, а ещё и так:

> > > > > > > tr(A)*tr(A-1) = (норма (А1/2))2*(норма (А-1/2))2 ≥ (норма (А1/2)* (А-1/2))2 = n2

> > > > > > > (Не знаю просто как норму написать знаком )

> > > > > > Не понял, почему норма (А1/2)2= tr(A). Норма неотрицательного оператора равна наибольшему собственному числу, а след =сумме собственных чисел!?

> > > > >
> > > > > Ну не знаю..:)) Вот так.... tr(A*AT)= норма (A)2
> > > > > Я с помощью этого свойства многое доказала!!!
> > > > > Например, что tr(A*B)= tr(A1/2*A1/2*B1/2*B1/2)= tr(A1/2*B1/2)*(A1/2*B1/2)T = норма (A1/2*B1/2)2≤(норма(A1/2))2 * (норма(B1/2))2 = trA*trB

> > > > Возможно, под нормой Вы понимаете след?

> > > Ну да, можно сказать и так :)

> >
> > Здравствуйте, Leon.
> > Спустя какое-то время стала разбираться с тем, что вы мне писали по поводу матриц моих...

> > Если матрица А>0, B≥0, то существует неособая матрица P ( |P|≠0)такая что выполняется следующее:
> > 1) PТ*A*P=E,
> > 2) PТ*B*P=diag{λ1,...,λn}, где λi=λi*(A-1*B)

> > Я так понимаю, что вы мне доказали второе....
> > И вот мне немного не понятно, что за такой ортогональный оператор Q ...

> > И вот на счёт первого... 1) PТ*A*P=E, Всё таки при том же P== А-1/2Q удовлетворяет???
> > Так всё таки как проверить, что если умножить транспонированную матрицу P на матрицу A и ещё на матрицу P то мы получим единичную??
> > То есть если P== А-1/2Q , то чему тогда равно P транспонированное??

> > Ой, извините, завалила прям мыслями... ну просто не пойму

> Я Вам доказал требуемое утверждение.
> Ортогональная матрица - это матрица, которая сохраняет норму (Qu,Qu)=(u,u) или скалярное произведение (Qu,Qv)=(u,v). Отсюда следует QTQ = E или QT = Q-1
> И вот на счёт первого... 1) PТ*A*P= QT-1/2*A*А-1/2*Q =QT*Q =E
> Здесь РT = QT-1/2

Вот, теперь я разобралась!!!
Спасибо.
Но теперь у меня есть вопрос по другому. Вот вы мне писали, что

"Неравенство A≥B означает выполнение неравенства (Ах,х)≥(Вх,х) для всех х.
Положим х = А-1/2*y. Тогда последнее неравенство можно переписать в виде
-1/2*В*А-1/2*y,y)≤(y,y) для вех y.
Это эквивалентно тому, что собственные числа матрицы А-1*В не превосходят единицы"

Вот я не могу понять, как получатеся, что если мы берём за х=А-1/2*y и подставляем в следующее (Ах,х)≥(Вх,х), то как получается (А-1/2*В*А-1/2*y,y)≤(y,y) для вех y.
????


> > > > > > > > > > > > > > Подскажите пожалуйста, где можно найти доказательство следующей теоремы:

> > > > > > > > > > > > > > Если матрица А>0, B≥0, то существует неособая матрица P ( |P|≠0)такая что выполняется следующее:
> > > > > > > > > > > > > > PT*A*P=E,
> > > > > > > > > > > > > > PT*B*P=diag{λ1,...,λn},
> > > > > > > > > > > > > > где λii*(A-1*B)

> > > > > > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > > > > > И ещё, подскажите, какие условия можно наложить, чтобы выполнялось следующее:
> > > > > > > > > > > > > > A>0,B≥0 следовательно A≥B

> > > > > > > > > > > > > > (ну то есть когда это будет так?)
> > > > > > > > > > > > > > Заранее благодарю...
> > Матрица ортогональна, если (Qu,Qv) = (u,v) - сохраняется скалярное произведение или, что ээквивалентно, сохраняется норма (Qu,Qu) = (u,u). Отсюды следет, что Q
> > > > > > > > > > > > > Очень нужно....Неужели никто не знает?? :(

> > > > > > > > > > > > Давайте докажем сами.
> > > > > > > > > > > > 1. Собственные числа А-1В совпадают с собственными числами А-1/2ВА-1/2.
> > > > > > > > > > > > Действительно, пусть λ - собственное число и v - собственный вектор, т.е.
> > > > > > > > > > > > А-1Вv = λv
> > > > > > > > > > > > Положим u = А1/2v. Тогда, А-1/2ВА-1/2u = λu.
> > > > > > > > > > > > 2. Оператор А-1/2ВА-1/2 симметричен. Существует ортогональный оператор Q такой, что
> > > > > > > > > > > > QTА-1/2ВА-1/2Q=diag{λ1,...,λn}
> > > > > > > > > > > > 3. Оператор P = А-1/2Q удовлетворяет условиям задачи.

> > > > > > > > > > > >

> > > > > > > > > > > Спасибо большое Вам...Только я пока не сильно всё это поняла..постораюсь разобраться нормально...
> > > > > > > > > > > А вы не знаете, что это всё таки за теорема?? Нигде не могу её найти!!

> > > > > > > > > > > А вот то, что я ещё второе спросила...
> > > > > > > > > > > какие условия можно наложить, чтобы выполнялось следующее:
> > > > > > > > > > > > > > A>0,B≥0 следовательно A≥B

> > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > Подскажите, Когда выполняется следующее:
> > > > > > > > > > >Если матрица A>0,B≥0 следовательно A≥B

> > > > > > > > > По первому вопросу.К сожалению, я не знаю этой теоремы. Посмотрите книгу: Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. Её можно скачать с сайта
> > > > > > > > > http://www.poiskknig.ru
> > > > > > > > > набрав фамилию Гантмахер Ф.Р.
> > > > > > > > > По второму вопросу:
> > > > > > > > > Неравенство A≥B означает выполнение неравенства (Ах,х)≥(Вх,х) для всех х.
> > > > > > > > > Положим х = А-1/2y. Тогда последнее неравенство можно переписать в виде
> > > > > > > > > (А-1/2ВА-1/2y,y)≤(y,y) для вех y.
> > > > > > > > > Это эквивалентно тому, что собственные числа матрицы А-1В не превосходят единицы.

> > > > > > >
> > > > > > > > Спасибо вам за сайт, я уже тоже подумывала об этой книге!!!
> > > > > > > > И спасибо за второй мой вопрос!!!

> > > > > > > > И ещё, я думаю, вам будет интересно!!!
> > > > > > > > Как то давно я спрашивала, как можно доказать следующее неравенство
> > > > > > > > tr(A)*tr(A-1)≥n2
> > > > > > > > Так вот, его можно доказать не только через собственные числа, а ещё и так:

> > > > > > > > tr(A)*tr(A-1) = (норма (А1/2))2*(норма (А-1/2))2 ≥ (норма (А1/2)* (А-1/2))2 = n2

> > > > > > > > (Не знаю просто как норму написать знаком )

> > > > > > > Не понял, почему норма (А1/2)2= tr(A). Норма неотрицательного оператора равна наибольшему собственному числу, а след =сумме собственных чисел!?

> > > > > >
> > > > > > Ну не знаю..:)) Вот так.... tr(A*AT)= норма (A)2
> > > > > > Я с помощью этого свойства многое доказала!!!
> > > > > > Например, что tr(A*B)= tr(A1/2*A1/2*B1/2*B1/2)= tr(A1/2*B1/2)*(A1/2*B1/2)T = норма (A1/2*B1/2)2≤(норма(A1/2))2 * (норма(B1/2))2 = trA*trB

> > > > > Возможно, под нормой Вы понимаете след?

> > > > Ну да, можно сказать и так :)

> > >
> > > Здравствуйте, Leon.
> > > Спустя какое-то время стала разбираться с тем, что вы мне писали по поводу матриц моих...

> > > Если матрица А>0, B≥0, то существует неособая матрица P ( |P|≠0)такая что выполняется следующее:
> > > 1) PТ*A*P=E,
> > > 2) PТ*B*P=diag{λ1,...,λn}, где λi=λi*(A-1*B)

> > > Я так понимаю, что вы мне доказали второе....
> > > И вот мне немного не понятно, что за такой ортогональный оператор Q ...

> > > И вот на счёт первого... 1) PТ*A*P=E, Всё таки при том же P== А-1/2Q удовлетворяет???
> > > Так всё таки как проверить, что если умножить транспонированную матрицу P на матрицу A и ещё на матрицу P то мы получим единичную??
> > > То есть если P== А-1/2Q , то чему тогда равно P транспонированное??

> > > Ой, извините, завалила прям мыслями... ну просто не пойму

> > Я Вам доказал требуемое утверждение.
> > Ортогональная матрица - это матрица, которая сохраняет норму (Qu,Qu)=(u,u) или скалярное произведение (Qu,Qv)=(u,v). Отсюда следует QTQ = E или QT = Q-1
> > И вот на счёт первого... 1) PТ*A*P= QT-1/2*A*А-1/2*Q =QT*Q =E
> > Здесь РT = QT-1/2

> Вот, теперь я разобралась!!!
> Спасибо.
> Но теперь у меня есть вопрос по другому. Вот вы мне писали, что

> "Неравенство A≥B означает выполнение неравенства (Ах,х)≥(Вх,х) для всех х.
> Положим х = А-1/2*y. Тогда последнее неравенство можно переписать в виде
> -1/2*В*А-1/2*y,y)≤(y,y) для вех y.
> Это эквивалентно тому, что собственные числа матрицы А-1*В не превосходят единицы"

> Вот я не могу понять, как получатеся, что если мы берём за х=А-1/2*y и подставляем в следующее (Ах,х)≥(Вх,х), то как получается (А-1/2*В*А-1/2*y,y)≤(y,y) для вех y.
> ????
Подставим
(Ах,х) = (AА-1/2*y, А-1/2*y) = (А-1/2*A*А-1/2*y,y) = (y,y)
(Bx,x) = (B*А-1/2*y,А-1/2*y) = (А-1/2*B*А-1/2*y,y)
Теперь сравните!
Далее, собственные числа матрицы А-1*В не превосходят единицы эквивалентно тому, что норма оператора А-1*В не превосходит единицы (это проще).


> > > > > > > > > > > > > > > Подскажите пожалуйста, где можно найти доказательство следующей теоремы:

> > > > > > > > > > > > > > > Если матрица А>0, B≥0, то существует неособая матрица P ( |P|≠0)такая что выполняется следующее:
> > > > > > > > > > > > > > > PT*A*P=E,
> > > > > > > > > > > > > > > PT*B*P=diag{λ1,...,λn},
> > > > > > > > > > > > > > > где λii*(A-1*B)

> > > > > > > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > > > > > > И ещё, подскажите, какие условия можно наложить, чтобы выполнялось следующее:
> > > > > > > > > > > > > > > A>0,B≥0 следовательно A≥B

> > > > > > > > > > > > > > > (ну то есть когда это будет так?)
> > > > > > > > > > > > > > > Заранее благодарю...
> > > Матрица ортогональна, если (Qu,Qv) = (u,v) - сохраняется скалярное произведение или, что ээквивалентно, сохраняется норма (Qu,Qu) = (u,u). Отсюды следет, что Q
> > > > > > > > > > > > > > Очень нужно....Неужели никто не знает?? :(

> > > > > > > > > > > > > Давайте докажем сами.
> > > > > > > > > > > > > 1. Собственные числа А-1В совпадают с собственными числами А-1/2ВА-1/2.
> > > > > > > > > > > > > Действительно, пусть λ - собственное число и v - собственный вектор, т.е.
> > > > > > > > > > > > > А-1Вv = λv
> > > > > > > > > > > > > Положим u = А1/2v. Тогда, А-1/2ВА-1/2u = λu.
> > > > > > > > > > > > > 2. Оператор А-1/2ВА-1/2 симметричен. Существует ортогональный оператор Q такой, что
> > > > > > > > > > > > > QTА-1/2ВА-1/2Q=diag{λ1,...,λn}
> > > > > > > > > > > > > 3. Оператор P = А-1/2Q удовлетворяет условиям задачи.

> > > > > > > > > > > > >

> > > > > > > > > > > > Спасибо большое Вам...Только я пока не сильно всё это поняла..постораюсь разобраться нормально...
> > > > > > > > > > > > А вы не знаете, что это всё таки за теорема?? Нигде не могу её найти!!

> > > > > > > > > > > > А вот то, что я ещё второе спросила...
> > > > > > > > > > > > какие условия можно наложить, чтобы выполнялось следующее:
> > > > > > > > > > > > > > > A>0,B≥0 следовательно A≥B

> > > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > > Подскажите, Когда выполняется следующее:
> > > > > > > > > > > >Если матрица A>0,B≥0 следовательно A≥B

> > > > > > > > > > По первому вопросу.К сожалению, я не знаю этой теоремы. Посмотрите книгу: Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. Её можно скачать с сайта
> > > > > > > > > > http://www.poiskknig.ru
> > > > > > > > > > набрав фамилию Гантмахер Ф.Р.
> > > > > > > > > > По второму вопросу:
> > > > > > > > > > Неравенство A≥B означает выполнение неравенства (Ах,х)≥(Вх,х) для всех х.
> > > > > > > > > > Положим х = А-1/2y. Тогда последнее неравенство можно переписать в виде
> > > > > > > > > > (А-1/2ВА-1/2y,y)≤(y,y) для вех y.
> > > > > > > > > > Это эквивалентно тому, что собственные числа матрицы А-1В не превосходят единицы.

> > > > > > > >
> > > > > > > > > Спасибо вам за сайт, я уже тоже подумывала об этой книге!!!
> > > > > > > > > И спасибо за второй мой вопрос!!!

> > > > > > > > > И ещё, я думаю, вам будет интересно!!!
> > > > > > > > > Как то давно я спрашивала, как можно доказать следующее неравенство
> > > > > > > > > tr(A)*tr(A-1)≥n2
> > > > > > > > > Так вот, его можно доказать не только через собственные числа, а ещё и так:

> > > > > > > > > tr(A)*tr(A-1) = (норма (А1/2))2*(норма (А-1/2))2 ≥ (норма (А1/2)* (А-1/2))2 = n2

> > > > > > > > > (Не знаю просто как норму написать знаком )

> > > > > > > > Не понял, почему норма (А1/2)2= tr(A). Норма неотрицательного оператора равна наибольшему собственному числу, а след =сумме собственных чисел!?

> > > > > > >
> > > > > > > Ну не знаю..:)) Вот так.... tr(A*AT)= норма (A)2
> > > > > > > Я с помощью этого свойства многое доказала!!!
> > > > > > > Например, что tr(A*B)= tr(A1/2*A1/2*B1/2*B1/2)= tr(A1/2*B1/2)*(A1/2*B1/2)T = норма (A1/2*B1/2)2≤(норма(A1/2))2 * (норма(B1/2))2 = trA*trB

> > > > > > Возможно, под нормой Вы понимаете след?

> > > > > Ну да, можно сказать и так :)

> > > >
> > > > Здравствуйте, Leon.
> > > > Спустя какое-то время стала разбираться с тем, что вы мне писали по поводу матриц моих...

> > > > Если матрица А>0, B≥0, то существует неособая матрица P ( |P|≠0)такая что выполняется следующее:
> > > > 1) PТ*A*P=E,
> > > > 2) PТ*B*P=diag{λ1,...,λn}, где λi=λi*(A-1*B)

> > > > Я так понимаю, что вы мне доказали второе....
> > > > И вот мне немного не понятно, что за такой ортогональный оператор Q ...

> > > > И вот на счёт первого... 1) PТ*A*P=E, Всё таки при том же P== А-1/2Q удовлетворяет???
> > > > Так всё таки как проверить, что если умножить транспонированную матрицу P на матрицу A и ещё на матрицу P то мы получим единичную??
> > > > То есть если P== А-1/2Q , то чему тогда равно P транспонированное??

> > > > Ой, извините, завалила прям мыслями... ну просто не пойму

> > > Я Вам доказал требуемое утверждение.
> > > Ортогональная матрица - это матрица, которая сохраняет норму (Qu,Qu)=(u,u) или скалярное произведение (Qu,Qv)=(u,v). Отсюда следует QTQ = E или QT = Q-1
> > > И вот на счёт первого... 1) PТ*A*P= QT-1/2*A*А-1/2*Q =QT*Q =E
> > > Здесь РT = QT-1/2

> > Вот, теперь я разобралась!!!
> > Спасибо.
> > Но теперь у меня есть вопрос по другому. Вот вы мне писали, что

> > "Неравенство A≥B означает выполнение неравенства (Ах,х)≥(Вх,х) для всех х.
> > Положим х = А-1/2*y. Тогда последнее неравенство можно переписать в виде
> > (А-1/2*В*А-1/2*y,y)≤(y,y) для вех y.
> > Это эквивалентно тому, что собственные числа матрицы А-1*В не превосходят единицы"

> > Вот я не могу понять, как получатеся, что если мы берём за х=А-1/2*y и подставляем в следующее (Ах,х)≥(Вх,х), то как получается (А-1/2*В*А-1/2*y,y)≤(y,y) для вех y.
> > ????
> Подставим
> (Ах,х) = (AА-1/2*y, А-1/2*y) = (А-1/2*A*А-1/2*y,y) = (y,y)
> (Bx,x) = (B*А-1/2*y,А-1/2*y) = (А-1/2*B*А-1/2*y,y)
> Теперь сравните!
> Далее, собственные числа матрицы А-1*В не превосходят единицы эквивалентно тому, что норма оператора А-1*В не превосходит единицы (это проще).

Всёёёёёё.....понятно....:) Спасибо огромное, Leon!!!! Так помогаете!!!


> > > > > > > > > > > > > > > > Подскажите пожалуйста, где можно найти доказательство следующей теоремы:

> > > > > > > > > > > > > > > > Если матрица А>0, B≥0, то существует неособая матрица P ( |P|≠0)такая что выполняется следующее:
> > > > > > > > > > > > > > > > PT*A*P=E,
> > > > > > > > > > > > > > > > PT*B*P=diag{λ1,...,λn},
> > > > > > > > > > > > > > > > где λii*(A-1*B)

> > > > > > > > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > > > > > > > И ещё, подскажите, какие условия можно наложить, чтобы выполнялось следующее:
> > > > > > > > > > > > > > > > A>0,B≥0 следовательно A≥B

> > > > > > > > > > > > > > > > (ну то есть когда это будет так?)
> > > > > > > > > > > > > > > > Заранее благодарю...
> > > > Матрица ортогональна, если (Qu,Qv) = (u,v) - сохраняется скалярное произведение или, что ээквивалентно, сохраняется норма (Qu,Qu) = (u,u). Отсюды следет, что Q
> > > > > > > > > > > > > > > Очень нужно....Неужели никто не знает?? :(

> > > > > > > > > > > > > > Давайте докажем сами.
> > > > > > > > > > > > > > 1. Собственные числа А-1В совпадают с собственными числами А-1/2ВА-1/2.
> > > > > > > > > > > > > > Действительно, пусть λ - собственное число и v - собственный вектор, т.е.
> > > > > > > > > > > > > > А-1Вv = λv
> > > > > > > > > > > > > > Положим u = А1/2v. Тогда, А-1/2ВА-1/2u = λu.
> > > > > > > > > > > > > > 2. Оператор А-1/2ВА-1/2 симметричен. Существует ортогональный оператор Q такой, что
> > > > > > > > > > > > > > QTА-1/2ВА-1/2Q=diag{λ1,...,λn}
> > > > > > > > > > > > > > 3. Оператор P = А-1/2Q удовлетворяет условиям задачи.

> > > > > > > > > > > > > >

> > > > > > > > > > > > > Спасибо большое Вам...Только я пока не сильно всё это поняла..постораюсь разобраться нормально...
> > > > > > > > > > > > > А вы не знаете, что это всё таки за теорема?? Нигде не могу её найти!!

> > > > > > > > > > > > > А вот то, что я ещё второе спросила...
> > > > > > > > > > > > > какие условия можно наложить, чтобы выполнялось следующее:
> > > > > > > > > > > > > > > > A>0,B≥0 следовательно A≥B

> > > > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > > > Подскажите, Когда выполняется следующее:
> > > > > > > > > > > > >Если матрица A>0,B≥0 следовательно A≥B

> > > > > > > > > > > По первому вопросу.К сожалению, я не знаю этой теоремы. Посмотрите книгу: Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. Её можно скачать с сайта
> > > > > > > > > > > http://www.poiskknig.ru
> > > > > > > > > > > набрав фамилию Гантмахер Ф.Р.
> > > > > > > > > > > По второму вопросу:
> > > > > > > > > > > Неравенство A≥B означает выполнение неравенства (Ах,х)≥(Вх,х) для всех х.
> > > > > > > > > > > Положим х = А-1/2y. Тогда последнее неравенство можно переписать в виде
> > > > > > > > > > > (А-1/2ВА-1/2y,y)≤(y,y) для вех y.
> > > > > > > > > > > Это эквивалентно тому, что собственные числа матрицы А-1В не превосходят единицы.

> > > > > > > > >
> > > > > > > > > > Спасибо вам за сайт, я уже тоже подумывала об этой книге!!!
> > > > > > > > > > И спасибо за второй мой вопрос!!!

> > > > > > > > > > И ещё, я думаю, вам будет интересно!!!
> > > > > > > > > > Как то давно я спрашивала, как можно доказать следующее неравенство
> > > > > > > > > > tr(A)*tr(A-1)≥n2
> > > > > > > > > > Так вот, его можно доказать не только через собственные числа, а ещё и так:

> > > > > > > > > > tr(A)*tr(A-1) = (норма (А1/2))2*(норма (А-1/2))2 ≥ (норма (А1/2)* (А-1/2))2 = n2

> > > > > > > > > > (Не знаю просто как норму написать знаком )

> > > > > > > > > Не понял, почему норма (А1/2)2= tr(A). Норма неотрицательного оператора равна наибольшему собственному числу, а след =сумме собственных чисел!?

> > > > > > > >
> > > > > > > > Ну не знаю..:)) Вот так.... tr(A*AT)= норма (A)2
> > > > > > > > Я с помощью этого свойства многое доказала!!!
> > > > > > > > Например, что tr(A*B)= tr(A1/2*A1/2*B1/2*B1/2)= tr(A1/2*B1/2)*(A1/2*B1/2)T = норма (A1/2*B1/2)2≤(норма(A1/2))2 * (норма(B1/2))2 = trA*trB

> > > > > > > Возможно, под нормой Вы понимаете след?

> > > > > > Ну да, можно сказать и так :)

> > > > >
> > > > > Здравствуйте, Leon.
> > > > > Спустя какое-то время стала разбираться с тем, что вы мне писали по поводу матриц моих...

> > > > > Если матрица А>0, B≥0, то существует неособая матрица P ( |P|≠0)такая что выполняется следующее:
> > > > > 1) PТ*A*P=E,
> > > > > 2) PТ*B*P=diag{λ1,...,λn}, где λi=λi*(A-1*B)

> > > > > Я так понимаю, что вы мне доказали второе....
> > > > > И вот мне немного не понятно, что за такой ортогональный оператор Q ...

> > > > > И вот на счёт первого... 1) PТ*A*P=E, Всё таки при том же P== А-1/2Q удовлетворяет???
> > > > > Так всё таки как проверить, что если умножить транспонированную матрицу P на матрицу A и ещё на матрицу P то мы получим единичную??
> > > > > То есть если P== А-1/2Q , то чему тогда равно P транспонированное??

> > > > > Ой, извините, завалила прям мыслями... ну просто не пойму

> > > > Я Вам доказал требуемое утверждение.
> > > > Ортогональная матрица - это матрица, которая сохраняет норму (Qu,Qu)=(u,u) или скалярное произведение (Qu,Qv)=(u,v). Отсюда следует QTQ = E или QT = Q-1
> > > > И вот на счёт первого... 1) PТ*A*P= QT-1/2*A*А-1/2*Q =QT*Q =E
> > > > Здесь РT = QT-1/2

> > > Вот, теперь я разобралась!!!
> > > Спасибо.
> > > Но теперь у меня есть вопрос по другому. Вот вы мне писали, что

> > > "Неравенство A≥B означает выполнение неравенства (Ах,х)≥(Вх,х) для всех х.
> > > Положим х = А-1/2*y. Тогда последнее неравенство можно переписать в виде
> > > (А-1/2*В*А-1/2*y,y)≤(y,y) для вех y.
> > > Это эквивалентно тому, что собственные числа матрицы А-1*В не превосходят единицы"

> > > Вот я не могу понять, как получатеся, что если мы берём за х=А-1/2*y и подставляем в следующее (Ах,х)≥(Вх,х), то как получается (А-1/2*В*А-1/2*y,y)≤(y,y) для вех y.
> > > ????
> > Подставим
> > (Ах,х) = (AА-1/2*y, А-1/2*y) = (А-1/2*A*А-1/2*y,y) = (y,y)
> > (Bx,x) = (B*А-1/2*y,А-1/2*y) = (А-1/2*B*А-1/2*y,y)
> > Теперь сравните!
> > Далее, собственные числа матрицы А-1*В не превосходят единицы эквивалентно тому, что норма оператора А-1*В не превосходит единицы (это проще).

> Всёёёёёё.....понятно....:) Спасибо огромное, Leon!!!! Так помогаете!!!

Leon! Знаете, хотела ещё спросить!!!
Вот чтобы сравнивать матрицы, нужно ведь выбрать какой-нибудь критерий. Например сравнивать 2 матрицы поэлементно, или например сравнить сумму диагональных элементов в 2-х матрицах. Ведь так??
И вот например, если даны две матрицы А и В, то :
если tr(A)≥tr(B), то А≥В. Можно ведь это как-то доказать??


> > > > > > > > > > > > > > > > > Подскажите пожалуйста, где можно найти доказательство следующей теоремы:

> > > > > > > > > > > > > > > > > Если матрица А>0, B≥0, то существует неособая матрица P ( |P|≠0)такая что выполняется следующее:
> > > > > > > > > > > > > > > > > PT*A*P=E,
> > > > > > > > > > > > > > > > > PT*B*P=diag{λ1,...,λn},
> > > > > > > > > > > > > > > > > где λii*(A-1*B)

> > > > > > > > > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > > > > > > > > И ещё, подскажите, какие условия можно наложить, чтобы выполнялось следующее:
> > > > > > > > > > > > > > > > > A>0,B≥0 следовательно A≥B

> > > > > > > > > > > > > > > > > (ну то есть когда это будет так?)
> > > > > > > > > > > > > > > > > Заранее благодарю...
> > > > > Матрица ортогональна, если (Qu,Qv) = (u,v) - сохраняется скалярное произведение или, что ээквивалентно, сохраняется норма (Qu,Qu) = (u,u). Отсюды следет, что Q
> > > > > > > > > > > > > > > > Очень нужно....Неужели никто не знает?? :(

> > > > > > > > > > > > > > > Давайте докажем сами.
> > > > > > > > > > > > > > > 1. Собственные числа А-1В совпадают с собственными числами А-1/2ВА-1/2.
> > > > > > > > > > > > > > > Действительно, пусть λ - собственное число и v - собственный вектор, т.е.
> > > > > > > > > > > > > > > А-1Вv = λv
> > > > > > > > > > > > > > > Положим u = А1/2v. Тогда, А-1/2ВА-1/2u = λu.
> > > > > > > > > > > > > > > 2. Оператор А-1/2ВА-1/2 симметричен. Существует ортогональный оператор Q такой, что
> > > > > > > > > > > > > > > QTА-1/2ВА-1/2Q=diag{λ1,...,λn}
> > > > > > > > > > > > > > > 3. Оператор P = А-1/2Q удовлетворяет условиям задачи.

> > > > > > > > > > > > > > >

> > > > > > > > > > > > > > Спасибо большое Вам...Только я пока не сильно всё это поняла..постораюсь разобраться нормально...
> > > > > > > > > > > > > > А вы не знаете, что это всё таки за теорема?? Нигде не могу её найти!!

> > > > > > > > > > > > > > А вот то, что я ещё второе спросила...
> > > > > > > > > > > > > > какие условия можно наложить, чтобы выполнялось следующее:
> > > > > > > > > > > > > > > > > A>0,B≥0 следовательно A≥B

> > > > > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > > > > Подскажите, Когда выполняется следующее:
> > > > > > > > > > > > > >Если матрица A>0,B≥0 следовательно A≥B

> > > > > > > > > > > > По первому вопросу.К сожалению, я не знаю этой теоремы. Посмотрите книгу: Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. Её можно скачать с сайта
> > > > > > > > > > > > http://www.poiskknig.ru
> > > > > > > > > > > > набрав фамилию Гантмахер Ф.Р.
> > > > > > > > > > > > По второму вопросу:
> > > > > > > > > > > > Неравенство A≥B означает выполнение неравенства (Ах,х)≥(Вх,х) для всех х.
> > > > > > > > > > > > Положим х = А-1/2y. Тогда последнее неравенство можно переписать в виде
> > > > > > > > > > > > (А-1/2ВА-1/2y,y)≤(y,y) для вех y.
> > > > > > > > > > > > Это эквивалентно тому, что собственные числа матрицы А-1В не превосходят единицы.

> > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > > Спасибо вам за сайт, я уже тоже подумывала об этой книге!!!
> > > > > > > > > > > И спасибо за второй мой вопрос!!!

> > > > > > > > > > > И ещё, я думаю, вам будет интересно!!!
> > > > > > > > > > > Как то давно я спрашивала, как можно доказать следующее неравенство
> > > > > > > > > > > tr(A)*tr(A-1)≥n2
> > > > > > > > > > > Так вот, его можно доказать не только через собственные числа, а ещё и так:

> > > > > > > > > > > tr(A)*tr(A-1) = (норма (А1/2))2*(норма (А-1/2))2 ≥ (норма (А1/2)* (А-1/2))2 = n2

> > > > > > > > > > > (Не знаю просто как норму написать знаком )

> > > > > > > > > > Не понял, почему норма (А1/2)2= tr(A). Норма неотрицательного оператора равна наибольшему собственному числу, а след =сумме собственных чисел!?

> > > > > > > > >
> > > > > > > > > Ну не знаю..:)) Вот так.... tr(A*AT)= норма (A)2
> > > > > > > > > Я с помощью этого свойства многое доказала!!!
> > > > > > > > > Например, что tr(A*B)= tr(A1/2*A1/2*B1/2*B1/2)= tr(A1/2*B1/2)*(A1/2*B1/2)T = норма (A1/2*B1/2)2≤(норма(A1/2))2 * (норма(B1/2))2 = trA*trB

> > > > > > > > Возможно, под нормой Вы понимаете след?

> > > > > > > Ну да, можно сказать и так :)

> > > > > >
> > > > > > Здравствуйте, Leon.
> > > > > > Спустя какое-то время стала разбираться с тем, что вы мне писали по поводу матриц моих...

> > > > > > Если матрица А>0, B≥0, то существует неособая матрица P ( |P|≠0)такая что выполняется следующее:
> > > > > > 1) PТ*A*P=E,
> > > > > > 2) PТ*B*P=diag{λ1,...,λn}, где λi=λi*(A-1*B)

> > > > > > Я так понимаю, что вы мне доказали второе....
> > > > > > И вот мне немного не понятно, что за такой ортогональный оператор Q ...

> > > > > > И вот на счёт первого... 1) PТ*A*P=E, Всё таки при том же P== А-1/2Q удовлетворяет???
> > > > > > Так всё таки как проверить, что если умножить транспонированную матрицу P на матрицу A и ещё на матрицу P то мы получим единичную??
> > > > > > То есть если P== А-1/2Q , то чему тогда равно P транспонированное??

> > > > > > Ой, извините, завалила прям мыслями... ну просто не пойму

> > > > > Я Вам доказал требуемое утверждение.
> > > > > Ортогональная матрица - это матрица, которая сохраняет норму (Qu,Qu)=(u,u) или скалярное произведение (Qu,Qv)=(u,v). Отсюда следует QTQ = E или QT = Q-1
> > > > > И вот на счёт первого... 1) PТ*A*P= QT-1/2*A*А-1/2*Q =QT*Q =E
> > > > > Здесь РT = QT-1/2

> > > > Вот, теперь я разобралась!!!
> > > > Спасибо.
> > > > Но теперь у меня есть вопрос по другому. Вот вы мне писали, что

> > > > "Неравенство A≥B означает выполнение неравенства (Ах,х)≥(Вх,х) для всех х.
> > > > Положим х = А-1/2*y. Тогда последнее неравенство можно переписать в виде
> > > > (А-1/2*В*А-1/2*y,y)≤(y,y) для вех y.
> > > > Это эквивалентно тому, что собственные числа матрицы А-1*В не превосходят единицы"

> > > > Вот я не могу понять, как получатеся, что если мы берём за х=А-1/2*y и подставляем в следующее (Ах,х)≥(Вх,х), то как получается (А-1/2*В*А-1/2*y,y)≤(y,y) для вех y.
> > > > ????
> > > Подставим
> > > (Ах,х) = (AА-1/2*y, А-1/2*y) = (А-1/2*A*А-1/2*y,y) = (y,y)
> > > (Bx,x) = (B*А-1/2*y,А-1/2*y) = (А-1/2*B*А-1/2*y,y)
> > > Теперь сравните!
> > > Далее, собственные числа матрицы А-1*В не превосходят единицы эквивалентно тому, что норма оператора А-1*В не превосходит единицы (это проще).

> > Всёёёёёё.....понятно....:) Спасибо огромное, Leon!!!! Так помогаете!!!

> Leon! Знаете, хотела ещё спросить!!!
> Вот чтобы сравнивать матрицы, нужно ведь выбрать какой-нибудь критерий. Например сравнивать 2 матрицы поэлементно, или например сравнить сумму диагональных элементов в 2-х матрицах. Ведь так??
> И вот например, если даны две матрицы А и В, то :
> если tr(A)≥tr(B), то А≥В. Можно ведь это как-то доказать??

Нет. Это не верно. Легко привести опровергающий пример, построеннный на диагональных матрицах.


> > > > > > > > > > > > > > > > > > Подскажите пожалуйста, где можно найти доказательство следующей теоремы:

> > > > > > > > > > > > > > > > > > Если матрица А>0, B≥0, то существует неособая матрица P ( |P|≠0)такая что выполняется следующее:
> > > > > > > > > > > > > > > > > > PT*A*P=E,
> > > > > > > > > > > > > > > > > > PT*B*P=diag{λ1,...,λn},
> > > > > > > > > > > > > > > > > > где λii*(A-1*B)

> > > > > > > > > > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > > > > > > > > > И ещё, подскажите, какие условия можно наложить, чтобы выполнялось следующее:
> > > > > > > > > > > > > > > > > > A>0,B≥0 следовательно A≥B

> > > > > > > > > > > > > > > > > > (ну то есть когда это будет так?)
> > > > > > > > > > > > > > > > > > Заранее благодарю...
> > > > > > Матрица ортогональна, если (Qu,Qv) = (u,v) - сохраняется скалярное произведение или, что ээквивалентно, сохраняется норма (Qu,Qu) = (u,u). Отсюды следет, что Q
> > > > > > > > > > > > > > > > > Очень нужно....Неужели никто не знает?? :(

> > > > > > > > > > > > > > > > Давайте докажем сами.
> > > > > > > > > > > > > > > > 1. Собственные числа А-1В совпадают с собственными числами А-1/2ВА-1/2.
> > > > > > > > > > > > > > > > Действительно, пусть λ - собственное число и v - собственный вектор, т.е.
> > > > > > > > > > > > > > > > А-1Вv = λv
> > > > > > > > > > > > > > > > Положим u = А1/2v. Тогда, А-1/2ВА-1/2u = λu.
> > > > > > > > > > > > > > > > 2. Оператор А-1/2ВА-1/2 симметричен. Существует ортогональный оператор Q такой, что
> > > > > > > > > > > > > > > > QTА-1/2ВА-1/2Q=diag{λ1,...,λn}
> > > > > > > > > > > > > > > > 3. Оператор P = А-1/2Q удовлетворяет условиям задачи.

> > > > > > > > > > > > > > > >

> > > > > > > > > > > > > > > Спасибо большое Вам...Только я пока не сильно всё это поняла..постораюсь разобраться нормально...
> > > > > > > > > > > > > > > А вы не знаете, что это всё таки за теорема?? Нигде не могу её найти!!

> > > > > > > > > > > > > > > А вот то, что я ещё второе спросила...
> > > > > > > > > > > > > > > какие условия можно наложить, чтобы выполнялось следующее:
> > > > > > > > > > > > > > > > > > A>0,B≥0 следовательно A≥B

> > > > > > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > > > > > Подскажите, Когда выполняется следующее:
> > > > > > > > > > > > > > >Если матрица A>0,B≥0 следовательно A≥B

> > > > > > > > > > > > > По первому вопросу.К сожалению, я не знаю этой теоремы. Посмотрите книгу: Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. Её можно скачать с сайта
> > > > > > > > > > > > > http://www.poiskknig.ru
> > > > > > > > > > > > > набрав фамилию Гантмахер Ф.Р.
> > > > > > > > > > > > > По второму вопросу:
> > > > > > > > > > > > > Неравенство A≥B означает выполнение неравенства (Ах,х)≥(Вх,х) для всех х.
> > > > > > > > > > > > > Положим х = А-1/2y. Тогда последнее неравенство можно переписать в виде
> > > > > > > > > > > > > (А-1/2ВА-1/2y,y)≤(y,y) для вех y.
> > > > > > > > > > > > > Это эквивалентно тому, что собственные числа матрицы А-1В не превосходят единицы.

> > > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > > > Спасибо вам за сайт, я уже тоже подумывала об этой книге!!!
> > > > > > > > > > > > И спасибо за второй мой вопрос!!!

> > > > > > > > > > > > И ещё, я думаю, вам будет интересно!!!
> > > > > > > > > > > > Как то давно я спрашивала, как можно доказать следующее неравенство
> > > > > > > > > > > > tr(A)*tr(A-1)≥n2
> > > > > > > > > > > > Так вот, его можно доказать не только через собственные числа, а ещё и так:

> > > > > > > > > > > > tr(A)*tr(A-1) = (норма (А1/2))2*(норма (А-1/2))2 ≥ (норма (А1/2)* (А-1/2))2 = n2

> > > > > > > > > > > > (Не знаю просто как норму написать знаком )

> > > > > > > > > > > Не понял, почему норма (А1/2)2= tr(A). Норма неотрицательного оператора равна наибольшему собственному числу, а след =сумме собственных чисел!?

> > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > Ну не знаю..:)) Вот так.... tr(A*AT)= норма (A)2
> > > > > > > > > > Я с помощью этого свойства многое доказала!!!
> > > > > > > > > > Например, что tr(A*B)= tr(A1/2*A1/2*B1/2*B1/2)= tr(A1/2*B1/2)*(A1/2*B1/2)T = норма (A1/2*B1/2)2≤(норма(A1/2))2 * (норма(B1/2))2 = trA*trB

> > > > > > > > > Возможно, под нормой Вы понимаете след?

> > > > > > > > Ну да, можно сказать и так :)

> > > > > > >
> > > > > > > Здравствуйте, Leon.
> > > > > > > Спустя какое-то время стала разбираться с тем, что вы мне писали по поводу матриц моих...

> > > > > > > Если матрица А>0, B≥0, то существует неособая матрица P ( |P|≠0)такая что выполняется следующее:
> > > > > > > 1) PТ*A*P=E,
> > > > > > > 2) PТ*B*P=diag{λ1,...,λn}, где λi=λi*(A-1*B)

> > > > > > > Я так понимаю, что вы мне доказали второе....
> > > > > > > И вот мне немного не понятно, что за такой ортогональный оператор Q ...

> > > > > > > И вот на счёт первого... 1) PТ*A*P=E, Всё таки при том же P== А-1/2Q удовлетворяет???
> > > > > > > Так всё таки как проверить, что если умножить транспонированную матрицу P на матрицу A и ещё на матрицу P то мы получим единичную??
> > > > > > > То есть если P== А-1/2Q , то чему тогда равно P транспонированное??

> > > > > > > Ой, извините, завалила прям мыслями... ну просто не пойму

> > > > > > Я Вам доказал требуемое утверждение.
> > > > > > Ортогональная матрица - это матрица, которая сохраняет норму (Qu,Qu)=(u,u) или скалярное произведение (Qu,Qv)=(u,v). Отсюда следует QTQ = E или QT = Q-1
> > > > > > И вот на счёт первого... 1) PТ*A*P= QT-1/2*A*А-1/2*Q =QT*Q =E
> > > > > > Здесь РT = QT-1/2

> > > > > Вот, теперь я разобралась!!!
> > > > > Спасибо.
> > > > > Но теперь у меня есть вопрос по другому. Вот вы мне писали, что

> > > > > "Неравенство A≥B означает выполнение неравенства (Ах,х)≥(Вх,х) для всех х.
> > > > > Положим х = А-1/2*y. Тогда последнее неравенство можно переписать в виде
> > > > > (А-1/2*В*А-1/2*y,y)≤(y,y) для вех y.
> > > > > Это эквивалентно тому, что собственные числа матрицы А-1*В не превосходят единицы"

> > > > > Вот я не могу понять, как получатеся, что если мы берём за х=А-1/2*y и подставляем в следующее (Ах,х)≥(Вх,х), то как получается (А-1/2*В*А-1/2*y,y)≤(y,y) для вех y.
> > > > > ????
> > > > Подставим
> > > > (Ах,х) = (AА-1/2*y, А-1/2*y) = (А-1/2*A*А-1/2*y,y) = (y,y)
> > > > (Bx,x) = (B*А-1/2*y,А-1/2*y) = (А-1/2*B*А-1/2*y,y)
> > > > Теперь сравните!
> > > > Далее, собственные числа матрицы А-1*В не превосходят единицы эквивалентно тому, что норма оператора А-1*В не превосходит единицы (это проще).

> > > Всёёёёёё.....понятно....:) Спасибо огромное, Leon!!!! Так помогаете!!!

> > Leon! Знаете, хотела ещё спросить!!!
> > Вот чтобы сравнивать матрицы, нужно ведь выбрать какой-нибудь критерий. Например сравнивать 2 матрицы поэлементно, или например сравнить сумму диагональных элементов в 2-х матрицах. Ведь так??
> > И вот например, если даны две матрицы А и В, то :
> > если tr(A)≥tr(B), то А≥В. Можно ведь это как-то доказать??

> Нет. Это не верно. Легко привести опровергающий пример, построеннный на диагональных матрицах.

Так а как ещё можно показать, что матрица А≥В???
Наверняка ведь есть какие-то свойства, что если они выполнены, то и неравенство верно!!!??


> > > > > > > > > > > > > > > > > > > Подскажите пожалуйста, где можно найти доказательство следующей теоремы:

> > > > > > > > > > > > > > > > > > > Если матрица А>0, B≥0, то существует неособая матрица P ( |P|≠0)такая что выполняется следующее:
> > > > > > > > > > > > > > > > > > > PT*A*P=E,
> > > > > > > > > > > > > > > > > > > PT*B*P=diag{λ1,...,λn},
> > > > > > > > > > > > > > > > > > > где λii*(A-1*B)

> > > > > > > > > > > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > > > > > > > > > > И ещё, подскажите, какие условия можно наложить, чтобы выполнялось следующее:
> > > > > > > > > > > > > > > > > > > A>0,B≥0 следовательно A≥B

> > > > > > > > > > > > > > > > > > > (ну то есть когда это будет так?)
> > > > > > > > > > > > > > > > > > > Заранее благодарю...
> > > > > > > Матрица ортогональна, если (Qu,Qv) = (u,v) - сохраняется скалярное произведение или, что ээквивалентно, сохраняется норма (Qu,Qu) = (u,u). Отсюды следет, что Q
> > > > > > > > > > > > > > > > > > Очень нужно....Неужели никто не знает?? :(

> > > > > > > > > > > > > > > > > Давайте докажем сами.
> > > > > > > > > > > > > > > > > 1. Собственные числа А-1В совпадают с собственными числами А-1/2ВА-1/2.
> > > > > > > > > > > > > > > > > Действительно, пусть λ - собственное число и v - собственный вектор, т.е.
> > > > > > > > > > > > > > > > > А-1Вv = λv
> > > > > > > > > > > > > > > > > Положим u = А1/2v. Тогда, А-1/2ВА-1/2u = λu.
> > > > > > > > > > > > > > > > > 2. Оператор А-1/2ВА-1/2 симметричен. Существует ортогональный оператор Q такой, что
> > > > > > > > > > > > > > > > > QTА-1/2ВА-1/2Q=diag{λ1,...,λn}
> > > > > > > > > > > > > > > > > 3. Оператор P = А-1/2Q удовлетворяет условиям задачи.

> > > > > > > > > > > > > > > > >

> > > > > > > > > > > > > > > > Спасибо большое Вам...Только я пока не сильно всё это поняла..постораюсь разобраться нормально...
> > > > > > > > > > > > > > > > А вы не знаете, что это всё таки за теорема?? Нигде не могу её найти!!

> > > > > > > > > > > > > > > > А вот то, что я ещё второе спросила...
> > > > > > > > > > > > > > > > какие условия можно наложить, чтобы выполнялось следующее:
> > > > > > > > > > > > > > > > > > > A>0,B≥0 следовательно A≥B

> > > > > > > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > > > > > > Подскажите, Когда выполняется следующее:
> > > > > > > > > > > > > > > >Если матрица A>0,B≥0 следовательно A≥B

> > > > > > > > > > > > > > По первому вопросу.К сожалению, я не знаю этой теоремы. Посмотрите книгу: Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. Её можно скачать с сайта
> > > > > > > > > > > > > > http://www.poiskknig.ru
> > > > > > > > > > > > > > набрав фамилию Гантмахер Ф.Р.
> > > > > > > > > > > > > > По второму вопросу:
> > > > > > > > > > > > > > Неравенство A≥B означает выполнение неравенства (Ах,х)≥(Вх,х) для всех х.
> > > > > > > > > > > > > > Положим х = А-1/2y. Тогда последнее неравенство можно переписать в виде
> > > > > > > > > > > > > > (А-1/2ВА-1/2y,y)≤(y,y) для вех y.
> > > > > > > > > > > > > > Это эквивалентно тому, что собственные числа матрицы А-1В не превосходят единицы.

> > > > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > > > > Спасибо вам за сайт, я уже тоже подумывала об этой книге!!!
> > > > > > > > > > > > > И спасибо за второй мой вопрос!!!

> > > > > > > > > > > > > И ещё, я думаю, вам будет интересно!!!
> > > > > > > > > > > > > Как то давно я спрашивала, как можно доказать следующее неравенство
> > > > > > > > > > > > > tr(A)*tr(A-1)≥n2
> > > > > > > > > > > > > Так вот, его можно доказать не только через собственные числа, а ещё и так:

> > > > > > > > > > > > > tr(A)*tr(A-1) = (норма (А1/2))2*(норма (А-1/2))2 ≥ (норма (А1/2)* (А-1/2))2 = n2

> > > > > > > > > > > > > (Не знаю просто как норму написать знаком )

> > > > > > > > > > > > Не понял, почему норма (А1/2)2= tr(A). Норма неотрицательного оператора равна наибольшему собственному числу, а след =сумме собственных чисел!?

> > > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > > Ну не знаю..:)) Вот так.... tr(A*AT)= норма (A)2
> > > > > > > > > > > Я с помощью этого свойства многое доказала!!!
> > > > > > > > > > > Например, что tr(A*B)= tr(A1/2*A1/2*B1/2*B1/2)= tr(A1/2*B1/2)*(A1/2*B1/2)T = норма (A1/2*B1/2)2≤(норма(A1/2))2 * (норма(B1/2))2 = trA*trB

> > > > > > > > > > Возможно, под нормой Вы понимаете след?

> > > > > > > > > Ну да, можно сказать и так :)

> > > > > > > >
> > > > > > > > Здравствуйте, Leon.
> > > > > > > > Спустя какое-то время стала разбираться с тем, что вы мне писали по поводу матриц моих...

> > > > > > > > Если матрица А>0, B≥0, то существует неособая матрица P ( |P|≠0)такая что выполняется следующее:
> > > > > > > > 1) PТ*A*P=E,
> > > > > > > > 2) PТ*B*P=diag{λ1,...,λn}, где λi=λi*(A-1*B)

> > > > > > > > Я так понимаю, что вы мне доказали второе....
> > > > > > > > И вот мне немного не понятно, что за такой ортогональный оператор Q ...

> > > > > > > > И вот на счёт первого... 1) PТ*A*P=E, Всё таки при том же P== А-1/2Q удовлетворяет???
> > > > > > > > Так всё таки как проверить, что если умножить транспонированную матрицу P на матрицу A и ещё на матрицу P то мы получим единичную??
> > > > > > > > То есть если P== А-1/2Q , то чему тогда равно P транспонированное??

> > > > > > > > Ой, извините, завалила прям мыслями... ну просто не пойму

> > > > > > > Я Вам доказал требуемое утверждение.
> > > > > > > Ортогональная матрица - это матрица, которая сохраняет норму (Qu,Qu)=(u,u) или скалярное произведение (Qu,Qv)=(u,v). Отсюда следует QTQ = E или QT = Q-1
> > > > > > > И вот на счёт первого... 1) PТ*A*P= QT-1/2*A*А-1/2*Q =QT*Q =E
> > > > > > > Здесь РT = QT-1/2

> > > > > > Вот, теперь я разобралась!!!
> > > > > > Спасибо.
> > > > > > Но теперь у меня есть вопрос по другому. Вот вы мне писали, что

> > > > > > "Неравенство A≥B означает выполнение неравенства (Ах,х)≥(Вх,х) для всех х.
> > > > > > Положим х = А-1/2*y. Тогда последнее неравенство можно переписать в виде
> > > > > > (А-1/2*В*А-1/2*y,y)≤(y,y) для вех y.
> > > > > > Это эквивалентно тому, что собственные числа матрицы А-1*В не превосходят единицы"

> > > > > > Вот я не могу понять, как получатеся, что если мы берём за х=А-1/2*y и подставляем в следующее (Ах,х)≥(Вх,х), то как получается (А-1/2*В*А-1/2*y,y)≤(y,y) для вех y.
> > > > > > ????
> > > > > Подставим
> > > > > (Ах,х) = (AА-1/2*y, А-1/2*y) = (А-1/2*A*А-1/2*y,y) = (y,y)
> > > > > (Bx,x) = (B*А-1/2*y,А-1/2*y) = (А-1/2*B*А-1/2*y,y)
> > > > > Теперь сравните!
> > > > > Далее, собственные числа матрицы А-1*В не превосходят единицы эквивалентно тому, что норма оператора А-1*В не превосходит единицы (это проще).

> > > > Всёёёёёё.....понятно....:) Спасибо огромное, Leon!!!! Так помогаете!!!

> > > Leon! Знаете, хотела ещё спросить!!!
> > > Вот чтобы сравнивать матрицы, нужно ведь выбрать какой-нибудь критерий. Например сравнивать 2 матрицы поэлементно, или например сравнить сумму диагональных элементов в 2-х матрицах. Ведь так??
> > > И вот например, если даны две матрицы А и В, то :
> > > если tr(A)≥tr(B), то А≥В. Можно ведь это как-то доказать??

> > Нет. Это не верно. Легко привести опровергающий пример, построеннный на диагональных матрицах.

> Так а как ещё можно показать, что матрица А≥В???
> Наверняка ведь есть какие-то свойства, что если они выполнены, то и неравенство верно!!!??

Я Вам писал: норма оператора А-1*В не превосходит единицы.


> > > > > > > > > > > > > > > > > > > > Подскажите пожалуйста, где можно найти доказательство следующей теоремы:

> > > > > > > > > > > > > > > > > > > > Если матрица А>0, B≥0, то существует неособая матрица P ( |P|≠0)такая что выполняется следующее:
> > > > > > > > > > > > > > > > > > > > PT*A*P=E,
> > > > > > > > > > > > > > > > > > > > PT*B*P=diag{λ1,...,λn},
> > > > > > > > > > > > > > > > > > > > где λii*(A-1*B)

> > > > > > > > > > > > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > > > > > > > > > > > И ещё, подскажите, какие условия можно наложить, чтобы выполнялось следующее:
> > > > > > > > > > > > > > > > > > > > A>0,B≥0 следовательно A≥B

> > > > > > > > > > > > > > > > > > > > (ну то есть когда это будет так?)
> > > > > > > > > > > > > > > > > > > > Заранее благодарю...
> > > > > > > > Матрица ортогональна, если (Qu,Qv) = (u,v) - сохраняется скалярное произведение или, что ээквивалентно, сохраняется норма (Qu,Qu) = (u,u). Отсюды следет, что Q
> > > > > > > > > > > > > > > > > > > Очень нужно....Неужели никто не знает?? :(

> > > > > > > > > > > > > > > > > > Давайте докажем сами.
> > > > > > > > > > > > > > > > > > 1. Собственные числа А-1В совпадают с собственными числами А-1/2ВА-1/2.
> > > > > > > > > > > > > > > > > > Действительно, пусть λ - собственное число и v - собственный вектор, т.е.
> > > > > > > > > > > > > > > > > > А-1Вv = λv
> > > > > > > > > > > > > > > > > > Положим u = А1/2v. Тогда, А-1/2ВА-1/2u = λu.
> > > > > > > > > > > > > > > > > > 2. Оператор А-1/2ВА-1/2 симметричен. Существует ортогональный оператор Q такой, что
> > > > > > > > > > > > > > > > > > QTА-1/2ВА-1/2Q=diag{λ1,...,λn}
> > > > > > > > > > > > > > > > > > 3. Оператор P = А-1/2Q удовлетворяет условиям задачи.

> > > > > > > > > > > > > > > > > >

> > > > > > > > > > > > > > > > > Спасибо большое Вам...Только я пока не сильно всё это поняла..постораюсь разобраться нормально...
> > > > > > > > > > > > > > > > > А вы не знаете, что это всё таки за теорема?? Нигде не могу её найти!!

> > > > > > > > > > > > > > > > > А вот то, что я ещё второе спросила...
> > > > > > > > > > > > > > > > > какие условия можно наложить, чтобы выполнялось следующее:
> > > > > > > > > > > > > > > > > > > > A>0,B≥0 следовательно A≥B

> > > > > > > > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > > > > > > > Подскажите, Когда выполняется следующее:
> > > > > > > > > > > > > > > > >Если матрица A>0,B≥0 следовательно A≥B

> > > > > > > > > > > > > > > По первому вопросу.К сожалению, я не знаю этой теоремы. Посмотрите книгу: Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. Её можно скачать с сайта
> > > > > > > > > > > > > > > http://www.poiskknig.ru
> > > > > > > > > > > > > > > набрав фамилию Гантмахер Ф.Р.
> > > > > > > > > > > > > > > По второму вопросу:
> > > > > > > > > > > > > > > Неравенство A≥B означает выполнение неравенства (Ах,х)≥(Вх,х) для всех х.
> > > > > > > > > > > > > > > Положим х = А-1/2y. Тогда последнее неравенство можно переписать в виде
> > > > > > > > > > > > > > > (А-1/2ВА-1/2y,y)≤(y,y) для вех y.
> > > > > > > > > > > > > > > Это эквивалентно тому, что собственные числа матрицы А-1В не превосходят единицы.

> > > > > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > > > > > Спасибо вам за сайт, я уже тоже подумывала об этой книге!!!
> > > > > > > > > > > > > > И спасибо за второй мой вопрос!!!

> > > > > > > > > > > > > > И ещё, я думаю, вам будет интересно!!!
> > > > > > > > > > > > > > Как то давно я спрашивала, как можно доказать следующее неравенство
> > > > > > > > > > > > > > tr(A)*tr(A-1)≥n2
> > > > > > > > > > > > > > Так вот, его можно доказать не только через собственные числа, а ещё и так:

> > > > > > > > > > > > > > tr(A)*tr(A-1) = (норма (А1/2))2*(норма (А-1/2))2 ≥ (норма (А1/2)* (А-1/2))2 = n2

> > > > > > > > > > > > > > (Не знаю просто как норму написать знаком )

> > > > > > > > > > > > > Не понял, почему норма (А1/2)2= tr(A). Норма неотрицательного оператора равна наибольшему собственному числу, а след =сумме собственных чисел!?

> > > > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > > > Ну не знаю..:)) Вот так.... tr(A*AT)= норма (A)2
> > > > > > > > > > > > Я с помощью этого свойства многое доказала!!!
> > > > > > > > > > > > Например, что tr(A*B)= tr(A1/2*A1/2*B1/2*B1/2)= tr(A1/2*B1/2)*(A1/2*B1/2)T = норма (A1/2*B1/2)2≤(норма(A1/2))2 * (норма(B1/2))2 = trA*trB

> > > > > > > > > > > Возможно, под нормой Вы понимаете след?

> > > > > > > > > > Ну да, можно сказать и так :)

> > > > > > > > >
> > > > > > > > > Здравствуйте, Leon.
> > > > > > > > > Спустя какое-то время стала разбираться с тем, что вы мне писали по поводу матриц моих...

> > > > > > > > > Если матрица А>0, B≥0, то существует неособая матрица P ( |P|≠0)такая что выполняется следующее:
> > > > > > > > > 1) PТ*A*P=E,
> > > > > > > > > 2) PТ*B*P=diag{λ1,...,λn}, где λi=λi*(A-1*B)

> > > > > > > > > Я так понимаю, что вы мне доказали второе....
> > > > > > > > > И вот мне немного не понятно, что за такой ортогональный оператор Q ...

> > > > > > > > > И вот на счёт первого... 1) PТ*A*P=E, Всё таки при том же P== А-1/2Q удовлетворяет???
> > > > > > > > > Так всё таки как проверить, что если умножить транспонированную матрицу P на матрицу A и ещё на матрицу P то мы получим единичную??
> > > > > > > > > То есть если P== А-1/2Q , то чему тогда равно P транспонированное??

> > > > > > > > > Ой, извините, завалила прям мыслями... ну просто не пойму

> > > > > > > > Я Вам доказал требуемое утверждение.
> > > > > > > > Ортогональная матрица - это матрица, которая сохраняет норму (Qu,Qu)=(u,u) или скалярное произведение (Qu,Qv)=(u,v). Отсюда следует QTQ = E или QT = Q-1
> > > > > > > > И вот на счёт первого... 1) PТ*A*P= QT-1/2*A*А-1/2*Q =QT*Q =E
> > > > > > > > Здесь РT = QT-1/2

> > > > > > > Вот, теперь я разобралась!!!
> > > > > > > Спасибо.
> > > > > > > Но теперь у меня есть вопрос по другому. Вот вы мне писали, что

> > > > > > > "Неравенство A≥B означает выполнение неравенства (Ах,х)≥(Вх,х) для всех х.
> > > > > > > Положим х = А-1/2*y. Тогда последнее неравенство можно переписать в виде
> > > > > > > (А-1/2*В*А-1/2*y,y)≤(y,y) для вех y.
> > > > > > > Это эквивалентно тому, что собственные числа матрицы А-1*В не превосходят единицы"

> > > > > > > Вот я не могу понять, как получатеся, что если мы берём за х=А-1/2*y и подставляем в следующее (Ах,х)≥(Вх,х), то как получается (А-1/2*В*А-1/2*y,y)≤(y,y) для вех y.
> > > > > > > ????
> > > > > > Подставим
> > > > > > (Ах,х) = (AА-1/2*y, А-1/2*y) = (А-1/2*A*А-1/2*y,y) = (y,y)
> > > > > > (Bx,x) = (B*А-1/2*y,А-1/2*y) = (А-1/2*B*А-1/2*y,y)
> > > > > > Теперь сравните!
> > > > > > Далее, собственные числа матрицы А-1*В не превосходят единицы эквивалентно тому, что норма оператора А-1*В не превосходит единицы (это проще).

> > > > > Всёёёёёё.....понятно....:) Спасибо огромное, Leon!!!! Так помогаете!!!

> > > > Leon! Знаете, хотела ещё спросить!!!
> > > > Вот чтобы сравнивать матрицы, нужно ведь выбрать какой-нибудь критерий. Например сравнивать 2 матрицы поэлементно, или например сравнить сумму диагональных элементов в 2-х матрицах. Ведь так??
> > > > И вот например, если даны две матрицы А и В, то :
> > > > если tr(A)≥tr(B), то А≥В. Можно ведь это как-то доказать??

> > > Нет. Это не верно. Легко привести опровергающий пример, построеннный на диагональных матрицах.

> > Так а как ещё можно показать, что матрица А≥В???
> > Наверняка ведь есть какие-то свойства, что если они выполнены, то и неравенство верно!!!??

> Я Вам писал: норма оператора А-1*В не превосходит единицы.

Ну хорошо :)) Спасибо... :))


Мой сервис Элементарные преобразование Матриц - решения онлайн! Матрицы он-лайн Пиши сюда Обратная связь - разберемся!


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100