олимпиадная задача

Сообщение №1873 от Fw: Merkin 12 сентября 2007 г. 07:28
Тема: олимпиадная задача

Нить заряжена с линейной плотностью заряда τ Длина нити L.
Нить замкнули в кольцо. Найти натяжение нити.
Своё решение пока что не привожу, т.к. у меня получилось -∞
Жду ваших предложений и идей.


Отклики на это сообщение:

> Нить заряжена с линейной плотностью заряда τ Длина нити L.
> Нить замкнули в кольцо. Найти натяжение нити.
> Своё решение пока что не привожу, т.к. у меня получилось -∞
> Жду ваших предложений и идей.

Если нить имеет конечный диаметр, то в ответ попадет логарифм его отношения к длине.


> > Нить заряжена с линейной плотностью заряда τ Длина нити L.
> > Нить замкнули в кольцо. Найти натяжение нити.
> > Своё решение пока что не привожу, т.к. у меня получилось -∞
> > Жду ваших предложений и идей.

> Если нить имеет конечный диаметр, то в ответ попадет логарифм его отношения к длине.

Ну обычно толщина нити не учитывается. Т.е. таки бесконечность? (при нулевой толщине?)
До встречи, AID.


вот мое решение
Залил на файлообменник, т.к. много формул...Размер 42КБ


> > > Нить заряжена с линейной плотностью заряда τ Длина нити L.
> > > Нить замкнули в кольцо. Найти натяжение нити.
> > > Своё решение пока что не привожу, т.к. у меня получилось -∞
> > > Жду ваших предложений и идей.

> > Если нить имеет конечный диаметр, то в ответ попадет логарифм его отношения к длине.

> Ну обычно толщина нити не учитывается. Т.е. таки бесконечность? (при нулевой толщине?)
> До встречи, AID.

Ну, если логарифм 0 бесконечность, то таки да...
Есть много схожих задач - скорость вихревого кольца, индуктивность витка с током (здесь - емкость кольца).


> вот мое решение
> Залил на файлообменник, т.к. много формул...Размер 42КБ


У меня плохо открыввается Ваш файл. Повторю - разрывающая кольцо электрическая сила для кольца нулевой толщины - бесконечность. По этой причине и натяжение нити - тоже. Все всегда учитывают конечность толщины нимти...


Вот решение.

Т.к заряд кольца распределен равноморно по всей его длине, рассмотрим 2 бесконечно малых элемента кольца dQ. На них будет действовать стла кулона dF:

Т.к линейныная плотность заряда равна t = dq/dL, то

Найдем проекцию силы dF на ось Х:


Из треугольника OAB, где О -- центр окружности видно, что:

Тогда


В пределах от 0 до 2*PI
Почему-то получается минус бесконечность...
Предположим, что Fx найдена....Тогда можно определить силу натяжения.
При этом на кольцо очевидно действует распределеннвая сила P
../../img/gtybnhy.jpg
Далее, из уравнения равновесия(см. рисунок), находим Силу натяжения


> > вот мое решение
> > Залил на файлообменник, т.к. много формул...Размер 42КБ

>
> У меня плохо открыввается Ваш файл. Повторю - разрывающая кольцо электрическая сила для кольца нулевой толщины - бесконечность. По этой причине и натяжение нити - тоже. Все всегда учитывают конечность толщины нимти...

Ну, возьмем нить прямую, длиною 1м. Линейная плотность заряда 10^-10 Кл/м.
Какова разрывающая сила в середине нити?
Интегрируем отталкивающую силу по закону Кулона 10^10*Q*q/L^2
Отезок длиной 1мм имеет заряд 10^-13 Кл. Интегрируем силу для миллиметрового участка и половины нити:
dF=10^10*10^-13*10^-10*dx/x^2.
F = 10^-13*(1/0,001-1/0,5)=10^-10 Н.
Следующий миллиметровый участок добавит силу в 2 раза меньшую, и т.д.
*(1/0,002-1/0,501)=500
*(1/0,003-1/0,502)=330
*(1/0,004-1/0,503)=250
И конечный участочек добавит силу, кратную *(1/0,5-1/1)=2
В общем, добавится около 6000 и получим итог: F=7*10^-10 H.
А теперь свяжем концы нити - она образует окружность из-за сил отталкивания. А сила разрывающая почти не изменится.
А почему она должна стремиться к бесконечности? И почему сила должна зависеть от толщины нити (ведь задана линейная плотность)? Даже если я ошибся на 10 порядков, то сила-то будет 1 Н, а не бесконечной.


> вот мое решение
> Залил на файлообменник, т.к. много формул...Размер 42КБ

А если пойти другим путем. Потенциалы на концах нити и кольца (в любой его точки потенциалы равны) разные. Произведение разницы потенциалов к суммарному заряду нити определит энергию, которую надо затратить, для того чтобы соединить концы нити.


Шимпанзе


> > вот мое решение
> > Залил на файлообменник, т.к. много формул...Размер 42КБ

> А если пойти другим путем. Потенциалы на концах нити и кольца (в любой его точки потенциалы равны) разные. Произведение разницы потенциалов к суммарному заряду нити определит энергию, которую надо затратить, для того чтобы соединить концы нити.

>
> Шимпанзе

Видимо все - же проще сделать по - другому. Определить потенциал нити на перпендикуляре, восстановленном из середины нити на расстоянии L/2Pi (радиус кольца) до и после завязки нити в кольцо. И по разности потенциалов определить затраченную работу.


Шимпанзе


> > > вот мое решение
> > > Залил на файлообменник, т.к. много формул...Размер 42КБ

> >
> > У меня плохо открыввается Ваш файл. Повторю - разрывающая кольцо электрическая сила для кольца нулевой толщины - бесконечность. По этой причине и натяжение нити - тоже. Все всегда учитывают конечность толщины нимти...

> Ну, возьмем нить прямую, длиною 1м. Линейная плотность заряда 10^-10 Кл/м.
> Какова разрывающая сила в середине нити?
> Интегрируем отталкивающую силу по закону Кулона 10^10*Q*q/L^2
> Отезок длиной 1мм имеет заряд 10^-13 Кл. Интегрируем силу для миллиметрового участка и половины нити:
> dF=10^10*10^-13*10^-10*dx/x^2.
> F = 10^-13*(1/0,001-1/0,5)=10^-10 Н.
> Следующий миллиметровый участок добавит силу в 2 раза меньшую, и т.д.
> *(1/0,002-1/0,501)=500
> *(1/0,003-1/0,502)=330
> *(1/0,004-1/0,503)=250
> И конечный участочек добавит силу, кратную *(1/0,5-1/1)=2
> В общем, добавится около 6000 и получим итог: F=7*10^-10 H.
> А теперь свяжем концы нити - она образует окружность из-за сил отталкивания. А сила разрывающая почти не изменится.
> А почему она должна стремиться к бесконечности? И почему сила должна зависеть от толщины нити (ведь задана линейная плотность)? Даже если я ошибся на 10 порядков, то сила-то будет 1 Н, а не бесконечной.

Вы интегрировать умеете? Если взять прямую нить, то сила расталкивания будет направлена вдоль нее. Поскольку она убывает по Кулону обратно пропорционально
расстоянию, то при интерировании по длине у Вас будет функция sign x/x^2. Обычный интеграл от нее не существует. Регуляризацию можно провести, считая толщину конечной и устремляя ее к нулю. Проделайте операцию - увидите некую расходимость. На концах же вообще сразу видна бесконечность.
Все это не имеет никакого отношения к обсуждаемому вопросу. Здесь надо рассматривать нить изогнутую и силу считать по нормали к ней. Интьеграл опять-таки идет по длине, но вдоль окружности можно интегрировать и по углу. Сила от близлежащих участков нарастает как 1.φ^2, а проекция ее на радиус убывает всего лишь как φ. В результате имеем логарифмическую расходимость. Можно считать и по-другому - варьированием электростатической энергии за счет увеличения радиуса найти совершающую работу силу. Энергию можно посчитать через емкость или прямым интегрированием E^2. В любом случае можно увидеть или прочитать в книжках ту же логарифмическую расходимость...


KC, вы смотрели моё решение?
я его расместил тут, на форуме, чтобы все могли прочитать.
моё решение в ответе:
Re: олимпиадная задача Merkin 13 сен 20:37 нов


> KC, вы смотрели моё решение?
> я его расместил тут, на форуме, чтобы все могли прочитать.
> моё решение в ответе:
> Re: олимпиадная задача Merkin 13 сен 20:37 нов

Ну, посмотрел, в коэффициентах не копался. А чего Вы хотите? Я в своих писаниях в общем-то все сказал. Повторю - расходимость ответа дано и хорошо известна в самых разных задачах, например, индуктивность витка с током, емкость кольца, скорость вихревого кольца... Посмотрите, например, IX том Ландау и Лифшица, залача к 29 параграфу.


> KC, вы смотрели моё решение?
> я его расместил тут, на форуме, чтобы все могли прочитать.
> моё решение в ответе:
> Re: олимпиадная задача Merkin 13 сен 20:37 нов

Вопрос в другом - эта задача действительно была на какой-то олимпиаде?


> > KC, вы смотрели моё решение?
> > я его расместил тут, на форуме, чтобы все могли прочитать.
> > моё решение в ответе:
> > Re: олимпиадная задача Merkin 13 сен 20:37 нов

> Вопрос в другом - эта задача действительно была на какой-то олимпиаде?

Лично я сильно сомневаюсь :-(((


> > KC, вы смотрели моё решение?
> > я его расместил тут, на форуме, чтобы все могли прочитать.
> > моё решение в ответе:
> > Re: олимпиадная задача Merkin 13 сен 20:37 нов

> Вопрос в другом - эта задача действительно была на какой-то олимпиаде?

Это имеет принципиальное значение? Возможно, Merkin решил таким образом вызвать интерес к задаче….


На вопрос, олимпиадная ли, отвечаю: скорее всего нет..
это задача институтская. если интересно, из института МАИ. Для студентов или школьником..


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100