Обсуждение темы Озолина Э.Э. -Проблемы иррациональности-.

Сообщение №11919 от 25 июля 2004 г. 18:09
Тема: Обсуждение темы Озолина Э.Э. -Проблемы иррациональности-.

Для того, чтобы автор темы мог редактировать, исправлять, дополнять (добавляя разделы) свой текст, прошу все сообщения желающих участвовать в обсуждении помещать здесь.
Тему, открытую Озолиным, предоставим ему.
Автор (ozes) может её открывать (после своих редакций) заново или добавлять разделы.
Старые версии будут по его желанию удалены.
CoModerator


Отклики на это сообщение:

> Для того, чтобы автор темы мог редактировать, исправлять, дополнять (добавляя разделы) свой текст, прошу все сообщения желающих участвовать в обсуждении помещать здесь.
> Тему, открытую Озолиным, предоставим ему.
> Автор (ozes) может её открывать (после своих редакций) заново или добавлять разделы.
> Старые версии будут по его желанию удалены.
> CoModerator
Если p=2r^2,то 4r^4=2q^2 (у Вас красным цветом написано 4r^2=2q^2 это ошибка)
Поэтому q=(sqrt2)r^2 .Никаких проблем с иррациональностью.
Клещ


> Вообще говоря, аппроксимация по Гауссу - это не совсем "метод наименьших квадратов. ". Это - логическая концепция Гаусса, которая реализуется в традиционной математике посредством "метода наименьших квадратов".

Не могли бы Вы пояснить, о чем здесь речь.
Насколько я понимаю нахождение полинома, на котором достигается минимум по критерию «суммы квадратов отклонений», одна из экстремальных задач для функции конечного числа переменных.
Можно решать разными способами.

Вы привели еще один. (с использованием сочетаний).
Причем здесь дисперсии совсем не поняла.


Разъясните, пожалуйста, мне такой вопрос: иррациональное число удовлетворяет аксиомам действительных чисел, тогда почему нельзя разделить множество всех действительных чисел на числа с заданными свойствами и остальные? Т.е. выделить целые, рациональные, а остальные например назвать иррациональными.
И ещё вопрос по Вашей фразе:
"Построить логически полную и непротиворечивую систему можно, но логические принципы ее построения должны быть несколько иными (металогическими, а не аксиоматическими). То есть, логика, идеология и методы построения таких систем будут достаточно сильно отличатся от традиционных."
Как Вы можете утверждать, что что-то можно построить не построив? И какими конкретно должны быть эти принципы. Приведите пример металогических принципов, на которых это можно построить.
25 июля 18:10
____________________________________
Re: Обсуждение темы Озолина Э.Э. .
ozes 25 июля 18:13
Обсуждение темы Озолина Э.Э. . от флоп , 25 июля 2004 г.:
> Разъясните пожалуйста мне такой вопрос: иррациональное число удовлетворяет аксиомам действительных чисел, тогда почему нельзя разделить множество всех действительных чисел на числа с заданными свойствами и остальные? Т.е. выделить целые, рациональные, а остальные например назвать иррациональными.
В вашем вопросе содержится ошибка.
Множество действительных чисел не является аксиоматическим.
Аксиоматическим является множество рациональных чисел.
А множество действительных чисел определяется по Кантору, то есть это неопределяемое понятие. Описываются лишь свойства этого множества - плотность, существование предельных значений, возможность выполнить сечение и т.д.
Далее.
Я нигде не утверждал, что множество действительных чисел нельзя разделить на множество чисел с заданными свойствами, и все остальные.
Сделать это можно.
Например, целые числа и все остальные.
Рациональные числа, и все остальные.
Но такое разделение для математики не представляет никакого интереса.
Интерес представляют лишь логически полные множества, поскольку лишь на этих множествах невозможно получить противоречивые результаты (решить математическую задачу). В этом смысле множество целых чисел является логически полным, а множество рациональных чисел логически полным не является.
Далее вполне очевидно, что если не является логически полным множество рациональных чисел, то не может быть полным и множество "всех остальных чисел".
> И ещё вопрос по Вашей фразе:
> "Построить логически полную и непротиворечивую систему можно, но логические принципы ее построения должны быть несколько иными (металогическими, а не аксиоматическими). То есть, логика, идеология и методы построения таких систем будут достаточно сильно отличатся от традиционных."
> Как Вы можете утверждать, что что-то можно построить не построив? И какими конкретно должны быть эти принципы. Приведите пример металогических принципов, на которых это можно построить.
Нельзя сказать, что я это не построил, как нельзя утверждать и обратное.
Я говорю следующее:
Да, действительно, проблема иррациональности и построения логически полного числового множества стоит в современной математике и физике очень остро. Но нет никакой необходимости строить некоторое универсальное логически полное числовое множество, пригодное для решения всех задач. Кроме этого, ни множество действительных чисел, ни множество комплексных чисел, ни кватернионы этим свойством не обладают.
Поэтому я (вслед за Пифагором и Гауссом) говорю, что следует отказаться от этой безнадежной затеи построения "универсального полного множества чисел", а научится строить полное числовое множество для каждой и любой задачи в отдельности.
Сделать это несложно, и некоторые практические приемы такого построения я уже показал.
Тогда, взяв любую заданную задачу, мы можем построить отвечающее ей полное числовое множество. Разумеется, эти числовые множества для разных задач будут разными, но все они будут логически полными в рамках данной задачи.
Таким образом, проблема иррациональности будет решена, поскольку для любой задачи мы можем построить логически полное числовое множество, которое ей отвечает.
Что касается принципов построения, то это делается почти автоматически на основе металогического анализа. Формальные основы этого я уже частично показал.
Но если есть необходимость рассмотрения этого вопроса более подробно, то я постараюсь это сделать.
Ozes
____________________________________

Re: Обсуждение темы Озолина Э.Э. .
флоп 25 июля 18:15
Re: Обсуждение темы Озолина Э.Э. . от ozes , 25 июля 2004 г.:
> В вашем вопросе содержится ошибка.
> Множество действительных чисел не является аксиоматическим.
> Аксиоматическим является множество рациональных чисел.
> А множество действительных чисел определяется по Кантору, то есть это неопределяемое понятие. Описываются лишь свойства этого множества - плотность, существование предельных значений, возможность выполнить сечение и т.д.
Т.е. задание свойств элементов множества, не есть аксиоматика? А что ж это такое тогда? И Вам не всё равно, какие объекты обладают свойствами действительных чисел? То что среди действительных чисел можно выделить объекты со свойствами рациональных или целых, не есть следствие построения действительных чисел из рациональных. Это разные множества по-моему.
И ещё о противоречивости или нет логически полных множеств. Это не совсем верное утверждение, что они непротиворечивы. Насколько я понимаю, вера в непротиворечивость множества натуральных чисел держится только на опыте работы с ними, а не есть результат Вашего утверждения, что они обязаны таковыми быть.

____________________________________
Re: Обсуждение темы Озолина Э.Э. .
ozes 26 июля 00:55
В ответ на Re: Обсуждение темы Озолина Э.Э. . от флоп , 25 июля 2004 г.:
> > В вашем вопросе содержится ошибка.
> > Множество действительных чисел не является аксиоматическим.
> > Аксиоматическим является множество рациональных чисел.
> > А множество действительных чисел определяется по Кантору, то есть это неопределяемое понятие. Описываются лишь свойства этого множества - плотность, существование предельных значений, возможность выполнить сечение и т.д.
> Т.е. задание свойств элементов множества, не есть аксиоматика? А что ж это такое тогда? И Вам не всё равно, какие объекты обладают свойствами действительных чисел? То что среди действительных чисел можно выделить объекты со свойствами рациональных или целых, не есть следствие построения действительных чисел из рациональных. Это разные множества по-моему.
Вы здесь затронули достаточно сложную тему первичной аксиоматики.
Если говорить коротко, то здесь вопрос стоит о том, что можно считать аксиомой, а что нельзя? И вообще, что такое аксимы, и зачем они нужны?
Да, действительно, в современной математике достаточно часто пользуются определением множеств через их свойства (выполнимые операции, возможность сравнения элементов и т.д.). Но,как я уже сказал, канторовский подход к определению множеств через их свойства (как показал Рассел)оказался логически ошибочным. Поэтому конструктивная математика считает это неправомерным.
В метаматематике канторовский подход тоже считается неприемлемым.
Вообще говоря, понятие аксиомы предполагает некоторое первоначальное интуитивное представление об интересующем нас объекте. Например, образ прямой необходимо первоначально научиться строить (натянуть веревку между двумя точками, провести линию по линейке и т.д.), а лишь затем определять ее свойства (кратчайшего расстояния между двумя точками).
Но Кантор предположил, что интуитивное представление является лишним и его можно отбросить, а оставить лишь одни свойства.
Но в таком случае однозначное определение объекта оказывается невозможном. И оказывается невозможным не только потому, что возникает "проблема единственности" (о которой я уже коротко говорил). Но возникает еще и проблема "представимости объекта".
Чтобы было более менее понятно то, о чем я говорю, приведу простой пример.
Возьмите обычное определение рационального числа из любого учебника.
Рациональные числа - это числа, которые можно складывать и вычитать.
Но и дробно-рациональные функции тоже можно складывать и вычитать.
Рацианальные числа можно умножать и делить (кроме деления на ноль).
Но и дробно рациональные функции тоже можно умножать и делить (кроме деления на ноль)
Рациональные числа можно сравнивать.
Но и для дробно-рациональных функций тоже можно определить операцию сравнения (только это довольно сложно сделать, но это возможно!)
И как бы мы ни пытались отделить по свойствам рациональные числа от дробно-рациональных функций - ничего не получится.
Отделить мы их можем друг от друга только в том случае, если построим их конструктивно от начала и до конца.
Другими словами, ничто не мешает свойства объекта считать аксиоматическим понятием, но построить объект мы так не можем.
Далее, поскольку рациональные числа являются частью действительных чисел, а рациональные числа мы так определить не можем (через свойства), то не можем мы так определять и действительные числа.
Надеюсь я объяснил все достаточно понятно.
> И ещё о противоречивости или нет логически полных множеств. Это не совсем верное утверждение, что они непротиворечивы. Насколько я понимаю, вера в непротиворечивость множества натуральных чисел держится только на опыте работы с ними, а не есть результат Вашего утверждения, что они обязаны таковыми быть.
Нет.
Любое одпредикативное утверждение (имеющее смысл, разумеется!) порождает непротиворечивое полное логическое пространство.
Поскольку натуральные числа именно так и строятся, то вместе со своими отрицаниями (целыми отрицательными числами) и числом ноль они образуют полное логическое пространство. На это обратил внимание еще Кант. Именно на этой особенности и построена логика Канта.
Единственная проблема, которая здесь существует - это "проблема ноля". Но в определении целых чисел мы на эту проблему, как правило, не обращаем внимания. Мы просто пользуемся уже готовым решением этой проблемы. Но если посмотреть историю чисел, то можно увидеть, что понятие ноля возникло гораздо позднее и натуральных, и целых отрицательных чисел.
Ozes
____________________________________


26 июля 04:04
В ответ на №11926: Re: Обсуждение темы Озолина Э.Э. . от ozes , 26 июля 2004 Кто утверждает, что по свойствам объектов мы можем построить объект? А из чего конструктивная математика строит свои объекты? И чем Вам мешает такая неоднозначность как Вы привели? Вы же рассматриваете на практике конкретный объект с некоторыми свойствами и какое имеет значение, что есть и другие объекты с такими же свойствами например, но раз Вы их можете различить, то какие-то свойства у них разные. Но в данных конкретных условиях Вам эта разница может и не важна. Что именно Расселл показал, только то, что множество всех множеств противоречивый объект. Ну и что. Отсюда следует, что нельзя брать произвольные множества. Можно получить противоречия. Дальше родилась аксиоматика цермело-френкеля и т.д. Процесс понимания связан с решением новых задач и получением новых парадоксов. А в основе пока лежит вера в то, что хоть какой-то объект существует. Физика так и строится например. Базовый кирпич не имеет структуры, значит и не может быть построен. Проверить можно только его свойства. То же хочет и математика.
И если Вы думаете, что не опыт работы с натуральными числами, а некоторая система утверждений или построений гарантирует Вам их непротиворечивость, то Вы заблуждаетесь. Все попытки что-либо доказать про непротиворечивость натуральных чисел, пока лишь оборачивались видом сбоку экспериментального факта по сути. Я бы не стал так огульно отбрасывать всю математику с её логикой. Другой пока нету. А в процессе развития, появится другой подход или нет, посмотрим. Можно даже не критиковать существующий. Просто предложите другую схему действий. В своё время вавилонская школа, решая конкретные задачи, добилась гораздо большего, чем строгий подход греков. Создайте свою логику, объясните как в ней решить старые задачи и как она справляется с не решёнными и "всё".
____________________________________

Re: Обсуждение темы Озолина Э.Э. .
ozes 26 июля 19:25
Re: Обсуждение темы Озолина Э.Э. . от флоп , 26 июля 2004 г.:
> Кто утверждает, что по свойствам объектов мы можем построить объект? А из чего конструктивная математика строит свои объекты? И чем Вам мешает такая неоднозначность как Вы привели? Вы же рассматриваете на практике конкретный объект с некоторыми свойствами и какое имеет значение, что есть и другие объекты с такими же свойствами например, но раз Вы их можете различить, то какие-то свойства у них разные. Но в данных конкретных условиях Вам эта разница может и не важна. Что именно Расселл показал, только то, что множество всех множеств противоречивый объект. Ну и что. Отсюда следует, что нельзя брать произвольные множества. Можно получить противоречия. Дальше родилась аксиоматика цермело-френкеля и т.д. Процесс понимания связан с решением новых задач и получением новых парадоксов. А в основе пока лежит вера в то, что хоть какой-то объект существует. Физика так и строится например. Базовый кирпич не имеет структуры, значит и не может быть построен. Проверить можно только его свойства. То же хочет и математика.
Я не пойму, то ли Вы спрашиваете у меня, то ли возражаете мне.
Поэтому попытаюсь коротко ответить на Ваши вопросы.
Конструктивная математика лишь утверждает (постулирует), что математические объекты должны быть построены от начала и до конца.
Но, что касается самого построения объектов, то у нее есть серьезные проблемы. Если бы этих проблем не было, то конструктивная математика уже давно вытеснила бы традиционную математику.
Но позиции конструктивной математики постепенно усиливаются.
Далее.
Неоднозначность мешает не мне. Она мешает конструктивному построению объектов (и их аксиоматическому определению). Что же касается меня, то у меня по этому поводу свое личное мнение, которое отличается от всех существующих.
> И если Вы думаете, что не опыт работы с натуральными числами, а некоторая система утверждений или построений гарантирует Вам их непротиворечивость, то Вы заблуждаетесь. Все попытки что-либо доказать про непротиворечивость натуральных чисел, пока лишь оборачивались видом сбоку экспериментального факта по сути. Я бы не стал так огульно отбрасывать всю математику с её логикой. Другой пока нету. А в процессе развития, появится другой подход или нет, посмотрим. Можно даже не критиковать существующий. Просто предложите другую схему действий. В своё время вавилонская школа, решая конкретные задачи, добилась гораздо большего, чем строгий подход греков. Создайте свою логику, объясните как в ней решить старые задачи и как она справляется с не решёнными и "всё".
Не следует отбрасывать всю математику с ее логикой.
Я к этому не призывал и не призываю.
Просто следует знать и математику, и метаматематику. И следует знать, когда математика выдает верное решение, а когда ошибается, и следует пользоваться метаматематикой. Ведь метаматематика не только мощнее традиционной математики, но и значительно сложнее ее. Поэтому гораздо сложнее и решения. Но метаматематические решения более общие и более правильные.
Что в этом плохого?
Другими словами, одно другому не мешает.
Ozes
____________________________________

Re: Обсуждение темы Озолина Э.Э. . Кардинал 26 июля 22:45
В ответ на Re: Обсуждение темы Озолина Э.Э. . от ozes , 26 июля 2004 г.:
Г-н Озес, дайте, пожалуйста, строгое определение метаматематики! А то я, по всей видимости, понимаю под этим загадочным термином нечто иное, нежели Вы!

____________________________________
Re: Обсуждение темы Озолина Э.Э. . ozes 26 июля 23:05
В ответ на №11939: Re: Обсуждение темы Озолина Э.Э. . от Кардинал , 26 июля 2004 г.:
> Г-н Озес, дайте, пожалуйста, строгое определение метаматематики! А то я, по всей видимости, понимаю под этим загадочным термином нечто иное, нежели Вы!
Хорошо. Дам.
Только следует подготовить материал.
Придется немного подождать.
Ozes
____________________________________

Re: Обсуждение темы Озолина Э.Э. .
флоп 27 июля 03:09
Re: Обсуждение темы Озолина Э.Э. . от ozes , 26 июля 2004 г.:
Реально только пока слышу рекламу метаматематики, а по сути пока ничего. Что она делает я так и не понял. Подход Ваш мне совсем непонятен, и про это и вопросы. Пока я понял только, что строить объекты не из чего, но это я и так знал, без метаматематики. Я понимаю так. Ничего не положишь в основу, ничего и не построишь. А что мощнее и лучше, каждый решит сам, Вы представьте хоть одно решение на базе метаматематики, а то совсем не понятно о чём Вы вообще говорите. И вообще это уже близко всё к форуму новых теорий по-моему.
____________________________________

Re: Обсуждение темы Озолина Э.Э. .
ozes 27 июля 10:24
В ответ на №11942: Re: Обсуждение темы Озолина Э.Э. . от флоп , 27 июля 2004 г.:
> Реально только пока слышу рекламу метаматематики, а по сути пока ничего. Что она делает я так и не понял. Подход Ваш мне совсем непонятен, и про это и вопросы. Пока я понял только, что строить объекты не из чего, но это я и так знал, без метаматематики. Я понимаю так. Ничего не положишь в основу, ничего и не построишь. А что мощнее и лучше, каждый решит сам, Вы представьте хоть одно решение на базе метаматематики, а то совсем не понятно о чём Вы вообще говорите. И вообще это уже близко всё к форуму новых теорий по-моему.
Реально пока Вы ничего и не слушаете.
Метаматематика в рекламе не нуждается.
Метаматематика - эта мечта многих математиков и физиков. Она и сейчас еще находится в зародышевом состоянии, а ей сделали суперрекламу еще до рождения.
Одни имена чего стоят: Пифагор, Аристотель, Гаусс, Лобачевский, Риман, Бойяи, Ньютон, Лейбниц, Вейерштрасс, Гильберт, Гедель, Рассел и так далее, и так далее, и так далее.
Какая из наук может похвастаться такой рекламой???
Я уже говорил, но повторю еще раз.
Моей вины в том нет, что эту науку не изучают в ВУЗах.
Я написал лишь несколько сообщений ознакомительного характера, и сразу возникают проблемы с пониманием.
Да, метаматематика намного сложнее математики. Сложнее и в понимании, сложнее и в реализации.
Что ж тут удивительного?
Без твердых знаний математики к метаматематике даже приблизиться невозможно. И никакого противостояния между математикой и метаматематикой нет и быть не может.
Что метаматематика делает, и что она дает?
Для ответа на этот вопрос достаточно вспомнить, что анализ бесконечно малых (дифференциальное и интегральное исчисления) создавались Ньютоном и Лейбницем как метаматематика. А сейчас это вполне самостоятельные разделы математики.
Теория приближений создавалась Гауссом, Вейерштрассом и Фурье как метаматематика. Что это такое сейчас знают все.
Теория относительности Эйнштейна и квантовая механика - это тоже метафизика.

Другими словами, примеров более чем достаточно.
Что же касается метаматематических решений, то рассмотрим и решения.
Я же не "печатная машинка".
Не все сразу.
Ozes


Уважаемая Ana!

Я постарался достаточно подробно и полно ответить на Ваш вопрос в разделе "Проблема иррациональности". Надеюсь, что мой ответ достаточно понятный, но если что-то неясно, то спрашивайте.

Ozes



> Re: Обсуждение темы Озолина Э.Э. . Кардинал 26 июля 22:45
> В ответ на Re: Обсуждение темы Озолина Э.Э. . от ozes , 26 июля 2004 г.:
> Г-н Озес, дайте, пожалуйста, строгое определение метаматематики! А то я, по всей видимости, понимаю под этим загадочным термином нечто иное, нежели Вы!

> ____________________________________
> Re: Обсуждение темы Озолина Э.Э. . ozes 26 июля 23:05
> В ответ на №11939: Re: Обсуждение темы Озолина Э.Э. . от Кардинал , 26 июля 2004 г.:
> > Г-н Озес, дайте, пожалуйста, строгое определение метаматематики! А то я, по всей видимости, понимаю под этим загадочным термином нечто иное, нежели Вы!
> Хорошо. Дам.
> Только следует подготовить материал.
> Придется немного подождать.
> Ozes
> ____________________________________

Г-н Кардинал!

Я постарался рассказать о метаматематике в ветке "Проблема иррациональности".
Заранее благодарен за все замечания и предложения по этой теме.

Ozes


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100