Метод Рунге Кутты десятого порядка.

Сообщение №1275 от Ana 16 октября 2001 г. 08:53
Тема: Метод Рунге Кутты десятого порядка.



Метод Рунге Кутты десятого порядка.

Есть ли у кого из участников форума опыт практического использования прямых методов высокого порядка (10-го, например).
Или какие-то соображения по этой теме.
Системы ДУ порядка двенадцатого.
Основной вопрос.
Есть ли выгода по отношению к традиционному методу четвертого порядка.
Речь идет о перекачки порядка метода в число шагов.


Отклики на это сообщение:

В большинстве случаев это смысла не имеет.

Во-первых нужно знать правую часть с 11 порядком
и гарантировать что решение имеет такую же гладкость.

Второе, решение должно быть достаточно монотонно и не иметь
больших производных (11!) порядка. Например, если решение
sin(W*t) то в производной будет стоять W^11 как следствие выигрыша в точности по сравнению со схемой первого порядка не будет.

Грубо говоря, если ограничение на шаг обусловлено условием
апроксимации, то имеет смысл повышать порядок схемы. Если
из условия устойчивости то нет.

В случае если у задачи спектр комплексный, применять схемы
выше второго порядка бессмыслено. Если задача имеет действительный спектр и решение достаточно гладко, то можно попробовать.



Спасибо за ответ.

>В большинстве случаев это смысла не имеет.
Именно к такому выводу я пришла, но интересно было, м.б. кто что-то полезное усмотрел.

>В случае если у задачи спектр комплексный, применять схемы
выше второго порядка бессмыслено.
>Если задача имеет действительный спектр и решение достаточно гладко, то можно попробовать.

Про какой спектр вы говорите?

Я веду речь о нелинейной системы ДУ с очень сложными правыми частями.
Предполагала сначала, что будет выигрыш в точности-быстродействии.
Но все съедает большое количество обращений к правым частям.

В итоге при одинаковых количествах обращений к правым частям – точность практически одинаковая по отношению к классическому 4-го порядка..
Проблема разрядности и быстродействия теперь стали не актуальными из-за высокой мощности вычислительных систем. .

Складывается впечатление, что Батчер зря старался.
Спасибо (еще раз)


> Спасибо за ответ.

> >В большинстве случаев это смысла не имеет.
> Именно к такому выводу я пришла, но интересно было, м.б. кто что-то полезное усмотрел.

> >В случае если у задачи спектр комплексный, применять схемы
> выше второго порядка бессмыслено.
> >Если задача имеет действительный спектр и решение достаточно гладко, то можно попробовать.

> Про какой спектр вы говорите?
>
> Я веду речь о нелинейной системы ДУ с очень сложными правыми частями.
> Предполагала сначала, что будет выигрыш в точности-быстродействии.
> Но все съедает большое количество обращений к правым частям.

Речь идет о локальном спектре. Всегда F(x(t),t)
можно локально апроксимировать А(t)x
Про спектр матрицы А речь и идет.


> В итоге при одинаковых количествах обращений к правым частям – точность практически одинаковая по отношению к классическому 4-го порядка..

Значит ограничение на шаг идет из условия устойчивости.
Можно попробовать многошаговые методы (с переменным шагом)
например Чебышевские.


Модельная задача для реальной физической ситуации должна иметь решение, которое возможно получить методом Эйлера.

если бы не соображения научной изощренности ,я бы все решал методом эйлера...


> Модельная задача для реальной физической ситуации должна иметь решение, которое возможно получить методом Эйлера.

> если бы не соображения научной изощренности ,я бы все решал методом эйлера...


Проще классического метода RК четвертого порядка ничего не бывает!



> Модельная задача для реальной физической ситуации должна иметь решение, которое возможно получить методом Эйлера.

> если бы не соображения научной изощренности ,я бы все решал методом эйлера...

Ну-ка ну-ка реши мне численно методом Эйлера
уравнение y'=sin(t)y, я на тебя посмотрю.


> > Модельная задача для реальной физической ситуации должна иметь решение, которое возможно получить методом Эйлера.

> > если бы не соображения научной изощренности ,я бы все решал методом эйлера...

> Ну-ка ну-ка реши мне численно методом Эйлера
> уравнение y'=sin(t)y, я на тебя посмотрю.

Ну а в чем проблема?
y0=c, t>=0
y1=y0+h*sin0*c=c
y2=y1+h*sinh*y0=c+hc*sinh
...
ты хотел сказать, что явный метод непригоден потому, что при методе эйлера функция на сетке всегда ноль?
Ну допустим, хотя см. выше ты не прав для данного примера, в некоторых случаях так бывает.
Но тогда тебя спрошу:
какую РЕАЛЬНУЮ ФИЗИЧЕСКУЮ ситуацию моделирует твой пример?
Примеры, которые обычно приводят в книжках по вычматам, сочиняют математики, и примеры они берут с потолка.



Я говорил решить численно, а не выписать схему.
На участках где sin(t) положительный метод Эйлера неустойчив.
У тебя будут очень быстро расти ошибки округления.
В результате после 10 периодов ты получишь полную ерунду.
При этом функция решения ограничена.

А реальный пример это просто. Любой оператор имеющий
положительный спектр. Ну напрмер размножение нейтронов
в ядерном реакторе.


> Я говорил решить численно, а не выписать схему.
> На участках где sin(t) положительный метод Эйлера неустойчив.
> У тебя будут очень быстро расти ошибки округления.
> В результате после 10 периодов ты получишь полную ерунду.
> При этом функция решения ограничена.

Ну не знаю.. решение типа А*ехр(cost), периодическое...


> А реальный пример это просто. Любой оператор имеющий
> положительный спектр. Ну напрмер размножение нейтронов
> в ядерном реакторе.
>
>


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100