Функциональный анализ

Сообщение №10835 от 25 февраля 2004 г. 23:24
Тема: Функциональный анализ

Продолжение темы. Начало темы (сообщение № 6643) находится в архиве.


Отклики на это сообщение:

Здравствуйте, уважаемые матаматики! Я сам в математике профан, в чем вы сейчас убедитесь:
Прочитал я в интернете, что возможны только 2 типа бесконечных множеств: счетные и несчетные, и подумал: "а как еще?"... Пусть вычленяемый элемент множества - это такой элемент, про который можно сказать, что он именно тот, а не какой другой. Например, можно погладить кошку и сказать, что погладил именно эту кошку. Также и про число 529.5 можно сказать, что это именно оно. Но про некоторые числа (те, что нельзя записать ни в виде корня, ни как сумму ряда, ни как еще) такого сказать нельзя. Эти невычленяемые элементы и делают множество иррациональных чисел континуумом. Если доказать, что множество, содержащее только вычленяемые элементы, всегда счетно, то мы докажем континуум-гипотезу. Это, что, недоказуемо?
25 февраля 2004 г. 22:05:


>Но про некоторые числа (те, что нельзя записать ни в виде корня, ни как сумму ряда, ни как еще) такого сказать нельзя.

Что это за числа, которые нельзя записать в виде суммы ряда? Хоть один пример. Потому что совершенно непонятно, что имеется в виду. Вообще-то любое число - сумма ряда, в котором первый член - само число, остальные - нули. Более того, вещественное число всегда можно записать в виде ряда из рациональных членов, используя десятичное разложение.


> то мы докажем континуум-гипотезу. Это, что, недоказуемо?

Кстати, континуум-гипотезу нельзя ни доказать, ни опровергнуть, потому что и она, и ее отрицание совместимы с аксиомами Цермело-Френкеля. Это доказал Коэн, кажется, в 1963 году.


"Ряд из рациональных членов" содержит конечное или бесконечное количество информации?
а) конечное. Значит, его можно записать так, чтобы у нас была о нем вся информация. Таких записей всегда счетное множество (это легко докажет и школьник). То есть не любому иррациональному числу может соответствовать такой ряд.
б) бесконечное. Тогда мы не можем записать его так, чтобы не перепутать с каким-нибудь другим. Это и есть невычленяемость.


А вы не в терминах чисел рассуждайте, а в терминах множеств. Счетное множество-множество, находящееся в биективном соответствии с множеством N натуральных чисел, множество мощности континуум-находящееся в биективном соответствии с булеаном мн-ва N. Тогда вы сразу увидите, что ваше понятие "вычленяемости" не имеет смысла.


> находящееся в биективном соответствии с множеством N натуральных чисел,

p.s. Лучше бы было написать "с множеством натуральных чисел N", иначе можно подумать, что имеется в виду множество {1,2,...,N}. Извиняюсь.



> Кстати, континуум-гипотезу нельзя ни доказать, ни опровергнуть, потому что и >она, и ее отрицание совместимы с аксиомами Цермело-Френкеля. Это доказал Коэн, >кажется, в 1963 году.

Коэн доказал, что отрицание КГ совместимо с ZF. То, что сама гипотеза совместима, доказал еще Гедель в 1937 (или наоборот, точно не помню)


Как жаль,что я ничего не понял. Тупой.


P.S. Я посторонний человек, который просто хочет разобраться и понять. Отстреливаться заведомо недоступными терминами, по-моему, нехорошо.
...почему не имеет смысла?


Вы непонятно излагаете. Что означает "бесконечное количество информации"? Я, к примеру, так и не понял, что имеется ввиду под "невычленяемыми числами".


Иррациональные числа - это числа, в которых нет периодичности в бесконечном повторении знаков после запятой, так? Число "пи" (3.14159...) - одно из них. Однако, "пи" можно записать в такой форме: 4(1-1/3+1/5-1/7+...), где периодичность присутствует. Когда я говорю о конечном количестве информации, я и имею в виду возможность такой (периодической, а значит - конечной в принципе) записи (буквально: записи!). Поскольку таких записей счетное множество, а иррациональных чисел - несчетное, ясно, что есть иррациональные числа, которые так записать (!) нельзя. Именно поэтому нельзя привести пример такого числа. Записи 6.394687... всегда будет соответствовать бесконечно много чисел, сколько бы мы не продолжали записывать (буквально: записывать!) знаков: 6.39468728346... Эти числа я называю невычленяемыми.
> Если что-то не устраевает, пожалуйста, постарайтесь обойтись без биективных булеанов (или объясните, что это).


Срочно требуется помошь , Люди помогите пожалуйста !!!
2 задачи

1) Дана Функция f(t) = (sin t)^m (синус t в степени m)
m принадлежит N ( является натуральным числом)
t принадлежит промежутку [-пи ,пи] (от минус "пи" до "пи")

Найти ряд фурье данной функции


2) Найти углы в треугольнике образованном следующими элементами в пространстве : L^2[-1,1]: f1(x) =0 , f2(x)=1, f3(x)=x

Пожалуйста , очень надо :)


> Если что-то не устраевает...

p.s. Лучше бы было написать "не устраивает", иначе можно подумать...


pomogite dokazat'
rm(x)=(-1)v stepeni [2^mx] kogda [.]integer
eto sistema ortonormalna no ne polna
28 февраля 2004 г. 14:58



Если кто может объяснить, что у меня не так...
Напишите, пожалуйста на djskywalker@yandex.ru !


> Если кто может объяснить, что у меня не так...

Как можно написать на тему того, что неясно сформулировано?


> P.S. Я посторонний человек, который просто хочет разобраться и понять. Отстреливаться заведомо недоступными терминами, по-моему, нехорошо.
> ...почему не имеет смысла?

На пальцах это просто не объяснить, но попробую.

Берем несчетное множество, например множество мощности континуум. Множество мощности континуум, грубо говоря,- это множество, в котором столько же элементов, сколько подмножеств у множества натуральных чисел. Например,
множество действительных чисел, которое вы рассматриваете, имеет мощность континуум. Это значит, что каждое число соответствует какому-либо подмножеству множества натуральных чисел и наоборот, т.е. с точки зрения мощностей не важно,
какое из упомянутых множеств рассматривать.

Теперь посмотрим на ваше понятие "вычленяемости". Фактически это значит, что некоторые подмножества натуральных чисел вычленяемы, а некоторые невычленяемы. Но для подмножеств нат. чисел нет ни понятий рядов, ни понятий корней уравнений, ни других понятий, используемых в вашей аргументации. Таким образом, "определение" повисает в воздухе.

Впрочем, глубинный смысл в том, что вы хотели сказать, кое-какой есть. Если
"вычленяемость" заменить, например, на возможность конструктивного (алгоритмического) построения данного числа. Есть люди в математике, которые исходя из этих соображений вообще не признают существования вещественных чисел как таковых. Тут где-то была недавно дискуссия по поводу конструктивизма. Почитайте, если интересно.

Ну, а для овладения заведомо недоступными терминами посмотрите, например, здесь.

http://www.nature.ru/db/msg.html?mid=1156596&s=


Численные методы нахождения оценок интегральных функционалов

Собственно, это решение классической задачи моментов численными методами.
Имеем функционал вида J(t) =
. Необходимо найти точный верхний/нижний предел. Какие статьи в электронных документах (инет), или в печатных книгах (библиотеки) доходчиво описывают такой численный метод? К примеру, метод Хука-Дживса, или что-то еще. Я с оптимизацией плохо дружу :(
Спасибо за помощь!
13 апреля 2004 г. 12:10:



1. Есть элементы А и В. Есть наборы, состоящие из А и В. Множество только конечных наборов счетно, множество всех мыслимых наборов континуально. Так?
2. Действительно ли теорема Геделя о неполноте доказывает, что для доказательства всех математических теорем необходимо бесконечное количество аксиом?
19 мая 2004 г. 06:34:



Как доказать, что в произвольном банаховом пространстве существует проекция (не обязательно однозначная) любой точки на выпуклое замкнутое множество?


> 1. Есть элементы А и В. Есть наборы, состоящие из А и В. Множество только конечных наборов счетно,
Это так...

> множество всех мыслимых наборов континуально. Так?
Смотря что считать мыслимыми наборами! Может так оказаться, что их более, чем континуальное количество...

> 2. Действительно ли теорема Геделя о неполноте доказывает, что для доказательства всех математических теорем необходимо бесконечное количество аксиом?
Такой теоремы не знаю, но на мой взгляд факт несколько странен...



> > множество всех мыслимых наборов континуально. Так?
> Смотря что считать мыслимыми наборами! Может так оказаться, что их более, чем континуальное количество...
А это в каком случае?

> > 2. Действительно ли теорема Геделя о неполноте доказывает, что для доказательства всех математических теорем необходимо бесконечное количество аксиом?
> Такой теоремы не знаю, но на мой взгляд факт несколько странен...
А я только и слышу - теорема Геделя, теорема Геделя... Может, все-таки, кто-то здесь разбирается в этом?


> 1. Множество только конечных наборов счетно.

  Вообще существует две трактовки слова "счётное множество":
   - это либо конечное множество, либо равномощное множеству натуральных числел;
   - это множество, равномощное множеству натуральных числел;
При любой трактовки множество натуральных чисел - счётное множество.
Так что существуют бесконечные счётные множества.

> множество всех мыслимых наборов континуально.

Нет. Семейство всех подмножеств множества вещественных чисел сверхконтинуально.

/*
Слово "семейство" - синоним слова "множество".
Используется в речи, чтобы не говорить корявое "множество множеств".
*/

> 2. Действительно ли теорема Геделя о неполноте доказывает, что для доказательства всех математических теорем необходимо бесконечное количество аксиом?

 Теорема Гёделя о неполноте:
   Множество всех истинных формул элементарной арифметики неперечеслимо.

 Конечная неаксиоматизируемость здесь непричём.

       С уважением - Ираклий


> > 1. Множество только конечных наборов счетно.

>   Вообще существует две трактовки слова "счётное множество":
>    - это либо конечное множество, либо равномощное множеству натуральных числел;
>    - это множество, равномощное множеству натуральных числел;
> При любой трактовки множество натуральных чисел - счётное множество.
> Так что существуют бесконечные счётные множества.

> > множество всех мыслимых наборов континуально.
Сразу виден философский размах :)
to Ираклий: весьма смело браться отвечать на таким образом сформулированные вопросы.

> /*
> Слово "семейство" - синоним слова "множество".
> Используется в речи, чтобы не говорить корявое "множество множеств".
> */

> > 2. Действительно ли теорема Геделя о неполноте доказывает, что для доказательства всех математических теорем необходимо бесконечное количество аксиом?

>  Теорема Гёделя о неполноте:
>    Множество всех истинных формул элементарной арифметики неперечеслимо.
Это скорее следствие, получаемое обобщением теоремы Гёделя. Её утверждение заключается в том, что существует формула f в языке Ar такая, что из аксиом Ar не выводится (в исчислении предикатов) ни f, ни !f.

>  Конечная неаксиоматизируемость здесь непричём.
Очень даже причём. Можно показать, что это, опять таки, следствие из т.Гёделя. что
>        С уважением - Ираклий

А не кажется ли вам ( в том числе и господину модератору ), что тема обсуждения слегка не соответствует названию раздела.


> Нет. Семейство всех подмножеств множества вещественных чисел сверхконтинуально.

> Слово "семейство" - синоним слова "множество".
> Используется в речи, чтобы не говорить корявое "множество множеств".

Множество мощности континуум, - это множество, в котором столько же элементов, сколько подмножеств у множества натуральных чисел. А сверхконтинуум - это множество, в котором столько же элементов, сколько подмножеств у множества мощности континуум?


>    Множество всех истинных формул элементарной арифметики неперечеслимо.

А какова его мощность?


> >    Множество всех истинных формул элементарной арифметики неперечеслимо.

> А какова его мощность?

Оно конечно же счетно (как бесконечное подмножество счётного множества всех слов в алфавите формул).


> > Нет. Семейство всех подмножеств множества вещественных чисел сверхконтинуально.

> > Слово "семейство" - синоним слова "множество".
> > Используется в речи, чтобы не говорить корявое "множество множеств".

> Множество мощности континуум, - это множество, в котором столько же элементов, сколько подмножеств у множества натуральных чисел. А сверхконтинуум - это множество, в котором столько же элементов, сколько подмножеств у множества мощности континуум?

Под сверхконтинуальным множеством я имел в виду множество, мощность которого выше континуума.


Я просто подумал, что могут быть невыразимые формулы, как иррациональные числа...


Всем здравствуйте!
Есть следующая проблема. Функция называется логарифмически выпуклой вниз, если её логарифм - выпуклая вниз функция. Нужно доказать, что множество логарифмически выпуклых функций образует алгебру. То, что перемножать-то можно - это легко, а вот складывать...
Можно свести вопрос к прибавлению константы, но дальше всё равно не получается.
Если кто знает, как решить или где можно прочитать - помогите, пожалуйста!
Заранее благодарен.


> > то мы докажем континуум-гипотезу. Это, что, недоказуемо?

> Кстати, континуум-гипотезу нельзя ни доказать, ни опровергнуть, потому что и она, и ее отрицание совместимы с аксиомами Цермело-Френкеля. Это доказал Коэн, кажется, в 1963 году.
Коэн доказал для отрицания. Совместимость же самой КГ доказал Гёдель в 1939.
Причём в обоих случаях были получены более сильные результаты - независимость от ZFC


Добрый день! Не подскажете ли мне ответы на ряд вопросов:
1. У нас есть пространство интегрируемых по Риману функций со скалярным произведением, равным интегралу по отрезку от произведения функций.Привести пример тотальной неполной системы функций (тотальность означает то, что если какая-то функция ортогональна всем элементом данной системы, то она равна нулю, а полнота - то, что любая интегрируемая функция может быть приближена в смысле метрики многочленом по этой системе функций).
2. Нужно построить пример последовательности функций, которые по метрике сходились бы к какой-то функции, в любой точке - НЕ сходились к ней (все функции интегрируемы).
Заранее спасибо.


Рассмотрим обычную двумерную сферу радиуса 1 в евклидовом трехмерном пространстве. На ней есть индуцированная метрика - растояние.
Есть оператор Лапласа для функций определенных на сфере.

Что известно про:
1. спектр оператора Лапласа
2. собственные функции


По моим прикидкам спектр должен быть -k^2, k - целые числа.
Функции - проекция на диаметр, или проекция на диаметр накрученной на себя k раз сферы.
Правильно это или нет?


Я не знаю как доказать что других чисел в спектре нет и других функций нет.
А также не знаю как доказать то что всякая функция разлагается в ряд по собственным функциям (как доказать что спектр самосопряженного оператора не пуст).
02 июля 2004 г. 16:42:



я сам решил
получилось что на самом деле
спектр -k*(k+1), где k = 0, 1, 2, ....
собственные функции - некоторые многочлены от проекции на прямую (например ось x) степени k и их суммы
любую функцию можно разложить в ряд по этим собств. функциям
в доказательстве используется факт о приближении функции многочленами и прочий анализ
все это легко обобщается на многомерный случай, но там другие собственные значения


Подскажите нематематику
Определенный интеграл от дельта функции дирака в квадрате
08 июля 2004 г. 01:03:


Задано два скалярных поля
a=a(r)
b=b(r)

задан скалярный функционал на этих полях
F=тттa(Сb)2dr, где Сb=grad b (градиент)

надо найти вариационную производную dF/db?

помогите, пожалуйста....
20 сентября 2004 г. 00:46



> Подскажите нематематику
> Определенный интеграл от дельта функции дирака в квадрате
> 08 июля 2004 г. 01:03:

дельта-функцию нельзя умножать на себя. На обобщённых функциях умножение не определено всюду


> > Подскажите нематематику
> > Определенный интеграл от дельта функции дирака в квадрате
> > 08 июля 2004 г. 01:03:

> дельта-функцию нельзя умножать на себя. На обобщённых функциях умножение не определено всюду

Это правильно, но у физиков часто встречается такое дело. В действительности у них квадрат дельта-функции есть символическое обозначение для произведения

V \delta(x)

где V - объем пространства, по которому интегрируется (предполагается, что объем должен устремляться к бесконечности, но было бы неплохо, если бы он как-нибудь сократился).

Шаманство, одним словом. Надо смотреть в контекст.


Уважаемые господа!
не подскажете ли, почему множество липшицевых функций обладает первой категорией (то есть является счётным объединением нигде не плотных множеств) в пространстве всех непрерывных на отрезке функций с метрикой равномерной сходимости?
Заранее благодарю.


Сам догадался!)))


Здравствуйте! У меня вот какой вопрос: может кто знает примеры правильных чебышевских множеств в ЛНП Х=Ер (р>1)
30 октября 2004 г. 22:40:



Помогите!! Нужен пример ф-ции 2х переменных, которая принадлежит Соболевскому пространству H1 определённому на некотором мн-ве P. Причем такая, что у нее не существует непрерывного представителя на этом мн-ве P. Известно, что если P замкнуто, то такой ф-ции нет. А вот если P не замкнуто??? Ответы посылать по почте или в форум. Заранее спасибо!!
31 октября 2004 г. 19:55:



Добрый день! Подскажите, пожалуйста, сопряженное пространство к пр-ву l-бесконечность (пр-ву ограниченных последовательностей)! Спасибо.


Дамы и господа! Вопрос по линейным нормированным пространствам.
Вот, казалось, бы, известная вещь: неправенство треугольника в линейном нормированном пространстве.
А когда оно обращается в равенство?
Ответ, вроде бы, понятен - когда вектора сонаправлены, но как доказать необходимость? Что-то я прямо голову сломал...)))
Заранее благодаою!


> Дамы и господа! Вопрос по линейным нормированным пространствам.
> Вот, казалось, бы, известная вещь: неправенство треугольника в линейном нормированном пространстве.
> А когда оно обращается в равенство?
> Ответ, вроде бы, понятен - когда вектора сонаправлены, но как доказать необходимость? Что-то я прямо голову сломал...)))
> Заранее благодаою!

На самом деле это верно только для каких-то частных случаев,
например, если норма порождается скалярным произведением,
но в общем случае это не правда

Возьмем, например, пространство ограниченных на отрезке
(или непрерывных) функций, где норма - sup[0,1]|f(x)|
Возьмем 2 функции, для которых этот супремум достигается
в одной и той же точке
Тогда, очевидно, ||f+g||=||f||+||g||,
но в остальных точках эти функции могут принимать какие угодно
значения и совсем не обязаны быть пропорциональными


Спасибо огромное.
А если случай и в самом деле более частный? Именно, пусть у нас есть пространство суммируемых в квадрате функций с соответствующей интегральной нормой - корень из интеграла от квадрата по всему отрезку? Как тогда доказать?
Заранее благодарю.


> Спасибо огромное.
> А если случай и в самом деле более частный? Именно, пусть у нас есть пространство суммируемых в квадрате функций с соответствующей интегральной нормой - корень из интеграла от квадрата по всему отрезку? Как тогда доказать?
> Заранее благодарю.

Ну это просто случай гильбертова пространства
Там это верно, так как, если норма порождается скалярным произведением, то из
||a+b||=||a||+||b|| следует
=||a||*||b|| (неравенство Шварца обращается в равенство)

А из этого в свою очередь вытекает, что
= 0
при коэффициенте gamma = /,
то есть a и b пропорциональны с коэффициентом пропорциональности gamma


> > Спасибо огромное.
> > А если случай и в самом деле более частный? Именно, пусть у нас есть пространство суммируемых в квадрате функций с соответствующей интегральной нормой - корень из интеграла от квадрата по всему отрезку? Как тогда доказать?
> > Заранее благодарю.

> Ну это просто случай гильбертова пространства
> Там это верно, так как, если норма порождается скалярным произведением, то из
> ||a+b||=||a||+||b|| следует
> (a,b)=||a||*||b|| (неравенство Шварца обращается в равенство)

> А из этого в свою очередь вытекает, что
> (a-gamma*b, a-gamma*b) = 0
> при коэффициенте gamma = (a,b)/(b,b),
> то есть a и b пропорциональны с коэффициентом пропорциональности gamma

Что-то в прошлый раз не получилось. Вторая попытка...


> > > Спасибо огромное.
> > > А если случай и в самом деле более частный? Именно, пусть у нас есть пространство суммируемых в квадрате функций с соответствующей интегральной нормой - корень из интеграла от квадрата по всему отрезку? Как тогда доказать?
> > > Заранее благодарю.

> > Ну это просто случай гильбертова пространства
> > Там это верно, так как, если норма порождается скалярным произведением, то из
> > ||a+b||=||a||+||b|| следует
> > (a,b)=||a||*||b|| (неравенство Шварца обращается в равенство)

> > А из этого в свою очередь вытекает, что
> > (a-gamma*b, a-gamma*b) = 0
> > при коэффициенте gamma = (a,b)/(b,b),
> > то есть a и b пропорциональны с коэффициентом пропорциональности gamma

> Что-то в прошлый раз не получилось. Вторая попытка...

Что-то понял я, что ерунду в конце написал
В общем, проще говоря,
(a/|a|-b/|b| , a/|a|-b/|b|) = 1+1-2*(a,b)/(|a|*|b|)
А последнее равенство обращается в ноль в силу того, что неравенство Шварца обращается в равенство.
Из чего следует, что a и b сонаправлены

Извиняюсь за столь путанные объяснения, ночь-то уже поздняя :))


Благодарю!)))
Я, в общем, так и подумал, хотя точно не уверен, МОЖНО ли мне при решении задачи пользоваться скалярным произведением...))))) Тема-то другая у меня))))


Уважаемые математики!
Не подскажете ли?
Вот есть у нас, скажем, пространство L_2 интегрируемых в квадрате функций с обыкновенной интегральной нормой (корень из интеграла квадрата) на отрезке [a, b] и для функции f, равной нулю вне этого отрезка, задано так называемое усреднение по Стеклову:

s(h, x) = (int_{x-h}^{x+h}f(t)dt)/2h

(то есть функция f интегрируется по отрезку [x-h, x+h] и затем полученный результат делится на 2h)

Как доказать, что при фиксированном h всегда ||g|| <= ||f||, то есть е\норма усреднения не превосходит нормы исходной функции?
Понятно, что нужно применить неравенство Гёльдера. Так я и делаю. Но далее получается двукратный интеграл, про который у Канторовича написано, что, меняя порядок интегрирования, мы получим требуемую оценку. Я как ни пробовал - ничего не получается. Наверно, я не умею интегрировать!!!! Вы не подскажете???
Заранее спасибо.


Здравствуйте! Вот,Ю подскажите, пожалуйста, как решать следующие две задачки.

1. Оператор А действует из прострнаства непрерывных на отрезке функций в него же (с равномерной нормой) по следующему правилу: Ax(t) = f(t)x(t), где f - фиксированная функция. При каких условиях на эту функцию образ оператора будет замкнут?

2. Оператор А действует из L_p (1 <= p <= infinity)в него же по правилу
Ax(t) = (int_(0)^{t}x(s)ds)*1/t.
Доказать, что операор ограничен тогда, и только тогда, когда р строго больше единицы (впрочем, необходимость я уже доказал).
Заранее спасибо!))


Всем спасибо, сам додумался))


> Добрый день! Подскажите, пожалуйста, сопряженное пространство к пр-ву l-бесконечность (пр-ву ограниченных последовательностей)! Спасибо.

Достоверно известно, что сопряженным для L_\infty будет пространство функций ограниченной вариации, поскольку "маленькое" l_\infty можно ДОПОЛНЯЕМО вложить в L_\infty, например, усреднениями, получается, что сопряженным к нему будет пространство последовательностей ограниченной вариации.


> Дамы и господа! Вопрос по линейным нормированным пространствам.
> Вот, казалось, бы, известная вещь: неравенство треугольника в линейном нормированном пространстве.
> А когда оно обращается в равенство?

Хороший вопрос.
А еще лучше так:
Когда оно обращается в неравенство???

Ozes


07 ноября 2005 г. 18:31
скажите кто-нибудь,что такое мера Лебега,пожалуйста.Только если можно попонятнее,я-химик,а не математик,срочно нужно к экзамену.Спасибо.


--------------------------------------------------------------------------------
Re: множества Кардинал 07 ноября 22:22
В ответ на: множества от Sam , 07 ноября 2005 г.:
Рассмотрим R. Полунитервалы образуют полукольцо. Мера Лебега полуинтервала определяется как разность его длина. Затем мера Лебега определяется для всех интервалов и вообще для очень щирокого класса множеств.)))))
понятнее не могу

--------------------------------------------------------------------------------
Re: множества Арх 08 ноября 14:09
В ответ на: множества от Sam , 07 ноября 2005 г.:
> скажите кто-нибудь,что такое мера Лебега,пожалуйста.Только если можно попонятнее,я-химик,а не математик,срочно нужно к экзамену.Спасибо.
Есть простой признак дифференциируемости функции - гладкость ее графика. Дополнительный признак к указанному - непрерывность функции. Аналитически: dy = y'*dx -> 0 при dx->0. Если эти условия выполняются, значит функция дифференциируема и интегрируема.

Как я понял из энциклопедии, мера Лебега - это критерий, или признак, интегрируемости производной функции. Утверждение Лебега, коротко: если максимум и минимум дифференциала dy=y'*dx стремятся к некоторому пределу при dx->0, то есть к конечному значению, например к 3, то этот дифференциал интегрируем. Этот критерий касается определенных интегралов, так как верхний предел интегрирования - максимум функции, нижний - минимум функции. Если интеграл выражает длину, или площадь, или объем и он соответствует мере Лебега, то указанные величины вычисляются полностью, без разрывов. Например: площадь шара равна интегралу I(4*Pi*R^2*sin(x)*dx) при P/20, значит поверхность, описываемая данным выражением, не имеет разрывов, то есть вычисляется точно.

Теории множеств мера Лебега касается тоже, так как эта мера делит одно множество значений функции на два подмножества, если функция не отвечает критерию непрерывности.

В большинстве публикаций на эту тему очень запутанно объясняется теория множеств. Авторы до того абстрактно выражаются, что применить теорию на конкретных примерах не в состоянии ни они сами, ни читатель.


> Есть простой признак дифференциируемости функции - гладкость ее графика.
??????????????????


> Дополнительный признак к указанному - непрерывность функции.
Он не дополнительный, он необходимый!!!!!!)))))))))))))

> Аналитически: dy = y'*dx -> 0 при dx->0. Если эти условия выполняются, значит функция дифференциируема и интегрируема.


> Как я понял из энциклопедии, мера Лебега - это критерий, или признак, интегрируемости производной функции.
Конечно, НЕТ!!!!!!!!!!!! МЕРА Лебега - это ФУНКЦИЯ, удовлетворяющпя определённым условиям (монотонность по вложенным множествам, неотрицательность, сигма-аддитивность); весь вопрос в том, ДЛЯ КАКИХ именно множество она определена.


> В большинстве публикаций на эту тему очень запутанно объясняется теория множеств. Авторы до того абстрактно выражаются, что применить теорию на конкретных примерах не в состоянии ни они сами, ни читатель.
Вы не правы. Вы, по-видимому, просто не разобрались)))))) удачи!!



> > В большинстве публикаций на эту тему очень запутанно объясняется теория множеств. Авторы до того абстрактно выражаются, что применить теорию на конкретных примерах не в состоянии ни они сами, ни читатель.
> Вы не правы. Вы, по-видимому, просто не разобрались)))))) удачи!!

Согласен - не разобрался. Потому, что натыкаюсь в интернете на философские статьи на эту тему, а не на учебники. Вы тоже не привели примера к определению меры Лебега, чтобы понятно стало.


Зайдите на сайт мехмата. Скачайте любую книжку по интегралу Лебега. Читайте.
Или жаде по матанализу. По-моему, в учебнике Решетняка ВООБЩЕ не воодится интеграл Римана, там сразу идёт речь об интеграле Лебега (но я не уверен).
А насчёт определения - я его привёл: это мера, определённая на полукольце полуинтервалов как длина полуинтервала, а затем стандартным образом продолженная. Аналогично определяется мера Лебега для n-мерного пространства.
А что Вы понимаете по ПРИМЕРОМ меры Лебега?


> 07 ноября 2005 г. 18:31
> скажите кто-нибудь,что такое мера Лебега,пожалуйста.Только если можно попонятнее,я-химик,а не математик,срочно нужно к экзамену.Спасибо.

>
> --------------------------------------------------------------------------------
> Re: множества Кардинал 07 ноября 22:22
> В ответ на: множества от Sam , 07 ноября 2005 г.:
> Рассмотрим R. Полунитервалы образуют полукольцо. Мера Лебега полуинтервала определяется как разность его длина. Затем мера Лебега определяется для всех интервалов и вообще для очень щирокого класса множеств.)))))
> понятнее не могу

> --------------------------------------------------------------------------------
> Re: множества Арх 08 ноября 14:09
> В ответ на: множества от Sam , 07 ноября 2005 г.:
> > скажите кто-нибудь,что такое мера Лебега,пожалуйста.Только если можно попонятнее,я-химик,а не математик,срочно нужно к экзамену.Спасибо.
> Есть простой признак дифференциируемости функции - гладкость ее графика. Дополнительный признак к указанному - непрерывность функции. Аналитически: dy = y'*dx -> 0 при dx->0. Если эти условия выполняются, значит функция дифференциируема и интегрируема.

> Как я понял из энциклопедии, мера Лебега - это критерий, или признак, интегрируемости производной функции. Утверждение Лебега, коротко: если максимум и минимум дифференциала dy=y'*dx стремятся к некоторому пределу при dx->0, то есть к конечному значению, например к 3, то этот дифференциал интегрируем. Этот критерий касается определенных интегралов, так как верхний предел интегрирования - максимум функции, нижний - минимум функции. Если интеграл выражает длину, или площадь, или объем и он соответствует мере Лебега, то указанные величины вычисляются полностью, без разрывов. Например: площадь шара равна интегралу I(4*Pi*R^2*sin(x)*dx) при P/20, значит поверхность, описываемая данным выражением, не имеет разрывов, то есть вычисляется точно.

> Теории множеств мера Лебега касается тоже, так как эта мера делит одно множество значений функции на два подмножества, если функция не отвечает критерию непрерывности.

> В большинстве публикаций на эту тему очень запутанно объясняется теория множеств. Авторы до того абстрактно выражаются, что применить теорию на конкретных примерах не в состоянии ни они сами, ни читатель.


В принципе если не вникать в тонкости теории то можно сказать проще - мера Лебега характеризует как бы размер множества. В одномерном случае - длина отрезка (интервала), в двумерном - площадь, в трехмерном - объем и т.д.

У нас в учебе мера Лебега только в теории вероятностей фигурирывала - в определении геометрический вероятности. P(A) = m(A)/m(I), где m(A), m(I) - как раз меры Лебега. A - нужное событие, I - универс. Так вот здесь под мерой Лебега именно понимается то, что я писал...


Помогите пожалуйста найти норму данного функционала:
f(x)=сумма(от k=1 до бесконечносьти) (t (ind:k) + t (ind:k+1))/(2^k), где x принадлежит пространству l(эл) два.
19 января 2006 г. 09:16:


Имеется сферически симметричная функция f(r), как из нее получить с помощью БПФ Фурье преобразованную F(k) тоже сферически симметричную.
r и k - радиусы в соответствующих пространствах (отчитывая от начала координат).
21 января 2006 г. 15:59:


> > Дамы и господа! Вопрос по линейным нормированным пространствам.
> > Вот, казалось, бы, известная вещь: неравенство треугольника в линейном нормированном пространстве.
> > А когда оно обращается в равенство?

> Хороший вопрос.
> А еще лучше так:
> Когда оно обращается в неравенство???

> Ozes

когда х и у равны 0


Вот никак не могу понять, является ли множество {x(t)-множество непрерывных на [a,b] функций, таких, что x(t)>=t, для любого t принадлежащего [a,b]} открытым или замкнутым??? А может быть ни тем ни другим???


> Вот никак не могу понять, является ли множество {x(t)-множество непрерывных на [a,b] функций, таких, что x(t)>=t, для любого t принадлежащего [a,b]} открытым или замкнутым??? А может быть ни тем ни другим???

1)Ясно, что преобразование x(t)|->x(t)-t является гомеоморфизмом множества непрерывных функций на себя. Поэтому достаточно рассмотреть множество
M={x from C[a,b]: x(t)>=0 for any t from [a,b]}
2) рассмотрим дополнение к множеству M:
N={x from C[a,b]: x(t) less than 0 for some t from [a,b]}
докажем что оно открыто.
Пусть x элемент множества N. Возьмём открытый шар радиуса r в C[a,b] с центром в точке x : B={y:|x-y| less than r}.
Пусть t* - точка минимума x(t).
Выбирая r меньшим чем x(t*) получаем окрестность точки x, которая содержится в N.
То есть N открыто. Следовательно, дополнение к нему замкнуто.


> > Вот никак не могу понять, является ли множество {x(t)-множество непрерывных на [a,b] функций, таких, что x(t)>=t, для любого t принадлежащего [a,b]} открытым или замкнутым??? А может быть ни тем ни другим???
Исправлю мелкие огрехи...
> 1)Ясно, что преобразование x(t)|->x(t)-t является гомеоморфизмом множества непрерывных функций на себя. Поэтому достаточно рассмотреть множество
> M={x from C[a,b]: x(t)>=0 for any t from [a,b]}
> 2) рассмотрим дополнение к множеству M:
> N={x from C[a,b]: x(t) less than 0 for some t from [a,b]}
> докажем что оно открыто.
> Пусть x элемент множества N. Возьмём открытый шар радиуса r в C[a,b] с центром в точке x : B={y:|x-y| less than r}.
Пусть t* - точка глобального минимума x(t). Ясно, что x(t*) less than 0.
Выбирая r меньшим чем -x(t*) получаем окрестность точки x, которая содержится в N.
То есть N открыто. Следовательно, дополнение к нему замкнуто.


> Продолжение темы. Начало темы (сообщение № 6643) находится в архиве.


Спасибо за задачу про открытость/замкнутость. Вот ещё дали задачку потяжелее. Дано произвольное иррациональное число a. Доказать, что множество {na mod 1}, где n=0,1,2,3,… всюду плотно в отрезке [0,1]. Известно, что ещё Якоби смог привести доказательство, но я сколько его не искал нигде не нашёл. Может быть Вы знаете как доказать это утвержденьице???
Заранее благодарен.


По-моему, это обычная иррациональная обмотка тора.
Последовательность бесконечна в силу иррациональности числа а.
Во-первых, эта последовательность обладает предельной точкой (так как отрезок компактен, то из любой последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность).
Во-вторых, раз так, то любая точка предельная (как-то это легко показывается, я призабыл...)))))


> По-моему, это обычная иррациональная обмотка тора.
> Последовательность бесконечна в силу иррациональности числа а.
> Во-первых, эта последовательность обладает предельной точкой (так как отрезок компактен, то из любой последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность).
> Во-вторых, раз так, то любая точка предельная (как-то это легко показывается, я призабыл...)))))


Олимпиадная классика
Покажем, что если идти по "модулярному" отрезку с иррациональным шагом _а_, то обязательно свалишься в наперед заданную канаву с наперед заданной шириной _h_.

В самом деле, если отмечать местоположение, то при количестве шагов больше чем 1/h две отмеченные точки находятся на расстоянии меньше h.
Пусть у них номера m>n.
Следовательно каждые (m-n)=k шагов смещает нас на расстояние, меньшее h, и т.д.
Иррациональность по существу. Обеспечивает непериодичность.


1. Док-ать, что мн-во всех бесконечных послед. из 0,1,2, в которых 0 и 1 встечаются конечное число раз, счетно.
2. Док-ть, что мн-во точек плоскости, лежащих на графике любой ф-ции, заданной на отрезке [0,1], имеет мощность континуума.
Помогите пожалуйста, срочно надо к завтрашнему дню, а я не знаю как доказать


1. Док-ать, что мн-во всех бесконечных послед. из 0,1,2, в которых 0 и 1 встечаются конечное число раз, счетно.
2. Док-ть, что мн-во точек плоскости, лежащих на графике любой ф-ции, заданной на отрезке [0,1], имеет мощность континуума


> 1. Док-ать, что мн-во всех бесконечных послед. из 0,1,2, в которых 0 и 1 встечаются конечное число раз, счетно.
> 2. Док-ть, что мн-во точек плоскости, лежащих на графике любой ф-ции, заданной на отрезке [0,1], имеет мощность континуума.
> Помогите пожалуйста, срочно надо к завтрашнему дню, а я не знаю как доказать

1. Каждой такой последовательности можно поставить в соответствие бесконечную десятичную дробь вида 0,012120... и т.п. Поскольку в такой дроби только 2 встречается бесконечное число раз, то рано или поздно 2 окажется а периоде, т.е. эта дробь - периодическая. Следовательно множество этих дробей - это множество каких-либо рациональных чисел, т.е. является подмножеством множества рациональных чисел, т.е - счетно.

2. Множеству таких точек можно поставить в соответствие множество точек отрезка [0,1], которое имеет мощность континуума.


Я сейчас читаю функциональный анализ Колмогорова и Фомина. В одном месте мне попалось отделимое пространство, но перед этим нигде не было написано что это. T1-пространство там так и называется T0-хаусдорфовым. А что такое ОТДЕЛИМОЕ ПРОСТРАНСТВО?
03 мая 2006 г. 17:40

--------------------------------------------------------------------------------
Re: Вопрос по книге Ираклий 03 мая 18:27
В ответ на Вопрос по книге от ТАВ , 03 мая 2006 г.:
> Я сейчас читаю функциональный анализ Колмогорова и Фомина. В одном месте мне попалось отделимое пространство, но перед этим нигде не было написано что это. T1-пространство там так и называется T0-хаусдорфовым. А что такое ОТДЕЛИМОЕ ПРОСТРАНСТВО?
Видимо, Т1-пространство и отделимое пространство - это одно и то же.


помогите плз решить задачку!
Привести пример некомпактного оператора A:l_2(R) -> l_2(R) такого что А^2 является компактным. l_2(R) - гильбертово пространство.
27 мая 2006 г. 21:39:



Привет всем! Помогите решить задачку:
Найти мощность множества всех сходящихся последовательностей действительных чисел.
05 июня 2006 г. 15:09:



Линейный оператор А задан в некотором базисе е матрицей Ае над полем комплексных чисел.
    1 2 3 4  

    2 3 4 5  

Ае= 3 4 5 6 f(t)=t2+2t+3
    4 5 6 7  

а) найти все значения √f(A) над полем комплексных чисел. (в ответе не менее 3 десятичных знаков)
б) найти е в степени f(A) и e в степени t*f(A)

заранее спасибо :-))


  • 22839: Хитрый сопряженный оператор Максим 12 декабря 15:20
    В ответ на №10835: Функциональный анализ от , 25 февраля 2004 г.:
Господа! При написании курсовой работы возникла проблема.
Оператор А задан в гильбертовом пространстве:
А: Н-Н
(Ax)(t)=x(t/2)
Надо найти сопряженный ему оператор...


  • 22843: Re: Хитрый сопряженный оператор Daniel 12 декабря 23:05
    В ответ на №22839: Хитрый сопряженный оператор от Максим , 12 декабря 2007 г.:
> Господа! При написании курсовой работы возникла проблема.
> Оператор А задан в гильбертовом пространстве:
> А: Н-Н
> (Ax)(t)=x(t/2)
> Надо найти сопряженный ему оператор...

зависит от ввёдённого в H скалярного произведения
если H=L2(R), то
(Ax,y)=(x,A*y)
используюя формулу замены переменных получим
(A*y)(t)=2*y(2*t)

если взять в качастве H пространство Соболева, то похоже, что это будет псевдодифференциальный оператор.


  • 25332: Сигма- аддитивность Fw: Ираклий 23 июля 05:29
    В ответ на №10835: Функциональный анализ от , 25 февраля 2004 г.:

[Перенесено модератором из форума "Форум по математике"]

Сообщение №25259 от Ираклий 30 июня 2008 г. 16:48
Тема: Сигма- аддитивность

Люди, помогите решить задачу:

H - множество всех (бесконечных) последовательностей из 0 и 1.

Пусть s - некоторая конечная (возможно, пустая) последовательность из 0 и 1. Шаром W_s называется множество тех последовательностей из H, которые начинаются с s. Например, H = W_0, где 0 - пустая последовательность.

Объемом шара W_s называется число 1/(2^n), где n - длина s. Например, объем H равен 1.

З а д а ч а .
Пусть H представлено в виде счетного объединения непересекающихся шаров:

H = W_s1 U W_s2 U ... U W_si U ...

Докажите, что сумма объемов этих шаров равна 1 (т.е объему H).

Отклики на это сообщение:


  • 25273: Re: Сигма- аддитивность мискалик 03 июля 15:18
    В ответ на №25259: Сигма- аддитивность от Ираклий , 30 июня 2008 г.:
Если правильно понял теорему, то ее истинность вполне очевидна, в тоже время нужно строгое док-во...

Докажем по индукции, зафиксируем N=1 (максимальная длина si)
Для H = W_0 теорема очевидна (N=1)
Предположим теперь, что теорема верна для всех вариантов объединений, в которых niДля этого:
Рассмотрим шары для которых ni=N+1.
Очевиден вывод, что такие шары входят в объединение попарно, т.е. для каждого такого шара W_si найдется парный ему W_si_2, отличающийся лишь последним символом в si.
Это следует из того, что
1) последовательность начинающаяся с si_2 (длиной N) не может входить ни в один шар с nj2) последовательность начинающаяся с si_2 (длиной N) не может входить ни в один шар nj>N, т.к. по условию таких шаров не существует в объединении
3) последовательность начинающаяся с si_2 (длиной N) должна входить хоть в какой-нибудь шар, а значит этот шар длиной (ni_2=N)

Объединив парные шары (в исходном объединении друг с другом), получим вариант объединения, в котором все шары ni


  • 25274: Re: Сигма- аддитивность, форматирование мискалик 03 июля 15:22
    В ответ на №25273: Re: Сигма- аддитивность от мискалик , 03 июля 2008 г.:
> Если правильно понял теорему, то ее истинность вполне очевидна, в тоже время нужно строгое док-во...

> Докажем по индукции, зафиксируем N=1 (максимальная длина si)
> Для H = W_0 теорема очевидна (N=1)
> Предположим теперь, что теорема верна для всех вариантов объединений, в которых ni
> Для этого:
> Рассмотрим шары для которых ni=N+1.
> Очевиден вывод, что такие шары входят в объединение попарно, т.е. для каждого такого шара W_si найдется парный ему W_si_2, отличающийся лишь последним символом в si.
> Это следует из того, что
> 1) последовательность начинающаяся с si_2 (длиной N) не может входить ни в один шар с nj
> 2) последовательность начинающаяся с si_2 (длиной N) не может входить ни в один шар nj>N, т.к. по условию таких шаров не существует в объединении
> 3) последовательность начинающаяся с si_2 (длиной N) должна входить хоть в какой-нибудь шар, а значит этот шар длиной (ni_2=N)

> Объединив парные шары (в исходном объединении друг с другом), получим вариант объединения, в котором все шары ni


  • 25275: Re: Сигма- аддитивность, форматирование Ираклий 03 июля 20:29
    В ответ на №25274: Re: Сигма- аддитивность, форматирование от мискалик , 03 июля 2008 г.:
> > Если правильно понял теорему, то ее истинность вполне очевидна, в тоже время нужно строгое док-во...

Интуитивно факт кажется ясным, да.

> > Докажем по индукции, зафиксируем N=1 (максимальная длина si)

У меня вопрос уже к первой строчке. Никто не сказал, что длины si ограничены сверху! Так что максимального среди них может и не быть. А если оно и есть, то среди счетного числа шаров имеется лишь конечное число различных.

Приведу пример, как можно разбить H на счетное число различных шаров. Для этого можно, например, взять si такими:
s1: 0
s2: 10
s3: 110
s4: 1110
...

Видно, что среди этого набора si есть сколь угодно длинные конечные последовательности.


  • 25276: Re: Сигма- аддитивность, форматирование миксантик 04 июля 01:31
    В ответ на №25275: Re: Сигма- аддитивность, форматирование от Ираклий , 03 июля 2008 г.:
Да, этот вопрос мне тоже приходил в голову -) Как поступают в таких случаях - когда нужно перейти от конечности к счетности мне тоже интересно.

Может быть так получится:
Станем рассматривать только такие шары из бесконечного объединения, в которых si ограничено заданным N.
Тогда наше прошлое утверждение УТВ(для заданного N) несколько преобразуется.
А именно сумма объемов таких шаров из бесконечного объединения содержится между [1-1/2^N, 1].
Сей факт запишем как 1-1/2^N ≤ УТВ(N) ≤1
то есть утверждение УТВ зависит от заданного N.

//----------------
Пусть задано произвольное эпсилон - e сколь угодно малое.
Всякому такому эпсилон найдется некоторое - Ne, такое что интервал [1-1/2^Ne, 1] будет близок к единице меньше чем на эпсилон.

А это ничто иное как определение предельной последовательности УТВ(N) сходящейся к единице при неограниченном росте N.
(Вроде бы так, все по учебнику)

Итак, если N неограничено растет, то УТВ(N) сколь угодно мало отличается от единицы.
Если же N ограничено, то по доказанному ранее УТВ(N)=1

Вощем, как яснее выразится я не знаю, если кто нить знает было бы очень интересно. Говорят, что три века назад предельное исчисление вызывало буйные споры, было много непонимающих и прочее еретичество -) Похоже мы можем их повторить )


  • 25277: Re: Сигма- аддитивность, форматирование Ираклий 04 июля 17:49
    В ответ на №25276: Re: Сигма- аддитивность, форматирование от миксантик , 04 июля 2008 г.:
> Да, этот вопрос мне тоже приходил в голову -) Как поступают в таких случаях - когда нужно перейти от конечности к счетности мне тоже интересно.

> Может быть так получится:
> Станем рассматривать только такие шары из бесконечного объединения, в которых si ограничено заданным N.
> Тогда наше прошлое утверждение УТВ(для заданного N) несколько преобразуется.
> А именно сумма объемов таких шаров из бесконечного объединения содержится между [1-1/2^N, 1].
> Сей факт запишем как 1-1/2^N ≤ УТВ(N) ≤1
> то есть утверждение УТВ зависит от заданного N.

Значит, УТВ(N) есть суммарный объем тех шаров из объединения, которые соответствуют двоичным словам длины не больше N. То есть мы не учли объемы тех шаров, которые соответствуют двоичным словам блины больше N. Но суммарный объем этих отброшенных шаров может оказаться больше 1/2^N. Так что не понимаю, откуда взялось неравенство 1-1/2^N ≤ УТВ(N).


> Говорят, что три века назад предельное исчисление вызывало буйные споры, было много непонимающих и прочее еретичество -) Похоже мы можем их повторить )

На сколько я понимаю, три века назад у математиков проблема была в том, что полезность "сколь угодно малой величины" была уже осознана и на ее основе было выстроено дифференциальное и интегральное исчесление, а вот понятного математического объекта, который моделировал бы это понятие, еще не было. А потом Гюйгенс, Коши и Вейерштрасс придумали последовательности, эпсилон-дельта и прочий рай. :-)


  • 25278: Re: Сигма- аддитивность, форматирование Ираклий 04 июля 17:56
    В ответ на №25277: Re: Сигма- аддитивность, форматирование от Ираклий , 04 июля 2008 г.:
> А потом Гюйгенс, Коши и Вейерштрасс придумали последовательности, эпсилон-дельта и прочий рай. :-)

С Гюйгенсом меня что-то проглючило - он тут не при чем. Так сказать, не в чем не виноват.


  • 25280: Re: Сигма- аддитивность, форматирование миксанатик 05 июля 22:13
    В ответ на №25277: Re: Сигма- аддитивность, форматирование от Ираклий , 04 июля 2008 г.:
Да, с неравенством я напутал, доказывал для частного случая. Там сумма объемов оставшихся шаров как раз меньше 1/2^n
1
110
1110
.....

//-----------------------------------

Да было бы интересно свести эту теорему непосредственно к основным аксиомам теории множеств.
А пока вот несколько наблюдений:

1) "Доказательство в одну строку"
Итак, есть некоторое утверждение/функция УТВ(N) для любого наперед заданного, конечного N
УТВ(N)=1
А значит по определению предела (всегда найдется такое эпсилон и такое Ne и прочее ....)
lim УТВ(N)=1
То есть при неограниченном росте N, УТВ(N) все равно, равно единице
"Теорема доказана"

2) Очевидная геометрическая интерпретация:
Возьмем отрезок от нуля до единицы.
Разобъем его на некоторую систему подмножеств (их число может быть бесконечно, но всегда счетно)
длина каждого подотрезка есть ни что иное как объем некоторого шара в объединении. подотрезки не пересекаются и заполняют весь интервал.
Пример соответсвия шаров подотрезкам:
Возьмем шар 01010...
Тогда соответствующий подотрезок лежит в интервале от 0/2+ 1/4 +0/8 +1/16 +0/32
до 0/2+ 1/4 +0/8 +1/16 +0/32 + [его объем = 1/32]
Если нарисовать картинку, то там вообще все ясно. Делаем половинное деление, выбирая каждый раз правую либо левую часть[ 1 или 0 ] в итоге доходим до искомого подотрезка.


  • 25281: Re: Сигма- аддитивность, форматирование Ираклий 05 июля 22:50
    В ответ на №25280: Re: Сигма- аддитивность, форматирование от миксанатик , 05 июля 2008 г.:
> 2) Очевидная геометрическая интерпретация:
> Возьмем отрезок от нуля до единицы.
> Разобъем его на некоторую систему подмножеств (их число может быть бесконечно, но всегда счетно)
> длина каждого подотрезка есть ни что иное как объем некоторого шара в объединении. подотрезки не пересекаются и заполняют весь интервал.
> Пример соответсвия шаров подотрезкам:
> Возьмем шар 01010...
> Тогда соответствующий подотрезок лежит в интервале от 0/2+ 1/4 +0/8 +1/16 +0/32
> до 0/2+ 1/4 +0/8 +1/16 +0/32 + [его объем = 1/32]
> Если нарисовать картинку, то там вообще все ясно. Делаем половинное деление, выбирая каждый раз правую либо левую часть[ 1 или 0 ] в итоге доходим до искомого подотрезка.

Это похоже на правду. Видимо, на этом и можно остановиться. Хотя это решение сводит одну σ-аддитивность к другой, известной.


  • 29919: Топология Fw: Арианна 06 апреля 15:44
    В ответ на №10835: Функциональный анализ от , 25 февраля 2004 г.:
Здравствуйте, кто нибудь разбирается в топологии??? Нужно решить задачки!

1. Покажите, что если пространство имеет счётную база, то каждая база этого пространства содержит счётное семейство, являющееся базой
2. Является ли группа Z подгруппой тополонической группы Q и R?

Заранее благодарю..


  • 29939: Re: Топология Leon 07 апреля 17:21
    В ответ на №29919: Топология от Fw: Арианна , 06 апреля 2009 г.:
> Здравствуйте, кто нибудь разбирается в топологии??? Нужно решить задачки!

> 1. Покажите, что если пространство имеет счётную база, то каждая база этого пространства содержит счётное семейство, являющееся базой
> 2. Является ли группа Z подгруппой тополонической группы Q и R?

> Заранее благодарю..

Арианна, надо просто проверить условия из определений. Какие определения Вам давали - по ним и проверять.


  • 29944: Re: Топология Арианна 07 апреля 20:52
    В ответ на №29939: Re: Топология от Leon , 07 апреля 2009 г.:
> > Здравствуйте, кто нибудь разбирается в топологии??? Нужно решить задачки!

> > 1. Покажите, что если пространство имеет счётную база, то каждая база этого пространства содержит счётное семейство, являющееся базой
> > 2. Является ли группа Z подгруппой тополонической группы Q и R?

> > Заранее благодарю..

> Арианна, надо просто проверить условия из определений. Какие определения Вам давали - по ним и проверять.

Leon, нам ничего не давали, в том то и дело!!! :))
Эта топология - это кошмар!!!! :))))
Я про базы какие-то впервые слышу вообще!!! Вот поэтому и написала!!!


  • 29952: Re: Топология Leon 07 апреля 22:06
    В ответ на №29944: Re: Топология от Арианна , 07 апреля 2009 г.:
> > > Здравствуйте, кто нибудь разбирается в топологии??? Нужно решить задачки!

> > > 1. Покажите, что если пространство имеет счётную база, то каждая база этого пространства содержит счётное семейство, являющееся базой
> > > 2. Является ли группа Z подгруппой тополонической группы Q и R?

> > > Заранее благодарю..

> > Арианна, надо просто проверить условия из определений. Какие определения Вам давали - по ним и проверять.

> Leon, нам ничего не давали, в том то и дело!!! :))
> Эта топология - это кошмар!!!! :))))
> Я про базы какие-то впервые слышу вообще!!! Вот поэтому и написала!!!

Арианна, сочувствую.
Наберите в поисковике слова "База топологии"
Появятся ссылки (в частности, википедия).
Потом поговорим.


  • 29974: Re: Топология Арианна 08 апреля 15:58
    В ответ на №29952: Re: Топология от Leon , 07 апреля 2009 г.:
> > > > Здравствуйте, кто нибудь разбирается в топологии??? Нужно решить задачки!

> > > > 1. Покажите, что если пространство имеет счётную база, то каждая база этого пространства содержит счётное семейство, являющееся базой
> > > > 2. Является ли группа Z подгруппой тополонической группы Q и R?

> > > > Заранее благодарю..

> > > Арианна, надо просто проверить условия из определений. Какие определения Вам давали - по ним и проверять.

> > Leon, нам ничего не давали, в том то и дело!!! :))
> > Эта топология - это кошмар!!!! :))))
> > Я про базы какие-то впервые слышу вообще!!! Вот поэтому и написала!!!

> Арианна, сочувствую.
> Наберите в поисковике слова "База топологии"
> Появятся ссылки (в частности, википедия).
> Потом поговорим.

Я сама себе сочувствую Леон... :))) Спасибо за совет...
Я почитала Википедию... Там общие определения только...


  • 30010: Re: Топология Арианна 13 апреля 19:03
    В ответ на №29974: Re: Топология от Арианна , 08 апреля 2009 г.:
> > > > > Здравствуйте, кто нибудь разбирается в топологии??? Нужно решить задачки!

> > > > > 1. Покажите, что если пространство имеет счётную база, то каждая база этого пространства содержит счётное семейство, являющееся базой
> > > > > 2. Является ли группа Z подгруппой тополонической группы Q и R?

> > > > > Заранее благодарю..

> > > > Арианна, надо просто проверить условия из определений. Какие определения Вам давали - по ним и проверять.

> > > Leon, нам ничего не давали, в том то и дело!!! :))
> > > Эта топология - это кошмар!!!! :))))
> > > Я про базы какие-то впервые слышу вообще!!! Вот поэтому и написала!!!

> > Арианна, сочувствую.
> > Наберите в поисковике слова "База топологии"
> > Появятся ссылки (в частности, википедия).
> > Потом поговорим.

> Я сама себе сочувствую Леон... :))) Спасибо за совет...
> Я почитала Википедию... Там общие определения только...

Здравствуйте Leon, нам сегодня наконец-то рассказали на занятии про базы...Я немного вникла во всё!! Но помощь по-преждему нужна!! :))))))


  • 30012: Re: Топология Leon 13 апреля 20:28
    В ответ на №30010: Re: Топология от Арианна , 13 апреля 2009 г.:
> > > > > > Здравствуйте, кто нибудь разбирается в топологии??? Нужно решить задачки!

> > > > > > 1. Покажите, что если пространство имеет счётную база, то каждая база этого пространства содержит счётное семейство, являющееся базой
> > > > > > 2. Является ли группа Z подгруппой тополонической группы Q и R?

> > > > > > Заранее благодарю..

> > > > > Арианна, надо просто проверить условия из определений. Какие определения Вам давали - по ним и проверять.

> > > > Leon, нам ничего не давали, в том то и дело!!! :))
> > > > Эта топология - это кошмар!!!! :))))
> > > > Я про базы какие-то впервые слышу вообще!!! Вот поэтому и написала!!!

> > > Арианна, сочувствую.
> > > Наберите в поисковике слова "База топологии"
> > > Появятся ссылки (в частности, википедия).
> > > Потом поговорим.

> > Я сама себе сочувствую Леон... :))) Спасибо за совет...
> > Я почитала Википедию... Там общие определения только...

> Здравствуйте Leon, нам сегодня наконец-то рассказали на занятии про базы...Я немного вникла во всё!! Но помощь по-преждему нужна!! :))))))

К сожалению, я не могу сообразить как решить первую задачу.
По поводу второй. В группе по сложению Z, видимо, дискретная топология (каждая точка открыта), которая совпадает с индуцированными топологиями групп по сложению Q и R. Мне кажется, что ответ - да.
Если что-то не так, то напишите.


  • 30014: Re: Топология Leon 13 апреля 20:35
    В ответ на №30012: Re: Топология от Leon , 13 апреля 2009 г.:
> > > > > > > Здравствуйте, кто нибудь разбирается в топологии??? Нужно решить задачки!

> > > > > > > 1. Покажите, что если пространство имеет счётную база, то каждая база этого пространства содержит счётное семейство, являющееся базой
> > > > > > > 2. Является ли группа Z подгруппой тополонической группы Q и R?

> > > > > > > Заранее благодарю..

> > > > > > Арианна, надо просто проверить условия из определений. Какие определения Вам давали - по ним и проверять.

> > > > > Leon, нам ничего не давали, в том то и дело!!! :))
> > > > > Эта топология - это кошмар!!!! :))))
> > > > > Я про базы какие-то впервые слышу вообще!!! Вот поэтому и написала!!!

> > > > Арианна, сочувствую.
> > > > Наберите в поисковике слова "База топологии"
> > > > Появятся ссылки (в частности, википедия).
> > > > Потом поговорим.

> > > Я сама себе сочувствую Леон... :))) Спасибо за совет...
> > > Я почитала Википедию... Там общие определения только...

> > Здравствуйте Leon, нам сегодня наконец-то рассказали на занятии про базы...Я немного вникла во всё!! Но помощь по-преждему нужна!! :))))))

> К сожалению, я не могу сообразить как решить первую задачу.
> По поводу второй. В группе по сложению Z, видимо, дискретная топология (каждая точка открыта), которая совпадает с индуцированными топологиями групп по сложению Q и R. Мне кажется, что ответ - да.
> Если что-то не так, то напишите.

Возможно, Вам помогут на другом форуме
http://dxdy.ru/


  • 30026: Re: Топология Арианна 14 апреля 22:26
    В ответ на №30014: Re: Топология от Leon , 13 апреля 2009 г.:
> > > > > > > > Здравствуйте, кто нибудь разбирается в топологии??? Нужно решить задачки!

> > > > > > > > 1. Покажите, что если пространство имеет счётную база, то каждая база этого пространства содержит счётное семейство, являющееся базой
> > > > > > > > 2. Является ли группа Z подгруппой тополонической группы Q и R?

> > > > > > > > Заранее благодарю..

> > > > > > > Арианна, надо просто проверить условия из определений. Какие определения Вам давали - по ним и проверять.

> > > > > > Leon, нам ничего не давали, в том то и дело!!! :))
> > > > > > Эта топология - это кошмар!!!! :))))
> > > > > > Я про базы какие-то впервые слышу вообще!!! Вот поэтому и написала!!!

> > > > > Арианна, сочувствую.
> > > > > Наберите в поисковике слова "База топологии"
> > > > > Появятся ссылки (в частности, википедия).
> > > > > Потом поговорим.

> > > > Я сама себе сочувствую Леон... :))) Спасибо за совет...
> > > > Я почитала Википедию... Там общие определения только...

> > > Здравствуйте Leon, нам сегодня наконец-то рассказали на занятии про базы...Я немного вникла во всё!! Но помощь по-преждему нужна!! :))))))

> > К сожалению, я не могу сообразить как решить первую задачу.
> > По поводу второй. В группе по сложению Z, видимо, дискретная топология (каждая точка открыта), которая совпадает с индуцированными топологиями групп по сложению Q и R. Мне кажется, что ответ - да.
> > Если что-то не так, то напишите.

> Возможно, Вам помогут на другом форуме
> http://dxdy.ru/

Спасибо Leon хотя бы за второе... Я постораюсь прояснить что-нибудь с первым.. И обязателньо потом напишу... Спасибо за ссылочку...Посмотрю там...может и правда помогут!!!

А может быть вы сможете сказать что-то по следующему:

Пусть множество U открыто и всюду плотно в метрическом пространстве X. Покажите, что X\U нигде не плотно в Х.


  • 30032: Re: Топология Leon 15 апреля 09:41
    В ответ на №30026: Re: Топология от Арианна , 14 апреля 2009 г.:
> > > > > > > > > Здравствуйте, кто нибудь разбирается в топологии??? Нужно решить задачки!

> > > > > > > > > 1. Покажите, что если пространство имеет счётную база, то каждая база этого пространства содержит счётное семейство, являющееся базой
> > > > > > > > > 2. Является ли группа Z подгруппой тополонической группы Q и R?

> > > > > > > > > Заранее благодарю..

> > > > > > > > Арианна, надо просто проверить условия из определений. Какие определения Вам давали - по ним и проверять.

> > > > > > > Leon, нам ничего не давали, в том то и дело!!! :))
> > > > > > > Эта топология - это кошмар!!!! :))))
> > > > > > > Я про базы какие-то впервые слышу вообще!!! Вот поэтому и написала!!!

> > > > > > Арианна, сочувствую.
> > > > > > Наберите в поисковике слова "База топологии"
> > > > > > Появятся ссылки (в частности, википедия).
> > > > > > Потом поговорим.

> > > > > Я сама себе сочувствую Леон... :))) Спасибо за совет...
> > > > > Я почитала Википедию... Там общие определения только...

> > > > Здравствуйте Leon, нам сегодня наконец-то рассказали на занятии про базы...Я немного вникла во всё!! Но помощь по-преждему нужна!! :))))))

> > > К сожалению, я не могу сообразить как решить первую задачу.
> > > По поводу второй. В группе по сложению Z, видимо, дискретная топология (каждая точка открыта), которая совпадает с индуцированными топологиями групп по сложению Q и R. Мне кажется, что ответ - да.
> > > Если что-то не так, то напишите.

> > Возможно, Вам помогут на другом форуме
> > http://dxdy.ru/

> Спасибо Leon хотя бы за второе... Я постораюсь прояснить что-нибудь с первым.. И обязателньо потом напишу... Спасибо за ссылочку...Посмотрю там...может и правда помогут!!!

> А может быть вы сможете сказать что-то по следующему:

> Пусть множество U открыто и всюду плотно в метрическом пространстве X. Покажите, что X\U нигде не плотно в Х.

Согласно определению: Множество X\U называется нигде не плотным, если в любом непустом открытом множестве найдется непустое открытое подмножество, свободное от точек X\U.
Попробуем рассуждать от противного. Это означает, что существует непустое открытое множество V, в котором X\U плотно. Но X\U замкнуто. Поэтому оно содержит V. Но тогда U не плотно!!!


  • 30043: Re: Топология Арианна 15 апреля 19:59
    В ответ на №30032: Re: Топология от Leon , 15 апреля 2009 г.:
> > > > > > > > > > Здравствуйте, кто нибудь разбирается в топологии??? Нужно решить задачки!

> > > > > > > > > > 1. Покажите, что если пространство имеет счётную база, то каждая база этого пространства содержит счётное семейство, являющееся базой
> > > > > > > > > > 2. Является ли группа Z подгруппой тополонической группы Q и R?

> > > > > > > > > > Заранее благодарю..

> > > > > > > > > Арианна, надо просто проверить условия из определений. Какие определения Вам давали - по ним и проверять.

> > > > > > > > Leon, нам ничего не давали, в том то и дело!!! :))
> > > > > > > > Эта топология - это кошмар!!!! :))))
> > > > > > > > Я про базы какие-то впервые слышу вообще!!! Вот поэтому и написала!!!

> > > > > > > Арианна, сочувствую.
> > > > > > > Наберите в поисковике слова "База топологии"
> > > > > > > Появятся ссылки (в частности, википедия).
> > > > > > > Потом поговорим.

> > > > > > Я сама себе сочувствую Леон... :))) Спасибо за совет...
> > > > > > Я почитала Википедию... Там общие определения только...

> > > > > Здравствуйте Leon, нам сегодня наконец-то рассказали на занятии про базы...Я немного вникла во всё!! Но помощь по-преждему нужна!! :))))))

> > > > К сожалению, я не могу сообразить как решить первую задачу.
> > > > По поводу второй. В группе по сложению Z, видимо, дискретная топология (каждая точка открыта), которая совпадает с индуцированными топологиями групп по сложению Q и R. Мне кажется, что ответ - да.
> > > > Если что-то не так, то напишите.

> > > Возможно, Вам помогут на другом форуме
> > > http://dxdy.ru/

> > Спасибо Leon хотя бы за второе... Я постораюсь прояснить что-нибудь с первым.. И обязателньо потом напишу... Спасибо за ссылочку...Посмотрю там...может и правда помогут!!!

> > А может быть вы сможете сказать что-то по следующему:

> > Пусть множество U открыто и всюду плотно в метрическом пространстве X. Покажите, что X\U нигде не плотно в Х.

> Согласно определению: Множество X\U называется нигде не плотным, если в любом непустом открытом множестве найдется непустое открытое подмножество, свободное от точек X\U.
> Попробуем рассуждать от противного. Это означает, что существует непустое открытое множество V, в котором X\U плотно. Но X\U замкнуто. Поэтому оно содержит V. Но тогда U не плотно!!!

Ой, спасибо большое... Я всё поняла
Я зашла на тот сайтик dxdy, сообщу, если там чем-то помогут!!!


  • 40797: Помогите пожалуйста. Fw: Simvolika 27 декабря 2012 г. 19:20
    В ответ на №10835: Функциональный анализ от , 25 февраля 2004 г.:
Докозать что мн-во всех алгеброических многочленов всюду плотно в пространстве C^1[a,b].


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100