Числовые и функциональные ряды. Бесконечные произведения

Сообщение №11348 от 01 мая 2004 г. 10:42
Тема: Числовые и функциональные ряды. Бесконечные произведения


Отклики на это сообщение:

Помогите разложить cходящееся бесконечное произведение в цепную дробь:
(1+1/a)(1+1/b)(1+1/c)...=f1(a,b,c...)/{f2(a,b,c...)+f3(a,b,c...)/{f4(a,b,c...)+...
Если такое возможно.
30 апреля 2004 г. 17:31:


Дорогие друзья!
Есть следующая задача. Как известно, ряд Дирихле, составленный изчленов вида
(sin kx)/x, условно сходится. В связи с этим возникает такой вопрос: а как ведёт себя функция ф(m), педставляющая из себя максимум модуля m-ой частичной суммы ряда Дирихле по всем x от 0 до 2п? Понятно, что она неограниченно возрастает с орстом m, но вот КАК она это делает? Более точно: требуется указать функция от a(m), такую, что
lim ф(m)/a(m) = c = const. Заранее благодарен.


Привет форумянам!


Известно, что:

1/x + 1/(x^2) + .... + 1/(x^n) = 1/(x-1) при n -> бесконечность

А чему равна сумма ряда:

1/(x^n - 1) при х > 1

Или аналитически это не выражается,
и можно только численно посчитать?
13 октября 2004 г. 16:18:



> А чему равна сумма ряда:

> 1/(x^n - 1) при х > 1

Например, сумме ряда

Sum 2*d(n)/x^n,

где d(n) - число делителей n.
В замкнутой форме, скорее всего, не выражается.


> > А чему равна сумма ряда:

> > 1/(x^n - 1) при х > 1

> Например, сумме ряда

> Sum 2*d(n)/x^n,

> где d(n) - число делителей n.
> В замкнутой форме, скорее всего, не выражается.

Не совсем понял формулу.
Напишите пожалуйста первые 2 - 3
члена суммы, для пояснения.


> > > А чему равна сумма ряда:

> > > 1/(x^n - 1) при х > 1

> > Например, сумме ряда

> > Sum 2*d(n)/x^n,

> > где d(n) - число делителей n.
> > В замкнутой форме, скорее всего, не выражается.

> Не совсем понял формулу.
> Напишите пожалуйста первые 2 - 3
> члена суммы, для пояснения.

Забыл еще константу из ряда вычесть. Правильная формула такая:

(-pi^2/6) + 2 * Sum d(n)/x^n

соответственно начало ряда:

(-pi^2/6) + 2*(1/1 + 2/2 + 2/3 + 3/4 + 2/5 + 4/6 + 2/7 + 4/8 + ...)


На самом деле должен быть таким:

Sum 2*d(n)/x^n


я забыл единичку из суммы вычесть. Ряд такой:

-1 + Sum 2*d(n)/x^n


Еще раз все сначала ;-)

Сумма ряда

Sum 1/(x^n - 1)

равна сумме ряда

2 * Sum d(n)/x^n

где d(n) - число делителей n. Т.е.

2*(1/x^1 + 2/x^2 + 2/x^3 + 3/x^4 + 2/x^5 + 4/x^6 + 2/x^7 + 4/x^8 + ...)



> Сумма ряда

> Sum 1/(x^n - 1)

> равна сумме ряда

> 2 * Sum d(n)/x^n

> где d(n) - число делителей n. Т.е.

> 2*(1/x^1 + 2/x^2 + 2/x^3 + 3/x^4 + 2/x^5 + 4/x^6 + 2/x^7 + 4/x^8 + ...)

Спасибо, теперь понятно.
И все-таки, замкнутой формулы точно нет?


Помогите решить задачу.
Последовательность Xn такова, что последовательность "сумма от 1 до n(под знаком суммы - Xn)". Доказать, что предел Xn = 0
24 октября 2004 г. 17:38

--------------------------------------------------------------------------------
Re: Задача по последовательностям Vladlen 24 октября 20:51 нов
В ответ на №13087: Задача по последовательностям от Гость , 24 октября 2004 г.:
> Помогите решить задачу.
> Последовательность Xn такова, что последовательность "сумма от 1 до n(под знаком суммы - Xn)". Доказать, что предел Xn = 0
А ты ничего не забыл?:-)


> А ты ничего не забыл?:-)
Да, забыл. Извините! Последовательность, которая с суммой - сходящаяся! Задача звучит так:
Последовательность Xn такова, что последовательность "сумма от 1 до n(под знаком суммы - Xn)" - сходящаяся. Доказать, что предел Xn = 0


> > А ты ничего не забыл?:-)
> Да, забыл. Извините! Последовательность, которая с суммой - сходящаяся! Задача звучит так:
> Последовательность Xn такова, что последовательность "сумма от 1 до n(под знаком суммы - Xn)" - сходящаяся. Доказать, что предел Xn = 0

Это необходимое условие сходимости числового ряда. Если последовательность \sum_{k=1}^{n}X_k (частичных сумм) сходится, то из критерия Коши для следует, что предел X_k равен нулю.


Привет всем!
Вот, задался вопросом, если функцию f[x] разложить в ряд Тейлора, то получим Сумма(от n=0 до бесконечности)((f n штрих от нуля)*x^n/n!)=f[x], получить -то получили. А теперь, предположим, что мы имеем ту же самую ф-цию, но уже разложенную в ряд, как ее обратно -то свернуть? Как сумму привести к аналитическому выражению или интегралу, да и вообще можно ли это сделать?
P.S. Ищу ф-цию f[5x]=af[x]^5+bf[x]+c
27 ноября 2004 г. 19:51:



> Вот, задался вопросом, если функцию f[x] разложить в ряд Тейлора, то получим Сумма(от n=0 до бесконечности)((f n штрих от нуля)*x^n/n!)=f[x], получить -то получили. А теперь, предположим, что мы имеем ту же самую ф-цию, но уже разложенную в ряд, как ее обратно -то свернуть? Как сумму привести к аналитическому выражению или интегралу, да и вообще можно ли это сделать?

Как правило все сводится к гипергеометрическим функциям и сворачивается по извествным формулам. Кое-что есть в "A=B": http://www.cis.upenn.edu/%7Ewilf/AeqB.html

> P.S. Ищу ф-цию f[5x]=af[x]^5+bf[x]+c

И как эта задача связана с предыдущим вопросом? Что такое a,b,c?



Помогите, пожалуйста, разложить в ряд Лорана(3z+5)/(z^2-3z+2) в окрестности точки z0=1.
23 декабря 2004 г. 23:51:



у меня задание найти область сходимости функциотального ряда... а ряд такой: сумма n=1 и до безконечности(ln((1+1/n)+ln(ln(x)))^n)/(x-e^(1/e))^1/2 ---> я бьюсь над ним уже 3 дня и все не выходит уже пробывал и так и сяк и все не выходит... помогите пож. или подскажите еще какой нибудь из способ как лучше начать решать (ужасный ряд!!!)
03 января 2005 г. 20:17:


Пусть даны последовательности, состоящие только из 0 и 1. Для каждой такой последовательности

X_n (X_n из {0, 1})

мы можем построить последовательность

(S_n)/n,

где S_n - частичная сумма (т.е. сумма первых n членов)

например:
если X_n есть последовательность (1, 0, 1, 0, 0, 0, 1,..), то
S_n будет такой (1, 1/2, 2/3, 1/2, 2/5, 2/6, 3/6,...)

Теперь вопрос:
каких последовательностей "меньше" - для которых S_n сходится, или для которых S_n расходится?
==============
==============
Пояснения к вопросу. В каком смысле "меньше"?
Изначально вопрос был таким:

"если случайные события друг от друга не зависят, то почему иногда есть статистическая устойчивость?" например, бросаем монету, результаты отдельных бросков друг от друга не зависят, тогда почему доля выпадения гербов стремится к 1/2?

Если бы была зависимость последующих от предыдущих, то (имхо) вопроса бы не было; если бы была зависимость, то возможны были бы такие зависимости, что стороннему наблюдателю результаты эксперимента казались бы случайными (вспомните генераторы "случайных" чисел, которые каждое число генерируют с некоторой вероятностью). А вот если этой зависимости нет, то возникает вопрос: "почему у некоторых случайных процессов есть статистическая устойчивость?"

Наверное, слово "меньше" здесь следует употреблять в том смысле, что меньшее подмножество образует "тощее" множество или множество первой категории (меньше примерно так же как точек на плоскости меньше чем точек в пространстве, которому она принадлежит, т.е. она является в этом пространстве нигде не плотным множеством, "тощим" множеством...) Ясно, что сначала надо какую-то естественную топологию определить (естественную, для вопроса об устойчивости), а потом уже решать "тощие" множества получаются или нет.... творческая задача...
====
====
PS.
1 Я не уверен, что "меньше" следует понимать именно так.
2 Может у кого-то есть другие соображения по поводу вопроса о статистической устойчивости? было бы интересно попытаться их обсудить...
16 июня 2005 г. 09:20:


По-моему, есть такой закон "0-1" Колмогорова. Но это к теории вероятностей относится.

1. Ясно, что ряд сходится только, если число единиц конечно.
2. Сопоставим последовательности {X_n,n=1..infinity} число x из [0;1] по формуле двоичного разложения:
x=sum(X_n*2^(-n),n=1..infinity).
3. Все последовательности с конечным числом единиц отображаются на некоторое подмножество F в множестве рациональных чисел.
Также рациональные числа образуют суммы (их множество обозначим через P) с периодической c некоторого номера последовательностью X_n .
4. Как известно множество Q рациональных чисел из [0;1] имеет меру Лебега ноль.
m(A)=m(Q\P)<=m(Q)=0.
5.Следует оговорить момент, когда одно и то же число может быть записано двояко.
Все такие числа лежат в Q, поэтому наше утверждение остаётся в силе.

Итак, множество конечных последовательностей образует относительно индуцированной меры множество меры нуль.
Недостаток моего предложения: приходится отождествить некоторые последовательности.


Опечатка:
m(F)=m(Q\P)<=m(Q)=0.



> 1. Ясно, что ряд сходится только, если число единиц конечно.

Совсем неясно.
Например, ряд, где единицы стоят на только позициях с номерами 2^k будет давать сходящийся ряд в указанном смысле, так как lim k/2^k = 0.


> Пусть даны последовательности, состоящие только из 0 и 1. Для каждой такой последовательности

> X_n (X_n из {0, 1})

> мы можем построить последовательность

> (S_n)/n,

> где S_n - частичная сумма (т.е. сумма первых n членов)

> например:
> если X_n есть последовательность (1, 0, 1, 0, 0, 0, 1,..), то
> S_n будет такой (1, 1/2, 2/3, 1/2, 2/5, 2/6, 3/6,...)

> Теперь вопрос:
> каких последовательностей "меньше" - для которых S_n сходится, или для которых S_n расходится?
ПОПРАВКА. СЛЕДУЕТ ЧИТАТЬ:
каких последовательностей "меньше" - для которых (S_n)/n сходится, или для которых (S_n)/n расходится?
> ==============
> ==============
> Пояснения к вопросу. В каком смысле "меньше"?
> Изначально вопрос был таким:

> "если случайные события друг от друга не зависят, то почему иногда есть статистическая устойчивость?" например, бросаем монету, результаты отдельных бросков друг от друга не зависят, тогда почему доля выпадения гербов стремится к 1/2?

> Если бы была зависимость последующих от предыдущих, то (имхо) вопроса бы не было; если бы была зависимость, то возможны были бы такие зависимости, что стороннему наблюдателю результаты эксперимента казались бы случайными (вспомните генераторы "случайных" чисел, которые каждое число генерируют с некоторой вероятностью). А вот если этой зависимости нет, то возникает вопрос: "почему у некоторых случайных процессов есть статистическая устойчивость?"

> Наверное, слово "меньше" здесь следует употреблять в том смысле, что меньшее подмножество образует "тощее" множество или множество первой категории (меньше примерно так же как точек на плоскости меньше чем точек в пространстве, которому она принадлежит, т.е. она является в этом пространстве нигде не плотным множеством, "тощим" множеством...) Ясно, что сначала надо какую-то естественную топологию определить (естественную, для вопроса об устойчивости), а потом уже решать "тощие" множества получаются или нет.... творческая задача...
> ====
> ====
> PS.
> 1 Я не уверен, что "меньше" следует понимать именно так.
> 2 Может у кого-то есть другие соображения по поводу вопроса о статистической устойчивости? было бы интересно попытаться их обсудить...
> 16 июня 2005 г. 09:20:


Я пытаюсь понять вот что: есть ли причины у "статистической устойчивости"? какие это причины - математические или нематематические?
Все эти последовательности как раз для этого.

Конечно, возможно я, когда считаю последовательности равноправными, уже неявно принимаю некий аналог "статистической устойчивости" и вероятности (вероятность не бывает без статистической устойчивости (или бывает?!))

PS. Я плохо понимаю вероятность, поэтому, возможно, задаю не совсем осмысленные вопросы.


Тогда получается оценка 0<=Y_n<=1, Y_n=S_n/n...
Надо подумать...


Я говорил про ряд, частичные суммы которого - S_n=sum(X_k,k=1..n),
а не про x=sum(X_n*2^(-n),n=1..infinity).


> Наверное, слово "меньше" здесь следует употреблять в том смысле, что меньшее подмножество образует "тощее" множество

Можно показать, что мощности множеств сходящихся и расходящихся (в указанном смысле) последовательностей равны между собой и равны мощности всех последовательностей.

Для этого достаточно показать, что множество всех последовательностей можно инъективно отобразить во множество (ра)сходящихся последовательностей.

По произвольной последовательности X построим последовательность Y так:
сначала идет 2 единицы, затем X_1, затем 4 единицы, затем X_2, затем 8 единиц, X_3, ..., 2^n единиц, X_n, ....
Нетрудно понять, что отображение последовательностей X->Y инъективно и S_n(Y)/n сходится к 1.

По произвольной последовательности X построим последовательность Z так:
сначала идет 2 единицы, затем X_1, затем 4 нуля, затем X_2, затем 8 единиц, X_3, ..., 2^(2n-1) единиц, X_{2n-1}, 2^(2n) нулей, X_{2n}, ....
Нетрудно понять, что отображение последовательностей X->Z инъективно и S_n(Z)/n расходится.


Нашел в учебнике Ширяева теорему Бореля:
"Почти все числа из [0, 1) нормальны в том смысле, что с вероятностью единица доля нулей и единиц в их двоичном разложении стремится к 1/2"

Там конечно много предположений, связывающих отдельные последовательности между собой. Считаем, например, что последовательности упорядочены как точки на [0,1); с самого начала заводится вероятность на [0,1) (мера Лебега), а эта мера тоже связывает между собой отдельные точки: сама имеет смысл только для некоторых совокупностей точек, да еще и инвариантна относительно сдвига (это дополнительная связь даже не между точками, а между множествами).

В общем, какие-то связи, которых я не вижу, когда, подбрасывая монету, я получаю последовательность. Но в учебнике и не говорится, что на основании этой теоремы (Бореля) можно как-то обосновать наличие статистической устойчивости...

Короче, так я и остался в неведении, откуда статистическая устойчивость берется...


Господа, не знаю, сюда ли вопрос, или куда... Я не математик, возможно вопрос глупый или не совсем хорошо мною выражен. Прошу прощения.

В общем, есть набор из N целых чисел. Есть задача, расположить их в M рядов так, чтобы сумма чисел в рядах была не меньше некоторых заданных чисел для каждого ряда.
Пример:
Есть числа: 100,300,150,50,2000,900,500 Общая сумма - 4000
Надо расположить числа в 3 ряда так, что бы суммы чисел в рядах были не меньше: 1-й ряд - 1000, 2-й ряд - 2500, 3-й ряд – 300, т.е. общая сумма чисел была 3800
Это примерный вариант. Чисел может быть много. Рядов мало. Разброс чисел и сумм рядов может быть большой. Использовать можно не все числа. Главное, что бы составить ряды. Понятно, что задача может не иметь решения.

Какие существуют алгоритмы, модели, в каком мне направлении искать ответ?
Большое спасибо.


07 марта 2006 г. 17:34
Рассмотрим обобщенное уравнение классов

1/с1 + 1/с2 + ...+ 1/сn = 1,

где сi — натуральные числа, сi <= сi+1.
Как зависит число решений этого уравнения от n? Подскажите, пожалуйста, может в Интернете есть результаты исследования решений этого уравнения?


--------------------------------------------------------------------------------
Re: Обобщенное уравнение классов. bot 09 марта 10:06
В ответ на: Обобщенное уравнение классов. от Pulsar , 07 марта 2006 г.:
Представление любой дроби p/q (в том числе и равной 1) см, например, здесь:
http://www.nsu.ru/phpBB/viewtopic.php?t=8572&postdays=0&postorder=asc&start=0

--------------------------------------------------------------------------------
Re: Обобщенное уравнение классов. bot 09 марта 10:58
В ответ: Re: Обобщенное уравнение классов. от bot , 09 марта 2006 г.:
Прошу прощения за невнимательность - вопрос-то был о ЧИСЛЕ решений, причём в более мягких условиях.


> 07 марта 2006 г. 17:34
> Рассмотрим обобщенное уравнение классов

> 1/с1 + 1/с2 + ...+ 1/сn = 1,

> где сi — натуральные числа, сi <= сi+1.
> Как зависит число решений этого уравнения от n? Подскажите, пожалуйста, может в Интернете есть результаты исследования решений этого уравнения?

См. последовательность A002966 в OEIS и далее по ссылкам.

A002966


Привет всем! Помогите решить задачку:
Найти мощность множества всех сходящихся последовательностей действительных чисел.


Что-то никак не могу найти область сходимости.
Интересная задача, конечно...

.


Числовая последовательность имеет рекуррентное соотношение:
f(n+3)=f(n+2)+f(n+1)+f(n)
Кто подскажет,какова формула этой последовательности (в общем виде)?



> Числовая последовательность имеет рекуррентное соотношение:
> f(n+3)=f(n+2)+f(n+1)+f(n)
> Кто подскажет,какова формула этой последовательности (в общем виде)?

f(n) = a*(α)^n + b*(β)^n + c*(γ)^n
где
α β γ
корни уравнения
z^3-z^2-z^1-1 = 0

a,b,c - константы, определяемые начальными условиями.
В зарубежной литературе последовательность иногда называется "трибоначчиевой" при
f(0)=f(1)=f(2) =1


> > Числовая последовательность имеет рекуррентное соотношение:
> > f(n+3)=f(n+2)+f(n+1)+f(n)
> > Кто подскажет,какова формула этой последовательности (в общем виде)?

> f(n) = a*(α)^n + b*(β)^n + c*(γ)^n
> где
> α β γ
> корни уравнения
> z^3-z^2-z^1-1 = 0


> a,b,c - константы, определяемые начальными условиями.
> В зарубежной литературе последовательность иногда называется "трибоначчиевой" при
> f(0)=f(1)=f(2) =1

Благодарю, Михалыч.



>
Помогите пожалуйста.Нужно решение.Найти область сходимости через радиус и непосредственно.
Сумма от n=1 до бесконечности( (x+1)^n ) / sqrt(3n+2)


>
Как найти сумму этого сходящегося ряда??? Пмогите!!!!!!!!!!
"sum(1/x[i]^2, i=1..#181)"
Ответ пожалуйста пршлите на e-mail:gvoz@romb.net
Огромное спасибо за ответы!!!!!!


Помогите!!!!!!!!!!!!!
Как найти сумму бесконечного ряда:
1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+.....

sum(1/x[i]^2, i=1..#181)


> Помогите!!!!!!!!!!!!!
> Как найти сумму бесконечного ряда:
> 1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+.....

> sum(1/x[i]^2, i=1..#181)

Есть такая книжка - "Математика и правдоподобные рассуждения" Дж.Пойа...


> > Помогите!!!!!!!!!!!!!
> > Как найти сумму бесконечного ряда:
> > 1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+.....

> > sum(1/x[i]^2, i=1..#181)

> Есть такая книжка - "Математика и правдоподобные рассуждения" Дж.Пойа...

ответ: сумма равна 1,6394...
Вычислил в MsExcel для i=181.


> > > Помогите!!!!!!!!!!!!!
> > > Как найти сумму бесконечного ряда:
> > > 1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+.....

> > > sum(1/x[i]^2, i=1..#181)

> > Есть такая книжка - "Математика и правдоподобные рассуждения" Дж.Пойа...

> ответ: сумма равна 1,6394...
> Вычислил в MsExcel для i=181.

Вообще-то ответ \pi^2/6, но человек интересовался методой...

πππ


> > > > Помогите!!!!!!!!!!!!!
> > > > Как найти сумму бесконечного ряда:
> > > > 1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+.....

> > > > sum(1/x[i]^2, i=1..#181)

> > > Есть такая книжка - "Математика и правдоподобные рассуждения" Дж.Пойа...

> > ответ: сумма равна 1,6394...
> > Вычислил в MsExcel для i=181.

> Вообще-то ответ \pi^2/6, но человек интересовался методой...

Этот ответ, наверное, для бесконечного ряда. А в условии задано конечное число членов: 181.


> > > > > Помогите!!!!!!!!!!!!!
> > > > > Как найти сумму бесконечного ряда:
> > > > > 1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+.....

> > > > > sum(1/x[i]^2, i=1..#181)

> > > > Есть такая книжка - "Математика и правдоподобные рассуждения" Дж.Пойа...

> > > ответ: сумма равна 1,6394...
> > > Вычислил в MsExcel для i=181.

> > Вообще-то ответ \pi^2/6, но человек интересовался методой...

> Этот ответ, наверное, для бесконечного ряда. А в условии задано конечное число членов: 181.

Скорее всего, #181 - это символ кодировки, обозначающий где-то перевернутую восьмерку :)


Пусть у нас есть ортонормированный базис в комплексном n-мерном пространстве, обозначим его {e_i}, i от 0 до n-1. Через w_m обозначим exp(2*pi*i/m), здесь i - мнимая единица. Чему равна сумма
\sum_{i=0}^{n-1} w_m^{ki} e_i(l)\overline{e_i(j)} ?
Здесь k от 0 до m-1, l и j от 0 до n-1. Индексы k, l и j считаем фиксированными. [\overline - комплексное сопряжение.]


(Фихтенгольц, второй том, псалом №320)
Никак не пойму, как это может быть верным.
Для n=4 слева 384, справа дофига. Хоть (2n)!! бери, хоть 2(n!!).


> (Фихтенгольц, второй том, псалом №320)
> Никак не пойму, как это может быть верным.
> Для n=4 слева 384, справа дофига. Хоть (2n)!! бери, хоть 2(n!!).

Обычно используются выражения . По определению , т.е. это "прореженный" факториал.

По аналогии можно определить . Тогда выписанное Вами тождество очевидно верно (естественно нужно брать ).


> > (Фихтенгольц, второй том, псалом №320)
> > Никак не пойму, как это может быть верным.
> > Для n=4 слева 384, справа дофига. Хоть (2n)!! бери, хоть 2(n!!).

> Обычно используются выражения . По определению , т.е. это "прореженный" факториал.

> По аналогии можно определить . Тогда выписанное Вами тождество очевидно верно (естественно нужно брать ).

Понял, спасибо!


>

Очень прошу помочь в решении нескольких примеров(на экзамен очееень нужно):
(это номера из демидовича 3051-3056 + 3061, 3062... может у кого нибудь уже решенное есть)
Доказать равенство
1) П от n=2 до бесконечности (1-1/(n^2)) = 1/2
2) П от n=2 до бесконечности ((n^3-1)/(n^3+1)) = 2/3
3) П от n=2 до бесконечности (1 - (2/(n*(n+1)))) = 1/3
4) П от n=0 до бесконечности (1 + ((1/2)^2n)) = 2
5) П от n=1 до бесконечности (cos(π/2^(n+1))) = 2/π
6) П от n=1 до бесконечности (cos(x/(2^n))) = sin(x)/x
Доказать сходимость и вычислить
7) П от n=3 до бесконечности ((n^3 - 4)/(n^2 - 1))
8) П от n=1 до бесконечности (1 + (1/(n*(n+2))))


1. Исследовать схлдимость числ. ряда:
n от 2 до бесконечности (2n+1)/корень(n*2^n);
2. Найти интервал сходимости степенного ряда:
n от 1 до бесконечности ((1+1/n)^n)*(x-π)^n, исследовать сходимость ряда до конца интервала!


> 1. Исследовать схлдимость числ. ряда:
> n от 2 до бесконечности (2n+1)/корень(n*2^n);
> 2. Найти интервал сходимости степенного ряда:
> n от 1 до бесконечности ((1+1/n)^n)*(x-π)^n, исследовать сходимость ряда до конца интервала!

1. Ряд сходится. Используйте признак Даламбера.
2. Учтите, что lim(1+1/n)^n = e. Используя признак Даламбера, найдёте условие сходимости
|x-π| < 1. Интервал сходимости (π - 1, π+1). На концах интервала ряд расходится, т.к общий член ряда не стремится к нулю.


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100