Напряженность поля заряженной полосы

Сообщение №3643 от Flexible 23 сентября 2008 г. 21:30
Тема: Напряженность поля заряженной полосы

Помогите, плз, решить задачку - делается через интеграл (двойной), но что-то подобное направление оси и точка ее приложения сбивают с толку - запутался в переменных (по каким интегрировать, откуда отсчитывать ):

Электрический заряд равномерно распределен с поверхностной плотностью σ по поверхности плоской бесконечно длинной полосы ширины a. Найти напряженность эл. поля на расстоянии z от края полосы в направлении, лежащем в плоскости полосы и перпендикулярном ее краю. Рассмотреть также случаи, когда z много больше и много меньше a.


Отклики на это сообщение:

> Помогите, плз, решить задачку - делается через интеграл (двойной), но что-то подобное направление оси и точка ее приложения сбивают с толку - запутался в переменных (по каким интегрировать, откуда отсчитывать ):

> Электрический заряд равномерно распределен с поверхностной плотностью σ по поверхности плоской бесконечно длинной полосы ширины a. Найти напряженность эл. поля на расстоянии z от края полосы в направлении, лежащем в плоскости полосы и перпендикулярном ее краю. Рассмотреть также случаи, когда z много больше и много меньше a.

Разбейте полосу на нити, найдите поле нити через теорему Гаусса, а дальше уже проинтегрируйте по ширине полосы.


> Разбейте полосу на нити, найдите поле нити через теорему Гаусса, а дальше уже проинтегрируйте по ширине полосы.

Просто препод говорит делать без Гаусса - разбить ленту на элементарные куски и интегрировать напряженности, создаваемые каждым из них - а именно этого у меня не выходит. (с осями какая-то ерунда)


> Помогите, плз, решить задачку - делается через интеграл (двойной), но что-то подобное направление оси и точка ее приложения сбивают с толку - запутался в переменных (по каким интегрировать, откуда отсчитывать ):

> Электрический заряд равномерно распределен с поверхностной плотностью σ по поверхности плоской бесконечно длинной полосы ширины a. Найти напряженность эл. поля на расстоянии z от края полосы в направлении, лежащем в плоскости полосы и перпендикулярном ее краю. Рассмотреть также случаи, когда z много больше и много меньше a.

На полосе выделим бесконечно малый фрагмент со сторонами dx, dy ("точечный" заряд) и координатами x,y.

Величина заряда равна . Напряженность в точке (0,z), создаваемой таким зарядом, найти несложно. Пусть она равна (вид функции f(x,y) найдите самостоятельно, только не забывайте, что напряженность - вектор).

Далее интегрируете сначала по одной оси, например, y - найдете напряженность, создаваемую бесконечно узкой вертикальной полоской шириной dx и высотой а. Затем интегрируете вдоль оси x, получаете итоговую напряженность. Из условий симметрии очевидно, что такая напряженность будет в любой точке прямой y=z.

Маленькая подсказка. То, что напряженность - вектор, на первый взгляд несколько усложняет задачу, но симметрия сводит векторы к скалярам (это не совсем точно, но если сказать точнее, то это будет уже не подсказка )

Вместо прямоугольной системы координат может оказаться удобнее полярная с удачным выбором расположения полоски. Тогда интергрирование может оказаться проще. Но в принципе это равнозначно.

Это если надо обязательно через двойной интеграл. В качестве упражнения очень полезно. Но можно и упростить, как предложил AID - выражение для поля нити известно, придется интегрировать лишь по y.


> > Разбейте полосу на нити, найдите поле нити через теорему Гаусса, а дальше уже проинтегрируйте по ширине полосы.

> Просто препод говорит делать без Гаусса - разбить ленту на элементарные куски и интегрировать напряженности, создаваемые каждым из них - а именно этого у меня не выходит. (с осями какая-то ерунда)

Пока рисовал, выяснилось, что надо все же через двойной интеграл. Правильно Ваш преподаватель говорит - очень полезное упражнение, чтобы уяснить идею решения подобных задач (переход от распределения некоторой величины к некоторой другой, интегральной величине).


> > > Разбейте полосу на нити, найдите поле нити через теорему Гаусса, а дальше уже проинтегрируйте по ширине полосы.

> > Просто препод говорит делать без Гаусса - разбить ленту на элементарные куски и интегрировать напряженности, создаваемые каждым из них - а именно этого у меня не выходит. (с осями какая-то ерунда)

> Пока рисовал, выяснилось, что надо все же через двойной интеграл.

Хм, а через нити что - неправильно получится?


Тогда, по вашему рисунку, проекция элементарного E на z (на оси x проекции ведь в сумме дают 0?) у меня получилась:


В итоге такой интеграл:



в подстановке от 0 до +∞:

По-моему - ерунда какая-то Что скажете?


> > > Просто препод говорит делать без Гаусса - разбить ленту на элементарные куски и интегрировать напряженности, создаваемые каждым из них

> > Пока рисовал, выяснилось, что надо все же через двойной интеграл.

> Хм, а через нити что - неправильно получится?

Кто же говорит, что неправильно? Преподаватель сказал, как надо - полагаю, с методической точки зрения. Ведь и таблицу умножения детишек заставляют учить не потому, что компьютеры неправильно считают.


Вы уж проверьте сами - сегодня мне уже спать пора , завтра смогу проверить. Если Вы переставите порядок интегрирования, то получите после первого интегрирования поле бесконечной нити. Выражение для него известно, сравните. А потом уже и второй интеграл. А насчет проекции на ось х - все правильно.

И должно быть все же z+a, ведь расстояние (проекция на ось y) до элементарного участка равно z-y, а не z+y.


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100