Определения. Понятия. Словарь предметной области.

Сообщение №13164 от 01 ноября 2004 г. 09:58
Тема: Определения. Понятия. Словарь предметной области.

На форуме часто звучит вопрос

«Дайте определение!»

Особенность этой темы в том, что она является «сборкой» ответов, которые дают на этот вопрос участники форума.

Бывает, что определение, которое участник форума, вызывает возражение других участников. Именно в этом суть данной темы.

В эту тему посылайте сообщения, обращенные к другим участникам, с просьбой дать четкое определение некоторому термину или раскрыть смысл понятия.

Если участник дает определение не свое, а знает источник, он может сообщать об этом.
Но может и не сообщать.
Определения могут быть заимствованы из энциклопедий или любых иных изданий.
По мере накопления определений (и понятий) они будут переноситься в последнюю версию темы и сортироваться по алфавиту.

Если участник передумал и решил изменить формулировку, то он посылает повторное сообщение, старое будет автоматически уничтожено (но не сразу).
Желательна краткость.

Сохраняйте у себя тексты обсуждений, если рассматриваемый вопрос вас интересует.
На форуме может быть одновременно несколько версий этой темы.
Новые сообщения, пожалуйста, посылайте в тему, соответствующую последней версии. Старые версии постепенно будут «уходить» в архив.

Если текст участника форума перенесен в эту тему, то это не означает, что перенесенное сюда определение соответствует точке зрения модератора.
Это выражает предложение к обсуждению этого определения или понятия.

Авторы текстов или участники форума могут присылать сюда свои возражения или новые версии своих текстов.
Успехов!
Moderator.

-----------------


Алгебра Ли
Аффинное пространство
Основание математики
Полиморфизм
Принципы аксиом в математике
Симметрия
Теория чисел
Топология

Алгебра Ли - Алгебры с доп. соотношениями:
xy+yx=0,
(xy)z+(yz)x+(zx)y=0.
Любая такая алгебра может быть реализована как алгебра инфинитезимальных операторов некоторой группы Ли. (Сообщение №12730 от пианист)


Аффинным пространствомназывается множество E, на котором действует некоторое линейное пространство (как абелева группа векторов на группу преобразований множества E), причем это действие транзитивно (для любых двух точек, существует вектор, действие которого на первую точку - сдвиг на этот вектор - дает вторую) и свободно (сдвигая точку на ненулевой вектор нельзя оказаться в той же точке) Fw: catus marinus (12150)

Основание математики. Основанием математики является аксиоматический способ построения исходных утверждений. Fw: ozes (12119)

Полиморфизм - «способность иметь много форм». Fw: catus marinus (12150)

Принципы аксиом в математике
1 Независимость Это значит, что никакую аксиому данной системы аксиом нельзя доказать
с помощью других аксиом этой системы
2 Непротиворечивость Это значит, что из данной системы аксиом нельзя вывести
два утверждения, противоречащих друг другу
3 Полнота А это значит, что любое утверждение описываемой действительности
выводится из данной системы аксиом)
(Сообщение №12224 от Vladlen)

Небольшое добавление к принципу аксиом в математике.
Аксиомы должны быть элементарными утверждениями, то есть, аксиомы не должны разлагаться на
более простые утверждения, или не требовать такого разложения в рамках решаемой задачи.
Вообще говоря, к аксиомам следует предъявлять еще одно требование.
А именно. Аксиомы должны быть положительными утверждениями
(это условие трудно выполнить). Но это желательно.
(Сообщение от Ozes 21 августа 2004)

Симметрия
Упорядоченное расположение частей целого Из Сообщения Арх 29 августа 23:56

Свойство геометрической фигуры Ф совмещаться с собой при действии некоторой группы G ортогональных преобразований, называемой г р у п п о й с и м м е т р и и Ф.
Таким образом , симметрия отражает некоторую правильность формы фигуры, инвариантность её при действии преобразований из G.
Например, если на плоскости фигура Ф такова, что повороты относительно какой-либо точки О на угол 360 градусов/ N, N - целое, переводит в себя, то Ф обладает симметрией N - го порядка. здесь G - циклическая группа N - го порядка.
Окружность обладает симметрией бесконечного порядка (поскольку совмещается с собой поворотом на любой угол). И т.д.
«Математическая энциклопедия» (Москва 1984)
Из Сообщения Саша 30 августа 21:28

Саше. Я старался дать как можно более короткие и самые общие определения. Симметрия получается посредством четырех простых движений: переноса, поворота, подобия, отражения.Характер этих движений можно, в свою очередь, описать. По-моему, в энциклопедии дано слишком запутанное определение - не каждый может себе образно представить абстрактные группы Ф,G,N. Арх 30 августа

Xроноп - Арх’у Ваше определение лишь частность, характерная для симметрий в евклидовом пространстве. Но уже в пространстве Минковского выйдет иначе.
Более правильно определять симметрию, как действие группы на множестве.
Xроноп 31 августа

Теория чисел
Теория чисел - часть математики, наука о числовых множествах (Сообщение от Арх)

Предмет и метод теории чисел
"Предмет теории чисел совпадает с предметом (изучения) всей математики". И.М.Виноградов
"Теория чисел - область математики, занимающаяся решением задач, которые не объединяются ни в рамках постановок этих задач, ни в рамках методов, применяемых для их решения" А.Г.Постников
(Сообщение от Михалыч 30 августа 2004)

Топология
Топология, наука о геометрических свойствах тел, которые не меняются, когда тело вытягивается, скручивается или сжимается.
http://txt.newsru.com/russia/15apr2003/perelman.html
(Сообщение № 12982 Tamanov Konstantin )


Отклики на это сообщение:

Проективноое n-мерное пространство P^n над полем K - это наборы из (n+1) однородных координат, то есть всевозможные наборы (x_0, x_1, ..., x_n), кроме нулевого, причём да набора (x_0, ..., x_n) и (y_0, ..., y_n) считаются равными, если существует такая ненулевая константа еt из K, что x_i = t*y_i, для всех i = 0, 1, ..., n.
Проективное пространство может рассматриваться как множество всевозможных ненулевых векторов аффинного пространства той же размерности.


Чего-то я решил тут понаписать, а то появляются определения вроде "топология - это наука о свойствах тел, которые не меняются, когда тело скручивается"...)))

Квазипроективное многообразие - это открытое подмножество замкунтого множества проективного пространства.
Открытые и замкнутые множества понимаются в смысле топологии Зарисского, то есть замкнутыми называются совместные нули конечного числа многочленов от однородных координат проективного простанства. В частности, открытые множества очень БОЛЬШИЕ, они занимают почти всё пространство (то есть они всюду плотны).
К примеру, сами открытые и замкнутые множества будут квазипроективными многообразиями.
Следует отметить, что такая терминология не является общепринятой (она используется, например, И.Р. Щафаревичем, в то время, как Хартскорн называет квазипроективными многообразиями только так называемые непривожимые многообразия, то есть те, которые не могут быть представлены в виде объединения двух несовпадающих замкнутых множеств).


Дорогие и многоуважаемые математики,

Извините, что я спрашиваю совсем нитуда; зато вопрос крайне простой. Дело в том, что мой коллега, который работает на математическом факультете нашего университета (Trinity College v Hartford, USA: www.trincoll.edu), обращается ко мне со всеми своими вопросами о русских математических терминах. Он готовит доклад о математических понятиях в романе "Мы" Замятина, а не знает русский язык. А со своей стороны я не знаю как переводится английский термин "imaginary number" т.к. квадратный корень –1. Это у вас "воображаемое число", "не рациональное число" или что–то другое? Можно писать мне и я передам ответ ему: katherine.lahti@trincoll.edu или прямо ему (правда на английском, но это будет интереснее Вам): david.cruzuribe@trincoll.edu.

Spasibo zaranee. Ego iskhodnyi message raspolozhen nizhe.

-Kati Lahti

From: David Cruz-Uribe {Faculty} [mailto:dcruzuri@trincoll.edu]
Sent: Tue 11/2/2004 5:11 PM
To: Lahti, Katherine
Subject: russian question


I have a russian question. In english, mathematicians use the expression
"imaginary number" for the square root of -1. Clearly, this comes from
the same root as "imagination." Question: is this the same in Russian?

Reason for the question: Zamyatin, for reasons I am still trying to
discern, uses "irrational" for the square root of -1, which is an
incorrect use of mathematical terminology. (A glaring one which would
cause any mathematician to sit up and take notice.) Oddly enough,
however, the main character wants to "tear out the square root of -1", and
at the end of the novel has an operation which removes his "imagination."
Thus would militate for using the standard terminology, but he doesn't.


Thanks,

DCU
03 ноября 2004 г. 22:45
--------------------------------------------------------------------------------

Мнимое
Кардинал
В ответ на: Занудный вопрос издалека от Katherine Lahti , 03 ноября 2004 г.:
Мнимое. Это число называется мнимой единицей.
03 ноября 23:57

--------------------------------------------------------------------------------
Занудный вопрос издалека
Арх
В ответ: Занудный вопрос издалека от Katherine Lahti

> Lahti, Katherine
Здесь готовые переводы математических фраз: http://www.multitran.ru
04 ноября 00:04


Пусть будут не только алгебраические, но и дифференциальные многообразия, чего там..)))
Итак,
Многообразие - это топологическиое пространство Х, покрытое атласом согласованных карт.
Под картой понимается пара (U,f), где U - открытое подмножество топологического пространства Х, а f - гомеоморфизм U на некоторую область R^n. Условие согласования заключается в гладкости отображения склейки карт (то етсь отображения gf^{-1}, где (U, f) и (V, g) - две карты и склейка осуществляется в области их пересечения U и V).


> Пусть будут не только алгебраические, но и дифференциальные многообразия, чего там..)))

Но Ваше определение автоматически задаёт лишь гладкое вещественное многообразие. Алгебраические выпали (над конечными полями, к примеру). Упали и аналитические комплексные.


> Пусть будут не только алгебраические, но и дифференциальные многообразия, чего там..)))
> Итак,
> Многообразие - это топологическиое пространство Х, покрытое атласом согласованных карт.

А топологическое пространство - это что?
А что такое пространство - первоначально?
В математике всегда любили давать определения "ничему".
Я понимаю, что "определения" математике нужны.
Но "понимание" математике не менее необходимо.

Ozes

> Под картой понимается пара (U,f), где U - открытое подмножество топологического пространства Х, а f - гомеоморфизм U на некоторую область R^n. Условие согласования заключается в гладкости отображения склейки карт (то етсь отображения gf^{-1}, где (U, f) и (V, g) - две карты и склейка осуществляется в области их пересечения U и V).


Да, Вы правы, тут определены лишь гладкие вещественные многообразия.
Но, Хроноп, согласитесть, что замечание Озеса - не более, чем придирки!)))


> А топологическое пространство - это что?
Топологическое пространство - это множество Х, на котором задана, Вы не поверите, Озес, топология, то есть система множеств А, называемых открытыми, причём
1. Пустое множество и само Х лежат в А;
2. Любое объединение и конечное пересечение множеств из А сноа попадает в А.
> А что такое пространство - первоначально?
Да множество это, множество в данном случае, и всё!)))
А Вы, Озес, это спрашивали, чтобы проверить, знаю ли я? Или сами не знали?)))))))))


> > А топологическое пространство - это что?
> Топологическое пространство - это множество Х, на котором задана, Вы не поверите, Озес, топология, то есть система множеств А, называемых открытыми, причём
> 1. Пустое множество и само Х лежат в А;
> 2. Любое объединение и конечное пересечение множеств из А сноа попадает в А.

Не определение, а просто сказка!

> > А что такое пространство - первоначально?
> Да множество это, множество в данном случае, и всё!)))
> А Вы, Озес, это спрашивали, чтобы проверить, знаю ли я? Или сами не знали?)))))))))

Я это спросил для того, чтобы сделать Ваши ошибки (и не только Ваши) более очевидными.
В первую очередь, следует ответить на вопрос - Для чего служит математика?
Если математика существует просто так, и не для чего не служит, тогда, безусловно, можно давать любые определения, и чему угодно. Все равно эти определения, в этом случае, не для чего не нужны.
Но если мы говорим о конкретных приложениях математики, тогда все становится гораздо сложнее.
Пространство в физике имеет вполне определеный физический смысл.
Это:
1) способность тела занимать некоторое место в пространстве (координаты точки), 2) возможность тела перемещаться из одной точки пространства в другую.

Теперь вопрос:
Может ли любое заданное тело попасть из одной заданной тоски пространства в другую заданную точку???

Попробуйте ответить на мой вопрос, а после этого поговорим и о топологии пространства.

Ozes


> В первую очередь, следует ответить на вопрос - Для чего служит математика?
> Если математика существует просто так, и не для чего не служит, тогда, безусловно, можно давать любые определения, и чему угодно. Все равно эти определения, в этом случае, не для чего не нужны.

Математика сама по себе ни для чего не служит. Однако существуют ее приложения, когда возможно интересуемые вопросы сформулировать в тех или иных математических терминах. Очевидно, что есть проблемы, которые такой формулировки (пока?) не допускают, а есть представления, которые (пока?) не имеют приложений.

> Но если мы говорим о конкретных приложениях математики, тогда все становится гораздо сложнее.
> Пространство в физике имеет вполне определеный физический смысл.
> Это:
> 1) способность тела занимать некоторое место в пространстве (координаты точки), 2) возможность тела перемещаться из одной точки пространства в другую.

> Теперь вопрос:
> Может ли любое заданное тело попасть из одной заданной тоски пространства в другую заданную точку???

> Попробуйте ответить на мой вопрос, а после этого поговорим и о топологии пространства.

К топологии этот вопрос имеет весьма относительное отношение. А ответ же в общем случае отрицательный в том числе и в физике. Чтобы это увидеть достаточно спросить: может ли заданное тело (что такое заданное тело, правда, несовсем понятно) попасть из одной заданной точки фазового пространства в другую заданную точку фазового пространства.


> > > А топологическое пространство - это что?
> > Топологическое пространство - это множество Х, на котором задана, Вы не поверите, Озес, топология, то есть система множеств А, называемых открытыми, причём
> > 1. Пустое множество и само Х лежат в А;
> > 2. Любое объединение и конечное пересечение множеств из А сноа попадает в А.

> Не определение, а просто сказка!

> > > А что такое пространство - первоначально?
> > Да множество это, множество в данном случае, и всё!)))
> > А Вы, Озес, это спрашивали, чтобы проверить, знаю ли я? Или сами не знали?)))))))))

> Я это спросил для того, чтобы сделать Ваши ошибки (и не только Ваши) более очевидными.

Дамы и господа, скажите, пожалуйста, ГДЕ ИМЕННО ошибки в данных мною определениях?

> В первую очередь, следует ответить на вопрос - Для чего служит математика?
> Если математика существует просто так,

Да, знаете ли, такая вот забавная зверушка

> и не для чего не служит, тогда, безусловно, можно давать любые определения, и чему угодно. Все равно эти определения, в этом случае, не для чего не нужны.
> Но если мы говорим о конкретных приложениях математики, тогда все становится гораздо сложнее.
> Пространство в физике имеет вполне определеный физический смысл.
> Это:
> 1) способность тела занимать некоторое место в пространстве (координаты точки), 2) возможность тела перемещаться из одной точки пространства в другую.

> Теперь вопрос:
> Может ли любое заданное тело попасть из одной заданной тоски пространства в другую заданную точку???

> Попробуйте ответить на мой вопрос, а после этого поговорим и о топологии пространства.

У Вас потрясающий метод ведения дискуссии, Озес. По-моему, он называется комсомольским: человеку в ответ на его нежелание выходить на субботник заявляют, что в Африке умирают с голоду дети.

КАКОЕ отношение имеет Ваш вопрос к моему определению????? Смешно прямо. Пространство имеет конкретный физический смысл, видите ли!)))) Пространства, Озес, РАЗНЫЕ бывают!!! А про пространство, я не знаю, с дискретной метрикой Вы что думаете? А с тривиальной топологией? Или сбросить их с корабля современности как не имеющие отношения к построению светлого общества?)))
Что0то прям меня распёрло... Но просто удручают такие вот ответы))))))


> > Пространство в физике имеет вполне определеный физический смысл.
> > Это:
> > 1) способность тела занимать некоторое место в пространстве (координаты точки), 2) возможность тела перемещаться из одной точки пространства в другую.

> > Теперь вопрос:
> > Может ли любое заданное тело попасть из одной заданной тоски пространства в другую заданную точку???

> > Попробуйте ответить на мой вопрос, а после этого поговорим и о топологии пространства.

> У Вас потрясающий метод ведения дискуссии, Озес. По-моему, он называется комсомольским: человеку в ответ на его нежелание выходить на субботник заявляют, что в Африке умирают с голоду дети.

Я рад, что мы так хорощо понимаем друг друга.
Так будет у нас дискуссия, или пусть в Африке умирают дети???

> КАКОЕ отношение имеет Ваш вопрос к моему определению????? Смешно прямо. Пространство имеет конкретный физический смысл, видите ли!)))) Пространства, Озес, РАЗНЫЕ бывают!!! А про пространство, я не знаю, с дискретной метрикой Вы что думаете? А с тривиальной топологией? Или сбросить их с корабля современности как не имеющие отношения к построению светлого общества?)))
> Что0то прям меня распёрло... Но просто удручают такие вот ответы))))))

Спустите пар! А меня удручают определения в математике, подобные Вашим.

Разумеется, пространства бывают разные.
Тогда почему определение Вы даете одному-единственному?
Что касается пространства с дискретной метрикой, то я думаю, что все пространства, кроме временного, имеют дискретную метрику.
Поэтому Ваше определение топологии "ни в какие ворота не лезет".

Ozes


> Я рад, что мы так хорощо понимаем друг друга.
> Так будет у нас дискуссия, или пусть в Африке умирают дети???

Признаться, мне мало дела до детей Африки. Я не фонд Сороса. Самому бы кто подал, что называется))))

> Спустите пар! А меня удручают определения в математике, подобные Вашим.

Вы понмиаете, оно ведь не тольок и не столько МОЁ))) Книжки разные там есть, матэнциклопедия, курсы дифгеометрии и топологии ряда авторов...))) И все, что характерно, примерно так же и пишут!!! А некоторые из них (за всех не поручусь) ЧРЕЗВЫЧАЙНО умные люди!.. Думаете, врут7)))

> Разумеется, пространства бывают разные.
> Тогда почему определение Вы даете одному-единственному?

Озес, Вы о чём? Я давал определение топологии, а в нём под пространством понимается любое множество, а Вы как-то болезненно реагируете на термин "пространство"!

> Что касается пространства с дискретной метрикой, то я думаю, что все пространства, кроме временного, имеют дискретную метрику.

Временное пространство - без комментариев. С одной стороны, Вы правы, ЛБОЕ множество можно наделить дискретной метрикой. С другой стороны - можно, знаете ли, и не только дискретной порой...)))

> Поэтому Ваше определение топологии "ни в какие ворота не лезет".

Так всё же почему - поэтому? Я в своём определении, что характерно, вообще НИ ПРО КАКУЮ метрику не говорил! Вся фишка-то как раз в том, что не нужно расстояние на исходном множестве!
Вы вообще в курсе основных понятий топологии?)))



> > Спустите пар! А меня удручают определения в математике, подобные Вашим.

> Вы понмиаете, оно ведь не тольок и не столько МОЁ))) Книжки разные там есть, матэнциклопедия, курсы дифгеометрии и топологии ряда авторов...))) И все, что характерно, примерно так же и пишут!!! А некоторые из них (за всех не поручусь) ЧРЕЗВЫЧАЙНО умные люди!.. Думаете, врут7)))

Я догадываюсь, что это определение не только, и не столько Ваше.
Но вы его даете - Вам за него и отвечать.
Что же касается книжек и энциклопедий, то я уже высказывался по этому поводу.
А именно.
Математика нужна для чего-то, или просто так?
Позвольте Вас спросить:
Где брать РЕАЛЬНО те пространства, которые определяются в топологии???
Это что, и это откуда такое чудо???
И я в своем мнении не одинок.
Посмотрите, например, сообщения 31214, 31215, 31219 на форуме "Новых теорий в физике".
Поэтому люди, которые давали определения пространствам в топологии, вероятно, не врали. Но определенное недопонимание этой проблемы у них, очевидно, присутствовало и присутствует.
Позвольте Вас спросить.
Временное пространство - это пространство, или нет?
А является ли оно топологическим пространством?
Что и куда будем вкладывать, и откуда вынимать?
И какие множества в этом пространстве присутствуют?
А что будем считать подмножеством временного пространства, если оно всегда состоит (РЕАЛЬНО) из одной единственной точки - "настоящего момента времени"?
А как коррелирует топология "временного пространства" с топологией "координатного пространства"?
Где ответы на все мои вопросы в ВАШЕМ определении???

> > Разумеется, пространства бывают разные.
> > Тогда почему определение Вы даете одному-единственному?

> Озес, Вы о чём? Я давал определение топологии, а в нём под пространством понимается любое множество, а Вы как-то болезненно реагируете на термин "пространство"!

Пространство в физике имеет вполне конкретные очертания.
Что же касается Вашего определения (как множества), то позвольте спросить:
Где Вы такие пространства видели?
Или они существуют только в Ваших "снах и грезах" о пространстве.
Я понимаю, что термин пространства в математике и физике может иметь разный смысл (хотя это, согласитесь, нонсенс). Но тогда приведите мне РЕАЛЬНЫЙ пример Вашего топологического пространства. Что это за зверь???
Опять же, с учетом тематики сообщений 31214,31215,31219, объясните мне, где искать точки соприкосновения топологии пространств в самой математике?


> > Поэтому Ваше определение топологии "ни в какие ворота не лезет".
>
> Так всё же почему - поэтому? Я в своём определении, что характерно, вообще НИ ПРО КАКУЮ метрику не говорил! Вся фишка-то как раз в том, что не нужно расстояние на исходном множестве!

Не говорили, так скажете. Я же вижу к чему Вы клоните.
Если не нужно расстояние, то что нужно???
Я Вам одно могу сказать вполне определенно:
Определить топологию пространства без понятия расстояние не представляется возможным.

Я, по-моему, достаточно понятно показал, почему Ваше определение "ни в какие ворота не лезет".
Если Вы настаиваете на "правильности" своего определения, то постарайтесь ответить на все мои вопросы.

> Вы вообще в курсе основных понятий топологии?)))

В курсе, не волнуйтесь.
Даже более чем в курсе.

Ozes


Пространство в физике имеет вполне конкретные очертания.
Что же касается Вашего определения (как множества), то позвольте спросить:
Где Вы такие пространства видели?
ВЫ: Или они существуют только в Ваших "снах и грезах" о пространстве.
Я понимаю, что термин пространства в математике и физике может иметь разный смысл (хотя это, согласитесь, нонсенс). Но тогда приведите мне РЕАЛЬНЫЙ пример Вашего топологического пространства. Что это за зверь???
Опять же, с учетом тематики сообщений 31214,31215,31219, объясните мне, где искать точки соприкосновения топологии пространств в самой математике?


Я так понимаю, что идет спор о применении математики в практике?
Геометрия Лобачевского тоже подтвергалась нападкам, мол она не понятна и не имеет применения для практики, но всё же вблизи тел с огромной гравитационной массой пространство искривляется. Давайте подождем немного, авось и такие пространства появятся;-)


Владлен, согласитесь, большинство реплик Озеса - просто без комментариев.))))))))) Где, говорит, РЕАЛЬНО увидеть эти пространства! А где он видел РЕАЛЬНО число "корень из двух"?))))))
> Я же вижу, к чему Вы клоните
просто чудно. Озес, Вы спрашиваете, что же нужно, если не расстояния. Боюсь Вас огорчить, но нужны всего лишь открытые множества - а уж что это за множества, это как пойдёт))))) реально-то их, конечно, не увидишь...
Вы говорите, что более, чем в курсе основных понятий топологии. Бог с тем, что это вообще довольно забавно - быть более, чем в курсе. Дело-то в другом... Зачем Вы это так умело скрываете?)))))


Ой-Ой-ой!
Какие мы нежные.
Дорогой Кардинал!
Продолжая Вашу тему "Коммунистических субботников", я хочу сказать следующее.
Когда нет "весомых аргументов", то обычно либо говорят о том, что кто-то "сошел с ума", или обвиняют собеседника в "незнании предмета". Ваша "математическая идеология" очень напоминает "коммунистическую". "Учение Маркса всесильно потому, что оно верно, а верно оно потому, что его создал Маркс".
"Железная логика"!
Вместо того, чтобы призывать к чувству "пролетарской солидарности" Владлена, Вы бы попытались лучше конкретно, четко, ясно и понятно ответить на мои вопросы.
Если не на все - то, хотя бы, на часть из них.

Что же касается РЕАЛЬНОСТИ "корня из двух", то эти числа более чем реальны.
И в законе тяготения Ньютона, и в законе Кулона, как Вы знаете, в знаменателе стоит не расстояние, а его квадрат. То есть, это "иррациональное число, квадрат которого есть число рациональное".
Поэтому эти пространства более чем РЕАЛЬНЫЕ.
И мне гораздо труднее найти пример "целочисленного пространства", нежели "пространства иррационального".
Не составляет труда привести РЕАЛЬНЫЙ пример и комплексного пространства, и многих других.

НО ГДЕ БРАТЬ РЕАЛЬНЫЙ ПРИМЕР ВАШЕГО ТОПОЛОГИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА???
ТО ЕСТЬ, ГДЕ ПРИМЕР ПРОСТРАНСТВА, КОТОРОЕ ПЫТАЕТЕСЬ ОПРЕДЕЛИТЬ ВЫ???

Ozes


> Владлен, согласитесь, большинство реплик Озеса - просто без комментариев.))))))))) Где, говорит, РЕАЛЬНО увидеть эти пространства! А где он видел РЕАЛЬНО число "корень из двух"?))))))

Я лично вообще приверженец скептицизма и считаю, что материя не такая, какой мы её ощущаем, и в ней нет никакого расстояния))) То есть, когда мы движемся - мы стоим на месте))) Это как в компьютерной игре)))
Лично мне Ozes, как человек интересен, и из-за того, что я сомневаюсь в реальности мира, я воспринимаю его идеи, как вполне возможные))))))


> Когда нет "весомых аргументов", то обычно либо говорят о том, что кто-то "сошел с ума", или обвиняют собеседника в "незнании предмета". Ваша "математическая идеология" очень напоминает "коммунистическую". "Учение Маркса всесильно потому, что оно верно, а верно оно потому, что его создал Маркс".
А Вы первый начали!))))))))))
> Если не на все - то, хотя бы, на часть из них.
Вам, по всей видимости, доставляет удовольствие оскорблять собеседника в дискуссии...

> Что же касается РЕАЛЬНОСТИ "корня из двух", то эти числа более чем реальны.
> И в законе тяготения Ньютона, и в законе Кулона, как Вы знаете, в знаменателе стоит не расстояние, а его квадрат. То есть, это "иррациональное число, квадрат которого есть число рациональное".

Я не про то! Вот покажите мне какую-нибудь физическую величину, про которую можно сказать, что её значение равно корню из двух!))))) Можно говорить, что, с определённой погрешность, значение её равняется 1,415 и так далее - но это всё лишь приближения - мы же всё равно никогда не найдём её с точностью до бесконечного числа знаков)))))

> НО ГДЕ БРАТЬ РЕАЛЬНЫЙ ПРИМЕР ВАШЕГО ТОПОЛОГИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА???
> ТО ЕСТЬ, ГДЕ ПРИМЕР ПРОСТРАНСТВА, КОТОРОЕ ПЫТАЕТЕСЬ ОПРЕДЕЛИТЬ ВЫ???

Я постараюсь пореальнее))) рассмотрим множество, состоящее из четырёх стульев -обзовём их А, Б, В и Г. Открытыми назовём множества {A}, {А, Б}, {А, Б, В, Г} и пустое множество. Легко видеть, что конечное пересечение и любое (в данном случае, всё равно конечное) объединение открытых множеств будут открытыми. Ничто не мешает нам назвать множество этих четырёх стульев с заданной таким образом топологией топологическим пространством. По-моему, оно вполне себе реально)))))))


> Вам, по всей видимости, доставляет удовольствие оскорблять собеседника в дискуссии...

Извините!
У меня даже в мыслях этого не было.
Тем не менее, я вынужден извиниться.

> > Что же касается РЕАЛЬНОСТИ "корня из двух", то эти числа более чем реальны.
> > И в законе тяготения Ньютона, и в законе Кулона, как Вы знаете, в знаменателе стоит не расстояние, а его квадрат. То есть, это "иррациональное число, квадрат которого есть число рациональное".

> Я не про то! Вот покажите мне какую-нибудь физическую величину, про которую можно сказать, что её значение равно корню из двух!))))) Можно говорить, что, с определённой погрешность, значение её равняется 1,415 и так далее - но это всё лишь приближения - мы же всё равно никогда не найдём её с точностью до бесконечного числа знаков)))))

В данном случае мы говорим о топологии пространств, а не о "числовых образах понятий".
Например, нам ничто не мешает взять в качестве новой "единицы" измерения пространства отрезок, длинной "корень из двух", и измерять все величины этим "иррациональным" отрезком. В результате, правда, появиться новый "корень из двух", но уже другой. Поэтому "числовые выражения отрезков" в данном случае не играют роли.

> > НО ГДЕ БРАТЬ РЕАЛЬНЫЙ ПРИМЕР ВАШЕГО ТОПОЛОГИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА???
> > ТО ЕСТЬ, ГДЕ ПРИМЕР ПРОСТРАНСТВА, КОТОРОЕ ПЫТАЕТЕСЬ ОПРЕДЕЛИТЬ ВЫ???

> Я постараюсь пореальнее))) рассмотрим множество, состоящее из четырёх стульев -обзовём их А, Б, В и Г. Открытыми назовём множества {A}, {А, Б}, {А, Б, В, Г} и пустое множество. Легко видеть, что конечное пересечение и любое (в данном случае, всё равно конечное) объединение открытых множеств будут открытыми. Ничто не мешает нам назвать множество этих четырёх стульев с заданной таким образом топологией топологическим пространством. По-моему, оно вполне себе реально)))))))

Неудачный пример.
Вы рассмотрели пример целочисленного измеряемого пространства.
Но далеко не все объекты в физике измеряемы "сами по себе".
Например, в квантовой механике квадрат волновой функции определяет вероятность нахождения электрона в данной точке пространства. То есть, этот самый квадрат (или вероятность) можно посчитать и измерить. При этом сама волновая функция является "неизмеряемым и неопределяемым" понятием. То есть, само по себе пространство волновых функций является иррациональным по смыслу. Логический смысл имеет лишь квадрат этого объекта. Сам объект неопределен.

Поэтому потрудитесь подыскать примеры более удачные.

Ozes


> Например, нам ничто не мешает взять в качестве новой "единицы" измерения пространства отрезок, длинной "корень из двух", и измерять все величины этим "иррациональным" отрезком. В результате, правда, появиться новый "корень из двух", но уже другой.

А я про что???)))

> Неудачный пример.
> Вы рассмотрели пример целочисленного измеряемого пространства.
Целочисленного измеряемого пространства... гм... что же это такое...))) Не поясните?))

> Но далеко не все объекты в физике измеряемы "сами по себе".
Ну, разумеется.
> Например, в квантовой механике квадрат волновой функции определяет вероятность нахождения электрона в данной точке пространства. То есть, этот самый квадрат (или вероятность) можно посчитать и измерить. При этом сама волновая функция является "неизмеряемым и неопределяемым" понятием. То есть, само по себе пространство волновых функций является иррациональным по смыслу. Логический смысл имеет лишь квадрат этого объекта. Сам объект неопределен.

> Поэтому потрудитесь подыскать примеры более удачные.

Ох. Обратите внимание, Озес, я всё время изъясняюсь ПРЕДЕЛЬНО просто. По всей видимости Ваша последняя фраза, включающая в себя, скажем, несколько не вполне очевидных и общепринятых терминов, имеет какой-то глубокий смысл. Мне, признаться, пока неясно, чем она опровергает приведённый мною пример. В говорите, что в физике НЕ ВСЕ пространства обладают определённым свойством. так под определение топологического пространства тоже попадают не все объекты!!!
Более того. Скажите, пожалуйста, КАК КОНКРЕТНО определяется это Ваше пространство волновых функций, и тогда я скажу Вам, какую можно там ввести топологию (хотя тривиальную-то можно всегда!).
> Ozes


Данное вами определение гладкого многообразия не верно.



> > Неудачный пример.
> > Вы рассмотрели пример целочисленного измеряемого пространства.

> Целочисленного измеряемого пространства... гм... что же это такое...))) Не поясните?))

Это и так понятно.
Это - детсадовский уровень понимания топологии.
Ну-ка детки, встали в ряд.
Что Вам пояснить конкретно?

> > Но далеко не все объекты в физике измеряемы "сами по себе".
> Ну, разумеется.
> > Например, в квантовой механике квадрат волновой функции определяет вероятность нахождения электрона в данной точке пространства. То есть, этот самый квадрат (или вероятность) можно посчитать и измерить. При этом сама волновая функция является "неизмеряемым и неопределяемым" понятием. То есть, само по себе пространство волновых функций является иррациональным по смыслу. Логический смысл имеет лишь квадрат этого объекта. Сам объект неопределен.

> > Поэтому потрудитесь подыскать примеры более удачные.

> Ох. Обратите внимание, Озес, я всё время изъясняюсь ПРЕДЕЛЬНО просто. По всей видимости Ваша последняя фраза, включающая в себя, скажем, несколько не вполне очевидных и общепринятых терминов, имеет какой-то глубокий смысл. Мне, признаться, пока неясно, чем она опровергает приведённый мною пример. В говорите, что в физике НЕ ВСЕ пространства обладают определённым свойством. так под определение топологического пространства тоже попадают не все объекты!!!

Тогда Вам следует еще научиться изъясняться предельно ПРАВИЛЬНО и ТОЧНО.
Последняя моя фраза действительно имеет глубокий смысл. Причем этот смысл вложили в математику (и топологию тоже) Пифагор и Гаусс. Эта фраза не опровергает Ваш пример, а делает его незначительным. То есть, пример Ваш верный, но его уровень слишком незначительный как для математики в целом, так и для топологии в частности.
Топология уже давно выросла из "детских штанишек", в которые Вы ее упорно пытаетесь одеть, давая свое определение топологии.
Разумеется, под определение топологии не попадают, и не могут попадать все объекты. Но под Ваше определение топологии попадают только игрушки детского сада. Ни на что большее это определение не годится.
Я Вам привел достаточно РЕАЛЬНЫХ примеров,и ни один из них "не вписывается" в рамки Вашего определения, и в рамки Вашего представления о топологии.
Дорогой Кардинал!
Я не хочу Вас обидеть. Но поймите меня правильно. Я не виноват в том, что написано о топологии в энциклопедиях и учебниках. Я ничего этого не писал.
Но, давая свое определение топологии,все-таки следует в этом вопросе достаточно хорошо разбираться.

> Более того. Скажите, пожалуйста, КАК КОНКРЕТНО определяется это Ваше пространство волновых функций, и тогда я скажу Вам, какую можно там ввести топологию (хотя тривиальную-то можно всегда!).

Физика - не математика.
У физиков нет необходимости давать определения "всему".
Физики берут приборы, ставят опыт, чтобы что-то измерить, или увидеть.
Потом показывают это всем, и спрашивают:
-Видите?
Все кричат:
-Видим, видим!
Они говорят:
- Вот это - волновая функция, квадрат которой есть вероятность обнаружения объекта в данной точке пространства.

Вот и все.

И я еще раз повторяю:
Сама по себе волновая функция в физике никак не определяется.
Аналогично, не определяется и "точное значение" в приближении Гаусса.
В этом нет необходимости.
Определяется лишь квадрат этих понятий.

Теперь Вы можете сделать соответствующие выводы.
Интересно - какие?

Ozes


> Физика - не математика.
> У физиков нет необходимости давать определения "всему".
> Физики берут приборы, ставят опыт, чтобы что-то измерить, или увидеть.
> Потом показывают это всем, и спрашивают:
> -Видите?
> Все кричат:
> -Видим, видим!
> Они говорят:
> - Вот это - волновая функция, квадрат которой есть вероятность обнаружения объекта в данной точке пространства.
Я умываю руки.


> > Физика - не математика.
> > У физиков нет необходимости давать определения "всему".
> > Физики берут приборы, ставят опыт, чтобы что-то измерить, или увидеть.
> > Потом показывают это всем, и спрашивают:
> > -Видите?
> > Все кричат:
> > -Видим, видим!
> > Они говорят:
> > - Вот это - волновая функция, квадрат которой есть вероятность обнаружения объекта в данной точке пространства.
> Я умываю руки.

Ну, что касается физики, то математики могут себе это позволить.
Но как быть с Гауссом, который на этом же принципе и аналогичном подходе построил понятие "приближения".
Или Гаусс тоже "не понимал" того, что он делает?

Ozes


Да, но согласитесь, что теперь-то мы волне себе чётко можем определить это понятие!!!
И вообще!..))) На МОЙ взгляд, математика - это же ведь, в самом прекрасном смысле, игры разума, и вся суть в получении удовольствия от процесса игры:

разбор моих грехов оставьте до поры,
вы оцените красоту игры!..)))))

А уж имеет она отношение к реальности, не имеет - это, знаете ли, дело десятое...


> Данное вами определение гладкого многообразия не верно.

Гм... Ну, поясните, что ли, ПОЧЕМУ так... Или, хотя бы, почему ВЫ так считаете... или на кого ссылаетесь...)))


> Да, но согласитесь, что теперь-то мы волне себе чётко можем определить это понятие!!!

Попробуйте сделать это еще раз.
Только без "шапкозакидательства", аккуратно, четко, правильно.

> И вообще!..))) На МОЙ взгляд, математика - это же ведь, в самом прекрасном смысле, игры разума, и вся суть в получении удовольствия от процесса игры:

Ну, что касается удовольствия, то у меня возражений нет.
Что же касается самого процесса - то уровень невысокий.
Это меня огорчает.

> разбор моих грехов оставьте до поры,
> вы оцените красоту игры!..)))))

Вы старались, это правда.

> А уж имеет она отношение к реальности, не имеет - это, знаете ли, дело десятое...

Я тоже раньше так думал.
Но ошибался. Теперь это очевидно.
В математике действительно существуют красивые абстракные конструкции.
Но реальные конструкции значительно красивее и совершеннее.
Математика реальная значительно лучше (и нужнее).

Первый тайм мы, похоже, отыграли.
2-ой тайм.

ТАК ЧТО ЖЕ ТАКОЕ ТОПОЛОГИЯ???

Ozes


Гладкое вещественное многообразие --- топологическое пространство с фиксированной C^r-структурой. При этом как Вы её будете фиксировать не важно, задав ли максимальный атлас, или соответсвующую структуру окольцованнго пространства. Из Вашего же определения следует, что если вы возьмете одно и то же топологическое пространство и выбирите разными способами атласы одинаковой гладкости, то получите разные многообразия. Это не есть хорошо.


> Из Вашего же определения следует, что если вы возьмете одно и то же топологическое пространство и выбирите разными способами атласы одинаковой гладкости, то получите разные многообразия. Это не есть хорошо.

Погодите, но ведь разные атласы задают РАЗНЫЕ многообразия! Можно и на вещественной прямой такую систему карт измыслить, что она и гладким многообразием-то не будет? Или Вы имеете в виду, что вся фишка именно в одинаковой гладкости атласов? Тогда поясните, пожалуйста, на примере!


> Что же касается самого процесса - то уровень невысокий.

Да, честно говоря, и Вы не Пуанкаре...;)

> > А уж имеет она отношение к реальности, не имеет - это, знаете ли, дело
десятое...

> Я тоже раньше так думал.
> Но ошибался. Теперь это очевидно.
> В математике действительно существуют красивые абстракные конструкции.
> Но реальные конструкции значительно красивее и совершеннее.
> Математика реальная значительно лучше (и нужнее).

Я ещё раз подчёркиваю - НУЖНОСТЬ тут вообще не при чём. Хотя, быть может, дело в том, что я просто глубокий перфекционалист. Это, кажется, фон Нейман сказал: "те, кто видят, что математика проста, просто не понимают, насколько сложна жизнь". )))

> Первый тайм мы, похоже, отыграли.
А счёт???)))

> 2-ой тайм.

> ТАК ЧТО ЖЕ ТАКОЕ ТОПОЛОГИЯ???
Тогда так. Скажите, каким критериям должно удовлетворять определение, чтобы старик державин нас заметил и так далее?



> Я ещё раз подчёркиваю - НУЖНОСТЬ тут вообще не при чём. Хотя, быть может, дело в том, что я просто глубокий перфекционалист. Это, кажется, фон Нейман сказал: "те, кто видят, что математика проста, просто не понимают, насколько сложна жизнь". )))

Нейман сказал правильно.

> > Первый тайм мы, похоже, отыграли.
> А счёт???)))

Будем считать ничейным, ведь результата нет.

> > 2-ой тайм.

> > ТАК ЧТО ЖЕ ТАКОЕ ТОПОЛОГИЯ???
> Тогда так. Скажите, каким критериям должно удовлетворять определение, чтобы старик державин нас заметил и так далее?

На первых порах - критерию Гаусса.
Подход Кантора хотя и простой, но ошибочный - это уже очевидно.
Определять следует квадрат понятия, а не само понятие.

Ozes


> > > ТАК ЧТО ЖЕ ТАКОЕ ТОПОЛОГИЯ???
> > Тогда так. Скажите, каким критериям должно удовлетворять определение, чтобы старик державин нас заметил и так далее?

> На первых порах - критерию Гаусса.
> Подход Кантора хотя и простой, но ошибочный - это уже очевидно.
> Определять следует квадрат понятия, а не само понятие.

Квадрат понятия... Нет, Озес, так не пойдёт! В ыже сами согласитесть, что это не критерий!!!


> > > > ТАК ЧТО ЖЕ ТАКОЕ ТОПОЛОГИЯ???
> > > Тогда так. Скажите, каким критериям должно удовлетворять определение, чтобы старик державин нас заметил и так далее?

> > На первых порах - критерию Гаусса.
> > Подход Кантора хотя и простой, но ошибочный - это уже очевидно.
> > Определять следует квадрат понятия, а не само понятие.

> Квадрат понятия... Нет, Озес, так не пойдёт! В ыже сами согласитесть, что это не критерий!!!

Почему???
Пифагор его определил, Гауссу он понравился. Мне - тоже.
Замечательно согласуется со всеми (!!!) физическими данными.
Полностью содержит в себе и Ваш подход.
Математически строгий.
Что еще нужно?
Чем он Вам не нравится???

Ozes


Надо фиксировать C^r-структуру на топологическом пространстве. Если Вы берете два атласа, любые две карты которых C^r согласованы, то эти карты задают одну и ту же С^r структуру, а значит мы получаем одно и тоже многообразие. Вот от этого я и хотел Вас предостереч. Может так получиться, что вы берете один гладкий С^r-атлас и второй гладкий C^r-атлас, но они гладко не согласуются, тогда Вы получаете две различные C^r-структуры на данном топологическом прострастве, т.е. разные многообразия. Еще может быть, что на топологическом пространстве есть и C^r-атлас, и С^s-атлас(r<>s ясное дело), тогда их согласование не осмысленно и говорят, что есть структура гладкости r и гладкости s.
Хороший пример --- вещественная ось R, на нём поясню.
Атлас(состоящий из одной карты): (R, id) задаёт структуру гладкого многообразия.
Атлас(состоящий из одной карты): (R,x|->x^3) задаёт структуру гладкого многообразия.
Но это разные многообразия: сквозное отображение(не в одном атласе, а сквозное отображение, возникающие при согласовании двух атласов) не диффеоморфно.
Теперь возьмем атлас(опять же из одной карты) (R,x|->x+1), но он очевидно, гладко согласуется с первым атласом и мы получаем два атласа, задающих одну и ту же гладкую структуру (одно и то же многообразие). Вот такая штука у вас в определении не учтена.


Пример ясен. Но, позвольте, я разве где-то в определении что-либо говорил про то, какие многообразия следует считать эквивалентными? Вы же не будете спорить, что под моё определение попадают ВСЕ (вещественные, допустим) гладкие многообразия, и ТОЛЬКО они?


> Чем он Вам не нравится???
КВАДРАТ ПОНЯТИЯ чем мне не нравится? Я, по всей видимости, отстал. Квдрат какого понятия определил Пифагор? Вообще, шире: ЧТО ТАКОЕ квадрат понятия? Поверьте, КАК ТОЛЬКО Вы объясните мне, что такое квадрат понятия, атк сразу мы и пойдём дальше)))
Я, признаться, совсем уже решил, что не в курсе современных веяний, просмотрел ряд новых энциклопедий и книг по матлогике - нигде нет квадратов понятий!


Не говорили, а надо. Причем про эквивалентность атласов, а не многообразий.

Ваше определение не определяет многообразие в той форме как оно понимается в математике. Попробую сказать так: взяли топологическое пространство с атласом на нем можно построить пучок гладких функций, взяли тоже пространство с атласом эквивалентным данному, опять получили пучок гладких функций, но пучки одиноковые, а значит и многообразия по всем свойствам тождественны, а Вы называете их разными.

Другой аргумент: в любой внятной книге по диф. геометрии или диф. топологии определние многообразия дается в том виде как говорю его я.


Я абсолютно согласен с Вашим примером, но я НЕ НАЗЫВАЮ эти многобразия разными! Я лишь повторю, что под моё определение попадают все гладкие вещественные многообразия, и только они!
А насчёт книг... Вы какие имеете в виду? Я просто откурыл "Курс дифференциальной геометрии" и топологии Фоменко и Мищенко - так там написано, как у меня!



> Другой аргумент: в любой внятной книге по диф. геометрии или диф. топологии определние многообразия дается в том виде как говорю его я.

А как говорите его Вы???

Ozes


Многообразие --- множество с фиксированной C^r-структурой (r=0,1,...,\infty, \omega).


> Многообразие --- множество с фиксированной C^r-структурой (r=0,1,...,\infty, \omega).

И как Вы это понимаете?
Или, даже более интересно: Как Вы фиксируете структуру???

Ozes


Чисто интуитивно я понимаю это как то, что я фиксировал пучок гладких функций (т.е. каждая точка имеет окрестность т.ч. сужения пучка на эту окрестность изоморфно (R^n, гладкие функции) как пространство с пучком.)


Про Мищенко-Фоменко правда, я очень удивлен. Буду много думать. Спасибо за указание.

Я имел ввиду, скажем, книги
1. Рохлин, Фукс Начальный курс топологии. Геометрические главы.
2. Хирш Дифференциальная топология.
3. Постников Лекции по геометрии. Семестр 3.
4. Арнольд Обыкновенные дифференциальные уравнения (глава про дифуры на многообразиях)
5. Серр Алгебры и группы Ли (глава про многообразия)
6. Прасолов Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии.


Вы тоже правы!)))
Но ведь Мищено-ФОменко это пишут не только в этом учебнике, а ещё, к примеру, в "Современной геометрии" (Фоменко, Дубровин, Новиков) и прочая, и прочая! А Фоменко ведь всё же завкаф её, родимой, и приложений да ещё и академик)))
хотя и Ваши граждане не лыком шиты!!!


Читаю Вашу дискуссию уважаемые господа. Очень она меня заинтересовала. Думаю об этом следующие:

Волновая функция вполне себе определяется, как матрица плотности специального вида (понятно, что написанно не верно, но я надеюсь, что понятно, что я имею ввиду). Ниличие операторов матрица плотности постулируется.

А вообще я физике уже несколько лет обучаюсь и думаю, что топологические пространства вполне себе реальны. Физика наука такая, что надо брать систему и пытаться описать её приемлемой моделью. Для этого приходиться применить математику. Как следствие эту математику приходиться выучить. Например, что бы считать погрешности экспериментов надо применять вещественные числа (потому что там для выводы формул для погрешности приходиться дифференцировать) поэтому надо знать про вещественные числа, а вещественные числа суть пополнения поля рациональных по специального вида норме. Но рациональные тут играют вспомогательную роль. Также и топологические пространства играют вспомогательную роль для построения скажем римановых многообразий (общая теория относительности) или введения топологии на пространстве наблюдаемых квантовых величин. Просто это удобно собрать нужные свойства в аксиомы получить из них кучу свойств и потом многократно применить в разных областях. Конечно встаёт проблема: когда первый раз читаешь эту максимально логически отжатую аксиоматику непонятно вообще ничего, никакой мотивации.

Время это не топологическое пространство это специфическая параметризация решения дифференциального уравнения.


> А вообще я физике уже несколько лет обучаюсь и думаю, что топологические пространства вполне себе реальны. Физика наука такая, что надо брать систему и пытаться описать её приемлемой моделью. Для этого приходиться применить математику. Как следствие эту математику приходиться выучить. Например, что бы считать погрешности экспериментов надо применять вещественные числа (потому что там для выводы формул для погрешности приходиться дифференцировать) поэтому надо знать про вещественные числа, а вещественные числа суть пополнения поля рациональных по специального вида норме. Но рациональные тут играют вспомогательную роль. Также и топологические пространства играют вспомогательную роль для построения скажем римановых многообразий (общая теория относительности) или введения топологии на пространстве наблюдаемых квантовых величин. Просто это удобно собрать нужные свойства в аксиомы получить из них кучу свойств и потом многократно применить в разных областях. Конечно встаёт проблема: когда первый раз читаешь эту максимально логически отжатую аксиоматику непонятно вообще ничего, никакой мотивации.

Естественно и топологическим пространствам вообще, и многообразиям разной степени причудливости есть место в физике. Достаточно сказать, что очень красивая математика естественно появляется при рассмотрении динамических задач. Более того, без такой серьезной математики многие интересные задачи не могли бы быть решены (примеров в той же механике хватает), часто потому, что правильные постановки вопросов оказались возможными только после глубоко проникновения в математическое устройство моделей. Думается такое представление можно смело считать общим местом, да и в любом случае математике не требуется физическое оправдание.

Есть однако две небезынтересные проблемы. Первая заключается в потенциально излишнем богатстве математики. Грубо говоря, формулируя модель, Вы неявно формулируете всевозможные следствия из нее, включая те, которые зависят от тонких деталей модели. На такой шаг принятия всего это множества фактов пойти нелегко, в частности еще и потому, что мы не можем быть уверены в такой точности модели (понятно, что термин модель здесь употребляется в некоем пиквикском смысле). Часто работа идет с неявно сформулированным множеством моделей и разумным является ответ с точностью до неких деталей в определении модели и потому приходится говорить, что вот этот результат нам подходит, а вот этот нет, даже если он и следует из исходных посылок. Логическое обоснование этому возможно только с позиций более общей теории, которой никогда не будет, в реальности же окончательное решение о справедливости результата осуществляется экспериментом. Вот возьмем тот же монополь Дирака. Исходное построение было, конечно, так себе (вынося за скобки имя Дирака, разумеется), но его потом существенно улучшили Ву и Янг, да и вообще привели все это дело в порядок. А вот нет пока монополей вместе с их объяснением квантования электрического заряда. В конце концов, возможно, выяснится, что они либо попадают в принципиально ненаблюдаемый диапазон энергий (что весьма неприглядно), либо они не реализуются поскольку с точки зрения более общей теории попадают в какой-нибудь плохой сектор теории.

Вторая проблема тесно связана с первой. Многие весьма и весьма полезные результаты были получены, опираясь на простую арифметику. Взять теорию твердого тела и периодически возбуждаемых систем (я имею в виду блоховские решения и теорему Флоке, соответственно). Это сейчас мы понимаем, что с точки зрения теории представлений все так получается красивенько, а читать первые работы на эту тему, наверное, просто невозможно. Но ведь сделано-то было некрасивенько! Я не знаю как Голдстоун доказывал свою теорему о спонтанном нарушении симметрии, но Хиггс точно в своих пионерских работах не оперировал ни сечениями, ни струями, ни связностями и т.д. Кстати говоря, думается, что именно поэтому мы говорим о Хиггсовском бозоне, а не о бозоне Эглерта-Брута-Хиггса. В первых работах Полякова о, хм, струне Полякова вообще нет дифференциальных форм (впрочем, какой аппарат у него использовался в следующих работах я не знаю, поскольку слишком уж это далеко от моих текущих интересов, а необъятное объять нельзя), хотя там это был бы вполне естественный язык. Взять ту же волновую функцию. Ее статистическую трактовку нельзя переоценить с точки зрения развития представлений квантовой механики, но, как Вы знаете, вероятность - штука довольно тонкая и, в частности, для того, чтобы придать полный смысл, необходимо вводить пространство исходов и меру на нем. Даже сейчас нет толкового изложения этих вопросов (на глаза как-то попадался обзор в УФН, который даже был в очереди на прочтение, но сейчас даже концов не найти). А взять функциональный анализ, владение понятиями которого делает изучение квантовой механики в легкую прогулку. Так проблема самосопряженности гамильтониана, решаемая в обычных учебниках по квантовой механике элегантным заметением под ковер, настолько серьезна, что заставила развить свою большую науку, знание которой мало помогает в исследовании квантовых систем в обычной жизни, а незнание делает уязвимым по отношению к простеньким парадоксам. Представляете на каком уровне была бы сейчас квантовая механика, если бы ее пытались двигать, разрешая по пути весь сонм математических проблем? Простая задача об оптических свойствах газа в электрическом поле превратилась бы в такое упражнение по функциональному анализу, что не дай бог.

Резюме тут вот какое. Математические объекты самого разного уровня сложности благополучно находят применение в физике и это понятно, однако структура предполагаемых объектов не сидит в исходной реальной ситуации. Необходима долгая работа по определению того, что там естественно, а что нет, и очень часто ответ находится только постфактум, когда в рамках модели уже удается найти решение тех или иных важных народно-хозяйственных задач. Здесь достаточно вспомнить уравнение Навье-Стокса.

> Время это не топологическое пространство это специфическая параметризация решения дифференциального уравнения.

Позволю себе здесь повредничать и заметить, что это зависит от задачи. Так, например, в полевых задачах частенько время входит в числе рядовых координат на многообразиях.


И придумал следующее: в книгах тех наверно так написано, чтобы не отвлекаться на эту деталь, обычно достаточно фиксировать какую-то дифференциальную структуру и с ней постоянно работать, что они и делают. Однако, существуют случаи когда это деталь очень важна. Пример: результат склейки двух гладких многообразий по краю не имеет канонической гладкой структуры, только каноническую с точностью до диффеоморфизма.

Другой аргумент: ограничиваясь таким опрделением многообразия как Вы даете, Вы теряте целую кучу очень интересных задач о существовании не эквивалентных дифференциальных структур.
Задача: сколько существует различных дифференциальных структур на R^1?


Обращение к математическому сообществу.
=== 1. Мы часто слышим или сами произносим реплики-оценки "правильный ответ", "не правильный ответ", "верный ответ", "не верный ответ". Можно считать их синонимами. Этимологически их можно различить. "Правильный ответ" - ответ, полученный по заданнып правилам вывода. Учителя часто это и подразумевают, когда оценивают ответы учеников. "Верный ответ" - ответ, совпавший с ожидаемым. Во многих конкурсах на эрудицию уместна такая оценка, так как ответ получают из знания или гадания и, в случае совпадения, произносится утвердительный вариант оценки. Согласны ли вы, как математики, с такой трактовкой?
=== 2. "Пропорция, пропорциональность" - математический признак, часто употребляемый в задачах из математики, физики, химии и др. Привожу пример из Форума по физике...
> > Люди!!!!!!! Помогите, завтра зачет.Препод,гад, дал задачу, а я туплю. Вот условие. Количество света, поглощающееся при прохождении через слой воды пропорционально толщине слоя воды и количеству света, падающего на поверхность. При прохождении слоя воды толщиной 3м поглощается половина первоначального количества света. Какая часть количества света дойдет до глубины 30 метров? Заранее спасибо.
===Ответ:
Закон поглощения света: I = Io*e^-kx. I - количество освещения, х - толщина слоя, к - кэф прозрачности, е - основание натур логарифма. Тогда в условии задачи должно было сказано, что количество освещенности /света/, дошедшего до заданной глубины пропорционально первоначальному количеству освещения, а логарифм количества освещения обратно пропорционален толщине слоя.
Если составить формулу согласно условиям данной выше задачи, то получится I = Io*(1-1/x). А можно и так рассудить: раз в слое 3м поглотилась половина света, а по условию задачи КОЛИЧЕСТВО ПОГЛОЩЕННОГО СВЕТА ПРОПОРЦИОНАЛЬНО ТОЛЩИНЕ СЛОЯ, то в следующем слое 3м он поглотится полностью. Если строго следовать условиям задачи, ответ I/Io=0, если применить обратную пропорцию, то I/Io =1/20, если применить закон поглощения, на который в задаче нет ссылки, то Io/I= 2^(3/30)=1/1024.
> > Люди!!!!!!! Помогите, завтра зачет.Препод,гад, дал задачу, а я туплю.
Получается, как минимум, три "правильных" ответа, а каков же "верный" ответ? Совпавший с ответом в задачнике, или по усмотрению "препода", или признать указанную задачу не корректно составленной? Есть от чего "тупить"!
РАССУДИТЕ,ПОЖАЛУЙСТА!


> Обращение к математическому сообществу.
> === 1. Мы часто слышим или сами произносим реплики-оценки "правильный ответ", "не правильный ответ", "верный ответ", "не верный ответ". Можно считать их синонимами. Этимологически их можно различить. "Правильный ответ" - ответ, полученный по заданнып правилам вывода. Учителя часто это и подразумевают, когда оценивают ответы учеников. "Верный ответ" - ответ, совпавший с ожидаемым. Во многих конкурсах на эрудицию уместна такая оценка, так как ответ получают из знания или гадания и, в случае совпадения, произносится утвердительный вариант оценки. Согласны ли вы, как математики, с такой трактовкой?
> === 2. "Пропорция, пропорциональность" - математический признак, часто употребляемый в задачах из математики, физики, химии и др. Привожу пример из Форума по физике...
> > > Люди!!!!!!! Помогите, завтра зачет.Препод,гад, дал задачу, а я туплю. Вот условие. Количество света, поглощающееся при прохождении через слой воды пропорционально толщине слоя воды и количеству света, падающего на поверхность. При прохождении слоя воды толщиной 3м поглощается половина первоначального количества света. Какая часть количества света дойдет до глубины 30 метров? Заранее спасибо.
> ===Ответ:
> Закон поглощения света: I = Io*e^-kx. I - количество освещения, х - толщина слоя, к - кэф прозрачности, е - основание натур логарифма. Тогда в условии задачи должно было сказано, что количество освещенности /света/, дошедшего до заданной глубины пропорционально первоначальному количеству освещения, а логарифм количества освещения обратно пропорционален толщине слоя.
> Если составить формулу согласно условиям данной выше задачи, то получится I = Io*(1-1/x). А можно и так рассудить: раз в слое 3м поглотилась половина света, а по условию задачи КОЛИЧЕСТВО ПОГЛОЩЕННОГО СВЕТА ПРОПОРЦИОНАЛЬНО ТОЛЩИНЕ СЛОЯ, то в следующем слое 3м он поглотится полностью. Если строго следовать условиям задачи, ответ I/Io=0, если применить обратную пропорцию, то I/Io =1/20, если применить закон поглощения, на который в задаче нет ссылки, то Io/I= 2^(3/30)=1/1024.
> > > Люди!!!!!!! Помогите, завтра зачет.Препод,гад, дал задачу, а я туплю.
> Получается, как минимум, три "правильных" ответа, а каков же "верный" ответ? Совпавший с ответом в задачнике, или по усмотрению "препода", или признать указанную задачу не корректно составленной? Есть от чего "тупить"!
> РАССУДИТЕ,ПОЖАЛУЙСТА!

Вы пропустили часть условия, а именно: "Количество света, поглощающееся при прохождении через слой воды пропорционально толщине слоя воды _и_количеству_света,_падающего_на_поверхность." (Часть, на которую Вы не обратили внимания, выделена подчеркиванием).
Из сказанного следует, что во втором 3-х метровом слое поглотится вдвое меньше, чем в первом - потому, что на границу второго слоя попало вдвое меньше света. Таким образом, в каждом очередном таком слое поглотится 1/2, а всего до глубины 30 метров дойдет 1/1024 часть.
Последовательно проводя это рассуждение и переходя к пределу, можно вывести и выражение для закона поглощения с экспонентой.


> Вы пропустили часть условия, а именно: "Количество света, поглощающееся при прохождении через слой воды пропорционально толщине слоя воды _и_количеству_света,_падающего_на_поверхность." (Часть, на которую Вы не обратили внимания, выделена подчеркиванием).
> Из сказанного следует, что во втором 3-х метровом слое поглотится вдвое меньше, чем в первом - потому, что на границу второго слоя попало вдвое меньше света. Таким образом, в каждом очередном таком слое поглотится 1/2, а всего до глубины 30 метров дойдет 1/1024 часть.
> Последовательно проводя это рассуждение и переходя к пределу, можно вывести и выражение для закона поглощения с экспонентой.

Я специально посмотрел учебник математики для шестого класа. В нем записано: выражение а = с*в означает, что величина а пропопорциальна в и пропорциональна с. Выражение а = с/в означает, что величина а прямо пропорциональна с и обратно пропорциональна в. Какую формулу мы получим, если будем строго следовать условиям задачи и понятию пропорциональности? Правильно ли я трактую формулу a = c^в , если выражусь: а пропорциональна с и пропорциальна в? Или так: а пропорциональна логарифму в при основании с? Вы привели верное решение для этой задачи, но для этого Вы вынуждены были доказывать математическую теорему.
Может быть, Вы и правы - зря я придираюсь к терминологии.



> > Вы пропустили часть условия, а именно: "Количество света, поглощающееся при прохождении через слой воды пропорционально толщине слоя воды _и_количеству_света,_падающего_на_поверхность." (Часть, на которую Вы не обратили внимания, выделена подчеркиванием).
> > Из сказанного следует, что во втором 3-х метровом слое поглотится вдвое меньше, чем в первом - потому, что на границу второго слоя попало вдвое меньше света. Таким образом, в каждом очередном таком слое поглотится 1/2, а всего до глубины 30 метров дойдет 1/1024 часть.
> > Последовательно проводя это рассуждение и переходя к пределу, можно вывести и выражение для закона поглощения с экспонентой.

> Я специально посмотрел учебник математики для шестого класа. В нем записано: выражение а = с*в означает, что величина а пропопорциальна в и пропорциональна с. Выражение а = с/в означает, что величина а прямо пропорциональна с и обратно пропорциональна в. Какую формулу мы получим, если будем строго следовать условиям задачи и понятию пропорциональности? Правильно ли я трактую формулу a = c^в , если выражусь: а пропорциональна с и пропорциальна в? Или так: а пропорциональна логарифму в при основании с? Вы привели верное решение для этой задачи, но для этого Вы вынуждены были доказывать математическую теорему.
> Может быть, Вы и правы - зря я придираюсь к терминологии.


Автор задачи пропустил, как подразумевающееся, слово "прямо". Обратная пропорциональность отбрасывается из физических соображений (задача-то по физике?).
a=b^c не подразумевает пропорциональности ни в каком смысле. Вы понимаете ее неправильно.



> Автор задачи пропустил, как подразумевающееся, слово "прямо". Обратная пропорциональность отбрасывается из физических соображений (задача-то по физике?).
> a=b^c не подразумевает пропорциональности ни в каком смысле. Вы понимаете ее неправильно.

Вы, Женя, льете воду на мою мельницу. Формула закона поглощения света Ix = Io*e^-kx , по-вашему,
>"не подразумевает пропорциональности ни в каком смысле".
Значит, закон поглощения в виде показательной функции нельзя вывести, если в задаче указаны две пропорциональных зависимости: от Io и от x?
>"Количество света, поглощающееся при прохождении через слой воды пропорционально толщине слоя воды_и_количеству_света,падающего_на_поверхность." (Часть, на которую Вы не обратили внимания, выделена подчеркиванием).
Поэтому я и обратил внимание Форума на корректность данной физической задачи.
По учебнику математики 6 кл пропорциональность подразумевает операции однократного умножения или, обратно, деления. В задаче нет указания на логарифмическую или экспоненциальную зависимость. ГОВОРИТСЯ ТОЛЬКО О ПРОПОРЦИОНАЛЬНОЙ ЗАВИСИМОСТИ. Я нашел верное решение этой задачи только с помощью формулы закона поглощения, в котором подразумевается экспоненциальноя зависимость от толщины слоя воды. Ведь понятие "пропорциональность" не должно трактоваться произвольно, если оно уже определено в учебнике?


Геодезическая являетяс обобщением прямой на случай "кривых" поверхностей. У меня сложности с пониманием определения геодезической. Если определить её как кратчайший путь между двумя точками на поверхности, надо знать скорость движения, то есть фактически измерять расстояния. А какую метрику при этом использовать? Если определять геодезическую как экстремать семейства кривых, соединяющих данные точки, то длина кривой всё равно определяется через сумму стягивающих хорд-прямых. А что считать прямой?
20 января 2005 г. 12:35:


Вот что Вы пишите:вы не найдете определения математики ни в одном из наиболее популярных курсов математического анализа и дифференциального исчисления, ни у Л.Д.Кудрявцева, ни у Г.М.Фихтенгольца. А если и найдете где-либо, то оно будет аналогично сделанному.

Вот смотрите и ни каких законов перехода количественных измененний в качественные
Математика это искусство называть разные вещи одними и теми же именами.
Математика - это философия доведённая до уровня практического применения
26 мая 2005 г. 17:04:


> 26 мая 2005 г. 17:04:
> Вот смотрите и ни каких законов перехода количественных измененний в качественные
> Математика это искусство называть разные вещи одними и теми же именами.

Если Знатокам предложить угадать, с трех раз, о каком понятии идет речь, по данному выше определению, то выиграют телезрители. Знатоки назовут два диагноза и одно амплуа - и не угадают.

> Математика - это философия доведённая до уровня практического применения.

Такое суждение ближе к определяемому понятию, но Знатоки, очень вероятно, выбирали бы из двух вариантов: или матершина, или строевой устав. Опять выиграет телезритель, то есть определитель.


Сообщение №18148 от Ираклий , 30 мая 2006 г. 18:16:

> - Забыл, не знал, не помню что такое "ординал" - не дадите ли определение?

Вполне упорядоченные множества распадаются на классы эквивалентности. (Два ВУМ эквивалентны, если между ними имеется биекция, т.е. взаимно-однозначное соответствие, сохраняющая порядок.) По некоторому правилу из этих классов выбираются представители, которые образуют систему вложенных друг в друга множеств:
0 с 1 с 2 с ... c N c ...

В этом списке 0 - это пустое множество, а каждый последующий элемент - множество всех предыдущих элементов. Это и есть ординалы. Любое множество ординалов вполне упорядочено отношением включения "с". Но не существует множества (в ZF), состоящего из всех этих ординалов.

> А вообще спасибо. Хоть вы и чураетесь переписки по мейлу, но вы похоже математик.

Всего лишь студент... :-) А форум ничем не плох для обсуждения этих вопросов, тем более, это может быть еще кому-то интересно.
-----------------------------------------------------
На всякий случай:
Вполне упорядоченное множество - это такое линейно упорядоченное множество, что любое его подмножество содержит наименьший элемент.

Например, натуральные числа вполне упорядочены, а рациональные - нет.


> Вполне упорядоченное множество - это такое линейно упорядоченное множество, что любое его подмножество содержит наименьший элемент.

А какую нагрузку в этом определении несёт слово «линейно».
Можно упорядочить нелинейно?


> > Вполне упорядоченное множество - это такое линейно упорядоченное множество, что любое его подмножество содержит наименьший элемент.

> А какую нагрузку в этом определении несёт слово «линейно».

Привет!
Множество называется линейно упорядоченным, если на нем задано бинарное отношение R со свойствами:
1)транзитивность: xRy, yRz => xRz
2)антирефлексивность: xRy, yRx => x=y
3)связность: для любых x и y выполнено xRy или yRx

> Можно упорядочить нелинейно?

Если связность ослабить до рефлексивности (для любого x выполнено xRx), то получаем отношение частичного порядка. Множество будет называться частично упорядоченным.



> Множество называется линейно упорядоченным, если на нем задано бинарное отношение R со свойствами:
> 1)транзитивность: xRy, yRz => xRz
> 2)антирефлексивность: xRy, yRx => x=y
> 3)связность: для любых x и y выполнено xRy или yRx

> > Можно упорядочить нелинейно?

> Если связность ослабить до рефлексивности (для любого x выполнено xRx), то получаем отношение частичного порядка. Множество будет называться частично упорядоченным.

Привет Ираклий.
Помогите разобраться.
Насколько я понимаю по части упорядоченности множеств можно охарактеризовать множества так (Т.е. множества могут обладать следующими свойствами):

-- Множество упорядоченное
-- Множество частично упорядоченное
-- Множество линейно упорядоченное
-- Множество вполне упорядоченное

Пусть имеется некоторое множество.
Может ли оно обладать одновременно многими этими свойствами?
И если может, то каковы соотношения (вложенности, пересечения)?


> Насколько я понимаю по части упорядоченности множеств можно охарактеризовать множества так (Т.е. множества могут обладать следующими свойствами):

> -- Множество упорядоченное
> -- Множество частично упорядоченное
> -- Множество линейно упорядоченное
> -- Множество вполне упорядоченное

В разных источниках термин "упорядоченное" может иметь разный смысл: либо "частично упорядоченное", либо "линейно упорядоченное". Ситуация такая, как с термином "возрастающая функция" - строго или нестрого?

В связи с такой путаницей я предпочитаю (и другим советую :) ) избегать не однозначности и употреблять лишь термины ч.у.м. и л.у.м.

По силе эти понятия распологаются так:
в.у.п - узкий класс, содержится в
л.у.п. - средний класс, содержится в
ч.у.м. - широкий класс.


> > Насколько я понимаю по части упорядоченности множеств можно охарактеризовать множества так (Т.е. множества могут обладать следующими свойствами):

> > -- Множество упорядоченное
> > -- Множество частично упорядоченное
> > -- Множество линейно упорядоченное
> > -- Множество вполне упорядоченное

> В разных источниках термин "упорядоченное" может иметь разный смысл: либо "частично упорядоченное", либо "линейно упорядоченное". Ситуация такая, как с термином "возрастающая функция" - строго или нестрого?

> В связи с такой путаницей я предпочитаю (и другим советую :) ) избегать не однозначности и употреблять лишь термины ч.у.м. и л.у.м.

> По силе эти понятия распологаются так:
> в.у.п - узкий класс, содержится в
> л.у.п. - средний класс, содержится в
> ч.у.м. - широкий класс.

В предыдущем сообщении Вы дали такое определение линейно упорядоченного множества:

Множество называется линейно упорядоченным,
если на нем задано бинарное отношение R со свойствами:

1)транзитивность: xRy, yRz => xRz
2)антирефлексивность: xRy, yRx => x=y
3)связность: для любых x и y выполнено xRy или yRx

Прочитав его, у меня возникло вопрос: Если сказано, что: «….если на нем задано бинарное отношение R», то это и означает, что для любых двух множеств выполняется соотношение: «xRy или yRx».

В чем моя ошибка?


> Прочитав его, у меня возникло вопрос: Если сказано, что: «….если на нем задано бинарное отношение R», то это и означает, что для любых двух множеств выполняется соотношение: «xRy или yRx».

Гм... Это не совсем так. ;-)))

Пусть дано множество M. Бинарным отношением на нем называется любое подмножество R c MxM. Другими словами, R состоит из упорядоченных пар (x,y), где x и y - элементы M. (Но не обязательно из всех таких пар.) Вместо того, чтобы писать "(x,y) принадлежит R", пишут xRy.

Частный случай: R пусто. Тогда условие связности не выполняется. (Конечно, если M не пусто.)


>… то это и означает, что для любых двух множеств выполняется соотношение: «xRy или yRx».


У меня, разумеется, описка в тексте. Необходимо читать так:

«….то это и означает, что для любых двух ЭЛЕМЕНТОВ множества выполняется соотношение: «xRy или yRx»».

Изменится что либо из-за этой поправки?



> У меня, разумеется, описка в тексте. Необходимо читать так:
> «….то это и означает, что для любых двух ЭЛЕМЕНТОВ множества выполняется соотношение: «xRy или yRx»».
> Изменится что либо из-за этой поправки?

:-? Думаю, это маловероятно...
:-0 (Это, случайно, не розыгрышь?)


> Пусть дано множество M. Бинарным отношением на нем называется любое подмножество R c MxM. Другими словами, R состоит из упорядоченных пар (x,y), где x и y - элементы M. (Но не обязательно из всех таких пар.) Вместо того, чтобы писать "(x,y) принадлежит R", пишут xRy.

Уважаемый Ираклий.
Мне встречались тексты, где буквально написано так:

Под Бинарным отношением иногда понимают подмножество множества MxM упорядоченных пар … и т.д.

В чем идея этого «ИНОГДА»


> Под Бинарным отношением иногда понимают подмножество множества MxM упорядоченных пар … и т.д.

> В чем идея этого «ИНОГДА»

Не могу знать наверняка, что имели в виду авторы этих текстов, но возможна ситуация, когда отношение определено не на одном множестве, а на нескольких:

n-арным отношением на множествах S1, ..., Sn называется подмножество декартева произведения S1x...xSn.

При n=2 получаем определение бинарного отношения, но в более широком смысле, чем тот, который ИНОГДА (точнее, чаще всего :) ) приписывается этому термину.


"мультирадиус = эллипс"
насколько верно такое определение?


> "мультирадиус = эллипс"
> насколько верно такое определение?

Ни на сколько. Определение понятия - объяснение несколькими понятными словами значения определяемого слова. Или указание формулы, включающей в себя определяемое понятие и определители с операторами. Или указание определенного вида и родового признака определяемого понятия.
В геометрии: радиус - расстояние от центра поворота до кривой линии,
Эллипс - проекция окружности на плоскость под углом, отличным от 0 и 90 градусов.
Про "мультирадиус" лыжных дел столяры объяснят.



> Про "мультирадиус" лыжных дел столяры объяснят.

дык нет... там не правильное определение дадут.
Хотелось бы здесь узнать. Как математики рассматривают данные математические понятия, быть может, даже, если эти понятия спроецированы на спортивный снаряд.

со своей стороны я считаю,- раз есть понятие радиус, пусть даже с приставкой "малти", то о элипсе уже не может быть и речи. Или я тоже не прав? Я просто не могу вспомнить, в каких определениях элипса оговаривается радиус.


>
> > Про "мультирадиус" лыжных дел столяры объяснят.

> дык нет... там не правильное определение дадут.
> Хотелось бы здесь узнать. Как математики рассматривают данные математические понятия, быть может, даже, если эти понятия спроецированы на спортивный снаряд.

> со своей стороны я считаю,- раз есть понятие радиус, пусть даже с приставкой "малти", то о элипсе уже не может быть и речи. Или я тоже не прав? Я просто не могу вспомнить, в каких определениях элипса оговаривается радиус.

изобразите "мультирадиус" на бумаге, а зрители решат - что это такое. Одни закричат: "так это ж овал!", другие: "так юто ж булка!"


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100