Еще одна задачка

Сообщение №1540 от 4it' 15 июля 2007 г. 17:15
Тема: Еще одна задачка

Арх спасибо за решение предыдущей задачи. Помогите пожалуйста решить еще одну. А то горю.
Плотность вещ-ва одной планеты,у которой фор­ма шар радиуса R = 6400 км, зависит только от расстояния до центра планеты. При бурении скважины глубиной несколько де­сятков километров обнаружилось, что ускорение свободного па­дения не зависит от глубины погружения под поверхность плане­ты. Найдите плотность вещества, из которого состоит поверхность планеты, если средняя плотность пла­неты, равная отношению ее массы к объему, равна ? = 5,5 г/см3.


Отклики на это сообщение:

> Арх спасибо за решение предыдущей задачи. Помогите пожалуйста решить еще одну. А то горю.
> Плотность вещ-ва одной планеты,у которой фор­ма шар радиуса R = 6400 км, зависит только от расстояния до центра планеты. При бурении скважины глубиной несколько де­сятков километров обнаружилось, что ускорение свободного па­дения не зависит от глубины погружения под поверхность плане­ты. Найдите плотность вещества, из которого состоит поверхность планеты, если средняя плотность пла­неты, равная отношению ее массы к объему, равна ? = 5,5 г/см3.

Чтобы упражняться в составлении подобных "задач", совершенно не обязательно
знать физику. См. хотя бы этот перл: "вещества, из которого состоит поверхность...", не говоря уже о самом явлении,описанным в тексте, которое
приводит к бесконечно большой плотности в центре планеты. Лучше учите физику.
Это всё.



> Арх спасибо за решение предыдущей задачи. Помогите пожалуйста решить еще одну. А то горю.
> Плотность вещ-ва одной планеты,у которой фор­ма шар радиуса R = 6400 км, зависит только от расстояния до центра планеты. При бурении скважины глубиной несколько де­сятков километров обнаружилось, что ускорение свободного па­дения не зависит от глубины погружения под поверхность плане­ты. Найдите плотность вещества, из которого состоит поверхность планеты, если средняя плотность пла­неты, равная отношению ее массы к объему, равна ? = 5,5 г/см3.

Формула закона всемирного тяготения Ньютона F=G*M*m/L^2. G=6,6*10^-11.
Эта формула справедлива и для материальных точек масс M,m на дистанции L.
Докажем, что тело массой m на поверхности Земли притягивается с той же силой, если бы вся масса Земли была сосредоточена, в малом объеме, в центре земного шара. Дифференциалы силы:
* для тонкого диска: dF=G*m*p*2*Pi*y*cos(a)*dy*dx/(L^2*y(x))
cos(a)=b/L , b -пока постоянное расстояние от плоскости диска до тела, L=(b^2+y^2)^0,5 - расстояние от точек кольца до тела. То есть учитываем только продольную силу.
** для шара dF=2*Pi*G*m*p*y*dy/(b^2+y^2)^(3/2)). Подставим вместо постоянной b переменную х и сведем дифф. к одной переменной х, учтя y^2+x^2=2*R*x, получим
Fx= 2*Pi*G*m*p*Integr(1-(x/2R)^0,5)*dx. Для пределов 2R-0 получим Integr(1-(x/2R)^0,5)*dx=2*R/3.
***Получили формулу силы тяготения F=4*Pi*G*m*p*R/3.
Заменив p=3*M/(4*Pi*R^3), придем к формуле F=GMm/R^2.

****Выражение GM/R^2 равно g, то есть ускорению падающего тела у поверхности Земли. Ускорение падающего тела на высоте Н от поверхности Земли a=g*(R/R+H))^2.
Это утверждение можно доказать, если вычислить интеграл для шара, подставив вместо b переменную b=x+n*R. Получим простую формулу a=g/n^2 , где n-количество радиусов Земли, то есть измеряем расстояние между телом и центром Земли относительной безразмерной величиной n=L/R.

*****Мы забыли про задачу.
Докажем, что тело m , нажодящееся в покое внутри тонкой сферы, не будет никуда падать. Начертив конусы равных телесных углов и различных расстояний от тела до сферы R и r, увидим, что основания конусов, где расположены массы, принадлежащие сфере, имеют массы, пропорциональные R^2 и r^2, но зато их силы притяжения обратно пропорциональны тем же R^2 и r^2, то есть эти силы равны.

****** Ах, да, задача.
Можно формулу ускорения а=4*Pi*G*p*R/3 применить и узнать как должна меняться плотность р шара при изменнении его радиуса, чтобы ускорение а=9,81 было постоянным.
Можно формулу g=G*M/R^2 применить, имея в виду V=4*Pi*R^2/3 и M=p*V. Мысленно снимаем с поверхности Земли слой толщиной 10км, узнаем по этой формуле массу шара M для нового радиуса r=R-10^4, то есть M=9,81*r^2/G. Отсюда узнаем плотность меньшего шара и плотность снятого слоя Земли. В задаче сказано, что пройдено несколько десятков км в глубину Земли. Вот и мы "проникаем" десятками км, потом рисуем график плотности и отвечаем на вопросы задачи. А мысленно удаляемый "грунт" исключаем из массы меньшего шара, так как сферический слой над телом участия в силе тяготения не принимает, как было ранее показано.


Физика в анимациях - Купить диск - Тесты по физике - Графики on-line

Реклама:
Rambler's Top100