Дифференциальная геометрия

Сообщение №14599 от Ruslan Sharipov 18 марта 2005 г. 15:44
Тема: Дифференциальная геометрия

Обнаружил, что данной темы нет в списке. Думаю, что она достойна обсуждения на форуме по физике.


Отклики на это сообщение:

Я думаю, что Вы совершенно правы.

Может стоит начать со следующей темы:
Чему равно математическое ожидание элемента длины в n-мерном пространстве Римана, если известно, что метрический тензор является случайной функцией времени (элемент случайности вносится только изменением времени), причём это известная функция?
допустим при бесконечно малом шаге времени g(x1,..xn,t+dt)=g(x1,...,xn,t)+dt*V*g_corr(x1,...,xn,t), где V случайная величина с известным законом распределения. При известных начальных условиях по времени.



Имеем многообразие М и касательные пространства Тm(М) в каждой точке m. Обычным образом строится расслоение (E,p,M) p:E->M в котором слоями являются Тm(М) и координаты точек пространства Е есть (m,a). Строится касательное пространство Te(E), состоящее из подпространств горизонтального (вдоль базы) H и вертикального TV (вдоль слоя). Почему при инвариантном описании связности Н на расслоении утверждается, что дифференциал dp: Te(E)->Tm(M) есть изоморфизм именно горизонтального подпространства Н и Tm(M), а вертикальное подпространство TV является ядром отображения dp? Это следует из формул, т.к. точка (m,a) пространства Е проектируется в точку m пространства M, т.е. p(m,a)=m, то dp(m,a)/dm=1. Но это не понятно по исходному построению где слоем, видимо, является именно TV, ведь E есть объединене всех Тm(М)=p^-1(m)=TV, т.к. у p^-1(m) нет горизонтальной компоненты. Геометрически: цилиндр есть расслоение над окружностью со слоем прямой. Так, интуитивно кажется, что именно эта прямая изоморфна касательной к окружности, а не горизонтальное подпространство. В чем ошибка?
04 мая 2005 г. 15:51:


> Имеем многообразие М и касательные пространства Тm(М) в каждой точке m. Обычным образом строится расслоение (E,p,M) p:E->M в котором слоями являются Тm(М) и координаты точек пространства Е есть (m,a). Строится касательное пространство Te(E), состоящее из подпространств горизонтального (вдоль базы) H и вертикального TV (вдоль слоя). Почему при инвариантном описании связности Н на расслоении утверждается, что дифференциал dp: Te(E)->Tm(M) есть изоморфизм именно горизонтального подпространства Н и Tm(M), а вертикальное подпространство TV является ядром отображения dp?


А в чем трудность? По построению так. Если использовать немножко другие обозначения, то грубо (локально):
TM=MxdM,
T2M=T(MxdM)=MxdMxdMxd2M,
слой, сответствено, будет
dMxd2M.
Ну и видно, что первый сомножитель (у Вас - "горизонтальное подпространство") это и есть касательное пространство исходного многообразия, а второй ("вертикальное подпространство") при проектировании вниз съедается.

PS Можно вопрос: а на кой ляд нужны эти формальные манипуляции? По-моему, подобное изложение только затемняет рассудок и совершенно не способствует вхождению в предмет.


> А в чем трудность?
Именно в неясности геометрической интерпретации. Касательные к окружности есть слои в расслоении-цилиндре, т.е. вертикальные. По потом про них забывают т.к. действительно они проектируются в точку. И по определению именно горизонтальные подпространства (касательного к цилиндру)изоморфны слоям. Т.е. смотрите, что происходит: сначала касательные повернули вертикально, потом они вернулись в горизонталь? У Бишопа "Геометрия многообразий" туманно сказано-из соображений размерности. Т.е. слои вообще не играют роли, хотя векторнозначная форма связности на расслоении имеет значения именно в вертикальном подпространстве.

> PS Можно вопрос: а на кой ляд нужны эти формальные манипуляции? По-моему, >подобное изложение только затемняет рассудок и совершенно не способствует >вхождению в предмет.

Это общепринятый (инвариантный!) формализм, проблема в том, что не ясна мотивация некоторых отождествлений/изоморфизмов.


[Перенесено модератором из форума "Форум по физике"]

Сообщение №52940 от Игонькин 06 февраля 2008 г. 01:50
Тема: Сложный маршрут

По ровной горизонтальной поверхности проложен маршрут ...из точки А поочерёдно
1 км на север ,1 км на восток , 1 км на юг ,1 км на запад. ..приходим в точку В
максимальное расстояние от А до В ?

Может выложил не в тему (сори ...),но при довольно простых условиях задачи имеет не простое решение ...Если интересно ,можно порешать...

Отклики на это сообщение:

> По ровной горизонтальной поверхности проложен маршрут ...из точки А поочерёдно
> 1 км на север ,1 км на восток , 1 км на юг ,1 км на запад. ..приходим в точку В
> максимальное расстояние от А до В ?

> Может выложил не в тему (сори ...),но при довольно простых условиях задачи имеет не простое решение ...Если интересно ,можно порешать...

Надо выбрать начальную точку таким образом, чтобы после второго движения попасть на южный полюс. В этом случае третье движение означает "стоять на месте", а четвертое - задание покруче, чем у Буриданова осла.

Не гарантирую, что предложенный вариант даст максимальное расстояние между точками А и В, но то, что постановка задачи имеет "пробелы", очевидно. Как и то, что к физике отношение весьма отдаленное...


Вопрос в связи с этим следующий: все ли замкнутые формы на главном расслоении R3 × SO(3) являются точными?


Вопрос в связи с сабжем следующий: все ли замкнутые формы на главном расслоении R3 × SO(3) являются точными?

Ну или хотя бы то же для замкнутых форм на SO(3)?
по идее нет, так как SO(3) неодносвязна, а как это показать?

pps: прошу модератора удалить мой предыдущий пост


Помогите, пожалуйста, с решением! Доказать, что регулярная кривая без самопересечения с кривизной больше нуля ограничивает выпуклую область.


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100