помогите с задачкой

Сообщение №1764 от Fw: wolf 26 августа 2007 г. 18:43
Тема: помогите с задачкой

однородный диск массой M и радиусом R катится без скольжения по горизонтальной плоскости. Центр диска A соединен с неподвижной точкой B пружиной жесткости c. Длинна недеформированной пружины a, BC=2R. Составить уравннение движения


Отклики на это сообщение:

> однородный диск массой m и радиусом R катится без скольжения по горизонтальной плоскости. Центр диска A соединен с неподвижной точкой B пружиной жесткости k. Длина недеформированной пружины a, BC=2R. Составить уравнение движения

Кинетическая энергия диска складывается из энергии
(1)             ½²
поступательного движения, где
(2)             υ = dx/dt = Rω
ω – угловая скорость, и энергии вращательного движения
(3)             ½rdrρ(rω)² = πρ(ωR²)² = mR²ω²/4
Складывая (1) и (3) с учетом (2) получаем для суммарной кинетической энергии
(4)             ½(3/2)m(dx/dt
Из (4) находим уравнение Лагранжа
(5)             (3/2)mdx/dt = –k(xa)


> > однородный диск массой m и радиусом R катится без скольжения по горизонтальной плоскости. Центр диска A соединен с неподвижной точкой B пружиной жесткости k. Длина недеформированной пружины a, BC=2R. Составить уравнение движения

> Кинетическая энергия диска складывается из энергии
> (1)             ½²
> поступательного движения, где
> (2)             υ = dx/dt = Rω
> ω – угловая скорость, и энергии вращательного движения
> (3)             ½rdrρ(rω)² = πρ(ωR²)² = mR²ω²/4
> Складывая (1) и (3) с учетом (2) получаем для суммарной кинетической энергии
> (4)             ½(3/2)m(dx/dt
> Из (4) находим уравнение Лагранжа
> (5)             (3/2)mdx/dt = –k(xa)

Ой, да очевидная очепятка
(5)             (3/2)md²x/dt² = –k(xa)


спасибо


> > > однородный диск массой m и радиусом R катится без скольжения по горизонтальной плоскости. Центр диска A соединен с неподвижной точкой B пружиной жесткости k. Длина недеформированной пружины a, BC=2R. Составить уравнение движения

Маленькое уточнение к условию задачи : BC=2R перпендикуляр из точки B крепления пружины, получается пружина взаимодействует на диск под углом меняющимся в процессе движения - изменится ли решение задачи ?


> > > > однородный диск массой m и радиусом R катится без скольжения по горизонтальной плоскости. Центр диска A соединен с неподвижной точкой B пружиной жесткости k. Длина недеформированной пружины a, BC=2R. Составить уравнение движения

> Маленькое уточнение к условию задачи : BC=2R перпендикуляр из точки B крепления пружины, получается пружина взаимодействует на диск под углом меняющимся в процессе движения - изменится ли решение задачи ?


Точка С не задана.


точка С - перпендикуляр с точки крепления пружины B, высота над плоскостью 2R, длинна недеформированой пружины a, точка задается из треугольника с гипотенузой a и катетом R


> > однородный диск массой m и радиусом R катится без скольжения по горизонтальной плоскости. Центр диска A соединен с неподвижной точкой B пружиной жесткости k. Длина недеформированной пружины a, BC=2R. Составить уравнение движения

> Кинетическая энергия диска складывается из энергии
> (1)             ½²
> поступательного движения, где
> (2)             υ = dx/dt = Rω
> ω – угловая скорость, и энергии вращательного движения
> (3)             ½rdrρ(rω)² = πρ(ωR²)² = mR²ω²/4
> Складывая (1) и (3) с учетом (2) получаем для суммарной кинетической энергии
> (4)             ½(3/2)m(dx/dt
> Из (4) находим уравнение Лагранжа
> (5)             (3/2)mdx/dt = –k(xa)

С учетом наклона оси пружины к траектории движения диска, решим задачу другим способом:
1. Зная, что момент инерции диска J=m*R^2/2 и из уравнения F*R=e*J находим, что инерционная масса диска будет m+m/2=1,5m.
2. Сила упругости вдоль гориз.оси Х будет Fx= k*y*cos(b)=k*x. Получаем зависимость линейного ускорения диска от х:
a(x)=k*x/1,5m = -(0,66k/m)*x.
a(x)=k*x/1,5m = +(0,66k/m)*x.
3. Подставляем в шаблонное уравнение v(x)*dv(x)=a(x)*dx ускорение a(x):
v*dv=(0,66k/m)*x*dx.
4. Интегрируем в определенных интегралах обе части уравнения
(v2^2-v1^2)/2 = (0,66k/m)*(x2^2-x1^2)/2 с разделяющимися переменными v и х, получаем две зависимости v(x):
v(x)=(0,66k/m)^0,5*(B^2-x^2)^0,5
v(x)=(0,66k/m)^0,5*(x^2-B^2)^0,5
5.Получаем две зависимости t(x), проинтегрировав шаблон dt(x)=dx/v(x):
dt(x)=(1,5m/k)^0,5*dx/(B^2-x^2)^0,5
dt(x)=(1,5m/k)^0,5*dx/(x^2-B^2)^0,5
откуда
t(x)=(1,5m/k)^0,5*arcsin(x/B)
t(x)=(1,5m/k)^0,5*ln(x+(x^2-B^2)^0,5)
6. Hаходим зависимости x(t):
x(t)=B*sin(0,66k/m)^5*t)
и второе, показательное уравнение.
7. Отвечаем на вопрос задачи. То есть даем уравнение движения тела в виде зависимости его координат от времени. Получается так, что при растянутой пружине диск движется по синусоидальной зависимости от времени, а при сжатой - по экпоненциальной зависимости.
(в решении возможны ошибки).


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама: ямобур аренда петербург
Rambler's Top100